1、高二數學春季第九講 乘法原理與排列1問題：問題1從甲、乙、丙3名同學中選取2名同學參加某一天的一項活動，其中一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學中每次選取2名同學，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對象叫做元素問題2從這四個字母中，每次取出3個按順序排成一列，共有多少種不同的排法？分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的字母，在4個字母中任取1個，有4種方法；第二步確定中間的字母，從余下的3個字母中取，有

2、3種方法；第三步確定右邊的字母，從余下的2個字母中取，有2種方法由分步計數原理共有：4×3×2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法2排列的概念：從個不同元素中，任取（）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列說明：（1）排列的定義包括兩個方面：取出元素，按一定的順序排列； （2）兩個排列相同的條件：元素完全相同，元素的排列順序也相同3排列數的定義：從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示注意區別排列和排列數的不同：“一個排列”是指：從個不同

3、元素中，任取個元素按照一定的順序排成一列，不是數；“排列數”是指從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數，是一個數所以符號只表示排列數，而不表示具體的排列4排列數公式及其推導：由的意義：假定有排好順序的2個空位，從個元素中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數就是排列數由分步計數原理完成上述填空共有種填法，=由此，求可以按依次填3個空位來考慮，=，求以按依次填個空位來考慮，排列數公式：（）說明：（1）公式特征：第一個因數是，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是，共有個因數；（2）

4、全排列：當時即個不同元素全部取出的一個排列全排列數：（叫做n的階乘） 5 階乘的概念：個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列，這時；把正整數1到的連乘積，叫做的階乘表示： ， 即規定6 排列數的另一個計算公式： 即 = 典型例題：題型一、乘法原理的應用：乘法原理運用的范圍是：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成；每個步驟各有若干種不同的方法來完成這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題例1、 書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少種不同的取法？ 例2、 王英、趙明、李剛三人約好每人報名參加學校運動會的跳遠、跳高、1

5、00米跑、200米跑四項中的一項比賽，問：報名的結果會出現多少種不同的情形？ 二、排列問題的思考模式：1、特殊元素優先考慮：例3、由數字0、1、2、3組成三位數，可組成多少個沒有重復數字的三位數？變式訓練：用0到9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？2、特殊位置優先考慮：例3、解法二變式訓練：從10個不同的文藝節目中選6個編成一個節目單，如果某女演員的獨唱節目一定不能排在第二個節目的位置上，則共有多少種不同的排法？3、扣除法：例3、解法三例4、由數字0、1、2、3組成三位數，可組成多少個不相等的三位數？ 變式訓練：（1）從0，1，2，3，4中取出不同的3個數字組成一個三位數，所有

6、這些三位數的個位數字的和是多少？（2）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出不同的5個數字組成一個5位偶數.（1）有多少個這樣的數？（2）所有這些5位數的個位數字的和是多少三、排列相關問題的解題方法：1、相鄰元素捆綁策略：要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列.例5、 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.2、不相鄰問題插空策略: 元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端.例6.一個晚會的節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨

7、唱,舞蹈節目不能連續出場,則節目的出場順序有多少種？3、定序問題倍縮空位插入策略: 定序問題可以用倍縮法，還可轉化為占位插空模型處理。例7、7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法4、重排問題求冪策略: 允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為種例8、把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法例9、 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法_5、環排問題線排策略：一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取

8、出m個元素作圓形排列共有。例10、 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?6、多排問題直排策略：一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.例11、8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法7、小集團問題先整體后局部策略：小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。例12.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,在兩個奇數之間,這樣的五位數有多少個？例13、 5男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_種變式訓練；（1）7個人排成一排,按下列要求有多少種排法?(1)其中甲不站排頭,乙不站排尾;(2)其中甲、乙、

9、丙3人必須相鄰;(3)其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰;(4)其中甲、乙中間有且只有1人;(5)其中甲、乙、丙按從左到右的順序排列.四、排列相關的綜合問題例14下列排列數中，等于（n5）（n6）（n12）（n13，nN*）的是（）ABCD變式訓練：（1） 一條鐵路原有m個車站，為適應客運需要，新增加n（n1，nN*）個車站，因而增加了58種車票（起迄站相同的車票視為相同的車票），問原來這條鐵路有幾個車站?現在又有幾個車站?例15n（n1）（n2）4等于（）APn4Bn!4!CPnn4DPnn3變式訓練：（1）若，則 ， （2）若則用排列數符號表示 例161!+22!+33!+20082008!=（

10、）A2009!1B2010!1C2011!1D2012!1變式訓練：（1）計算：； （2）解方程：3 （3）解不等式：例174名同學分別報名參加學校的足球隊，籃球隊，乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，不同報法的種數是（）A34B43C24D12變式訓練：（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 例18用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為1，2，9的9個小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且標號為“1、5、9”的小正方形涂相同的顏色，則符合條

11、件的所有涂法共有（）A108種B60種C48種D36種例19如圖所示的陰影部分由方格之上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為L形（每次旋轉900仍為L形的圖案），那么在4×5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L形圖案的個數是（）A16B32C48D64例20只用1，2，3三個數字組成一個四位數，規定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有（）A6個B9個C18個D36個例21從1，0，1，2這四個數中選三個不同的數作為函數f（x）=ax2+bx+c的系數，可組成不同的二次函數共有18個，其中不同的偶函數共有個（用數字作答）例22某城市由n條東西方向的街道和m條

12、南北方向的街道組成一個矩形街道網，要從A處走到B處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？例23從0、2中選一個數字從1、3、5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數其中奇數的個數為（）A24B18C12D6例24有7個座位連成一排，4人就坐，要求恰有兩個空位相鄰且甲乙兩人不坐在相鄰座位，則不同的坐法有種（用數字作答）例25將數字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第i個數為ai（i=1，2，6），若a11，a33，a55，a1a3a5，則不同的排列方法種數為（）A18B30C36D48例26有甲、乙、丙在內的6個人排成一排照相，其中甲和乙必須相鄰，丙不排在兩頭，則這樣的排法共有種例27用1，2，3，4，5，6六個數字組成沒有重復數字的六位數，要求任何相鄰兩個數字的奇偶不同，這樣的六位數共有個（用數字作答）變式訓練：某小組6個人排隊照相留念(1)若分成兩排照相，前排2人，后排4人，有多少種不同的排