1、會(huì)計(jì)學(xué)1例 設(shè) 21xxx則 不定正半定負(fù)定正定221221221212221)()53()()4()()(xxxVxxxVxxxxVxxxV三：二次型函數(shù)的正定性設(shè)標(biāo)量函數(shù)V（x）為二次型函數(shù)，即V（x）=xTQx，并設(shè)Q為對(duì)稱陣： jiijnnnnnnqqqqqqqqqqqQ2122221112113：正半定性和負(fù)半定性 設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V（x），對(duì)域S中的某些非零狀態(tài)x及x=0，有 V（x）=0，而對(duì)于S中的其余狀態(tài)有V（x）0，則稱標(biāo)量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是正半定的。如果- V（x）是正半定的，則V（x）是負(fù)半定的 賽爾維斯特準(zhǔn)則：對(duì)于二次型函數(shù)V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，

2、則Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V（x）也是正定的。 第1頁(yè)/共90頁(yè)賽爾維斯特準(zhǔn)則：對(duì)于二次型函數(shù)V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，則Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V（x）也是正定的。 1：系統(tǒng) 設(shè)所研究的系統(tǒng)為 ),(txfx 式中x為n維狀態(tài)向量，在給定的初始條件下， 方程有唯一解 2：平衡狀態(tài) 滿足 0 x 的狀態(tài)即 0),(txfe對(duì)于線性定常系統(tǒng) Axx 當(dāng)A可逆時(shí)，有唯一平衡狀態(tài) 0ex第2頁(yè)/共90頁(yè)3：穩(wěn)定性 以S（k）表示平衡狀態(tài)周圍半徑為k的球域 kxxekxxxxxxneee212

3、2221)()()(設(shè)對(duì)應(yīng)于每一個(gè)球域S（），都存在球域S（），使得當(dāng)t t0時(shí)，從初始條件S（）出發(fā)的軌跡都超出不了S（），則稱這一系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。如果與t0無(wú)關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài) 線性定常系統(tǒng)，如果是穩(wěn)定的，則必是一致穩(wěn)定的 ( )S( )S2x1xex第3頁(yè)/共90頁(yè)4：漸近穩(wěn)定性 如果平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，且從球域S（）出發(fā)的任意一個(gè)解，當(dāng)t時(shí)，收斂于平衡狀態(tài)，則稱此類平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，如果與t0無(wú)關(guān)，則平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的 線性定常系統(tǒng)，如果是漸近穩(wěn)定的，則必是一致漸近穩(wěn)定的 5：大范圍穩(wěn)定性 不管初始偏差有都大，系統(tǒng)總

4、是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有都大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對(duì)于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定 6：不穩(wěn)定性 如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)0和任一實(shí)數(shù)0，不管它們有多小，在球域S（）中，總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，使得從這一初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終會(huì)超出球域S（），這時(shí)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 第4頁(yè)/共90頁(yè)主要理論 1：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，若能構(gòu)造出一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V（x），并且它對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，則系統(tǒng)在狀態(tài)空間的

5、原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的 2：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，若V（x）在原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)是正定的，并且它對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)也是正定的，那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處是不穩(wěn)定的 李雅普諾夫第一法-間接法李雅普諾夫第二法-直接法第5頁(yè)/共90頁(yè)22d ydymfkyFdtdt0,1Fm12,xy xy Fkmyf在討論穩(wěn)定性時(shí),設(shè)12212xxxkxfx 22122111( ,)22E x xxx1212( ,)0(0)( ,)0(0)E x xxE x xx系統(tǒng)穩(wěn)定212221 12( ,)dE x xx xkx xfxdt 第6頁(yè)/共90頁(yè)定理一：設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 ( )xf x原點(diǎn)為一個(gè)平衡狀態(tài)，即： (0)0f如果存在一個(gè)具

6、有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x），滿足如下條件 （1） 是正定的( )V x（2） 是負(fù)定的( )V x則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的 如果當(dāng) x( )V x 時(shí) 則系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。 如果除原點(diǎn)外，在系統(tǒng)的軌跡上再?zèng)]有任何一點(diǎn)，其 ( )V x恒為零，則條件（2）可改為( )V x是負(fù)半定的 第7頁(yè)/共90頁(yè)定理二：設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為： ( )xf x原點(diǎn)為一個(gè)平衡狀態(tài)，即： (0)0f如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x），滿足如下條件 （1） 是正定的( )V x（2） 是負(fù)半定的( )V x則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的 如果當(dāng) x( )V x 時(shí)

7、 則系統(tǒng)是一致大范圍穩(wěn)定的。 第8頁(yè)/共90頁(yè)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )()(22212122221121xxxxxxxxxx坐標(biāo)原點(diǎn)是系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：取 2221)(xxxV為一正定的標(biāo)量函數(shù) 222212211)(2)(2)(xxxxxxxV為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，且 )(,xVx系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。 第9頁(yè)/共90頁(yè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 0)1 (1222221axxxaxxx坐標(biāo)原點(diǎn)是系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：取 2221)(xxxV為一正定的標(biāo)量函數(shù) 22222211)1 (2)(2)(xaxxxxxxV為負(fù)半定的，系統(tǒng)是穩(wěn)定的 定理三：設(shè)系

8、統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 ( )xf x原點(diǎn)為一個(gè)平衡狀態(tài)，即： (0)0f如果在平衡狀態(tài)的某個(gè)鄰域內(nèi)，存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x），滿足如下條件： （1） 是正定的 ( )V x（2） 是正定的( )V x則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 類似地，若 ( )V x除原點(diǎn)外，不恒為零，條件（2）可改為正半定。第10頁(yè)/共90頁(yè)設(shè)有如下系統(tǒng) 21221xxxxx試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取 2221)(xxxV為一正定的標(biāo)量函數(shù) 2222112)(2)(xxxxxxV為正半定的，但除了坐標(biāo)原點(diǎn)外，在狀態(tài)軌跡上 不恒為零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 )(xV第11頁(yè)/共90頁(yè)一：

9、線性定常系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設(shè)線性定常系統(tǒng) Axx 若A為n階非奇異矩陣，則系統(tǒng)有唯一的平衡狀態(tài)x=0 取一個(gè)可能的李氏函數(shù) PxxxVT)(P為正定實(shí)對(duì)稱矩陣 xPAPAxxPxPxxxVTTTT)()(令 QxxxVPAPAQTT)()(若Q是正定對(duì)稱矩陣，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 定理：線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，存在正定實(shí)對(duì)稱矩陣P，使ATP+PA=-Q成立。第12頁(yè)/共90頁(yè)21211110 xxxx試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取Q=I，由：ATP+PA=-Q 設(shè) 121212322121211PppppPP為正定矩陣 )22

10、3(21)(222121xxxxPxxxVT系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的 推論：如果 QxxxVT)(沿任意一條軌跡不恒為零，上述定理中的Q可取為正半定矩陣 第13頁(yè)/共90頁(yè)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： uKxxxKxxx0010120010321321求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍 解 令u=0，detA0，故原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。取 100Q由于只有在原點(diǎn)處才有 0)(23xQxxxVT故Q可取為正半定矩陣。由ATP+PA=-Q，得 21260122122630612212212260122122KKKKKKKKPKKKKKKK第14頁(yè)/共90頁(yè)二：線性時(shí)變系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法xtAx)(設(shè)線性時(shí)變系

11、統(tǒng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0 取一個(gè)可能的李氏函數(shù) xtPxtxVT)(),(P（t）為正定實(shí)對(duì)稱矩陣， xtAtPtPtPtAxxtPxxtPxxtPxtxVTTTTT)()()()()()()()(),(令 xtQxtxVtAtPtPtPtAtQTT)(),()()()()()()(若Q（t）是正定對(duì)稱矩陣，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 定理：線性時(shí)變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q（t），存在正定實(shí)對(duì)稱矩陣P（t），使黎卡提矩陣微分方程 )()()()()()(tQtAtPtPtAtPT成立 第15頁(yè)/共90頁(yè)三：線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的幾個(gè)結(jié)論 設(shè)線性系統(tǒng) xtAx)(系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0狀

12、態(tài)方程的解為 )(),()(00txtttx漸近穩(wěn)定系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定一致穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定0000000000000,0),(exp),()4(, 0),()3(,),()2(,)(),() 1 (tttcttcNtttttttttNttttttNtt四：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù) 定理：線性定常系統(tǒng) Axx 漸近穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)矩陣A的所有特征值都位于左半復(fù)數(shù)平面。即 Rei0 （i=1、2、n） i為A的特征值 第16頁(yè)/共90頁(yè)取Vx(k)=xT(k)Px(k)，P為正定實(shí)對(duì)稱矩陣。 )()()()() 1() 1()(kxPPGGkxkPxkxkPxkxkxVTTTT令 PPGG

13、QT定理：線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：給定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣P使GTPG-P=-Q成立，此時(shí)V（X）=xTPx。若V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒為零，那么Q可取為正半定矩陣。設(shè) x(k+1)=G x(k)，x=0為平衡狀態(tài)。 ( )( )( )TV x kxk Qx k 第17頁(yè)/共90頁(yè)設(shè) )(00) 1(21kxkx試確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定的條件解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得 2221110011P根據(jù)P為正定實(shí)對(duì)稱矩陣的要求，得 1121第18頁(yè)/共90頁(yè)定義：稱一個(gè)系統(tǒng)外部穩(wěn)定（BIBO）是指對(duì)任何一個(gè)有界輸入u(t),即：

14、u(t)K1 ), 0tt的任意輸入u(t)，對(duì)應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即 20( ) ,)y tKtt 定理：對(duì)零初始條件的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，tt0,+）則t0時(shí)刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個(gè)有限正常數(shù)K3 ，使對(duì)一切tt0,+)脈沖響應(yīng)矩陣H(t,)所有元均滿足關(guān)系式 03( , )1,2,1,2,tijth tdKimjr 證明考慮SISO情形充分性0001132( )( , ) ( )|( , )| ( )|( , )|tttttty tg tudg tudKg tdK KK 1.有界輸入、有界輸出穩(wěn)定(BIBO)外部穩(wěn)定第19頁(yè)/共90頁(yè)必要性 采用反證法，即系統(tǒng)

15、BIBO穩(wěn)定，卻存在某個(gè)t1使10| ),(|1ttdtg可以取),(sgn)(1tgtu有1010| ),(|)(),()(111ttttdtgdutgty矛盾推論：對(duì)零初始條件r維輸入和m維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，令t0=0,則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：存在一個(gè)有限正常數(shù)K3，使脈沖響應(yīng)矩陣H(t)所有元均滿足關(guān)系式 03( )1,2,1,2,ijhdKimjr 定理：對(duì)零初始條件的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。第20頁(yè)/共90頁(yè)( )cG ssa(0)xaxuycxc ( )ath tce線性定常

16、系統(tǒng)分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定解傳遞函數(shù)脈沖響應(yīng)00| ( )|0cahdaa系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是0a 等價(jià)于傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于左半復(fù)平面第21頁(yè)/共90頁(yè)定義：稱連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)在t0為內(nèi)部穩(wěn)定，是指由時(shí)刻t0任意非零初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)Xou(t)對(duì)tt0,+)有界，并滿足漸近屬性，即： 0)(limtXout定理：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng) 0)0(0txxAxx 內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為 0limAtte或矩陣A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，即：Rei(A)0。 2. 外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定性之間的關(guān)系定理：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定，反之不成立。若系統(tǒng)

17、能控且能觀測(cè)，則內(nèi)部穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定。 第22頁(yè)/共90頁(yè)系統(tǒng)方程為06211101xxuyx分析系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性解det()0IA260(2)(3)01223 系統(tǒng)位于原點(diǎn)的平衡狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的傳遞函數(shù)1221( )()63sG sc sIAbsss系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的容易判斷,系統(tǒng)是能觀測(cè)、不能控的第23頁(yè)/共90頁(yè)1：克拉索夫斯基法設(shè)非線性控制系統(tǒng) )(xfx 其中x為n維列向量，f（0）=0，即x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，且設(shè)f（x）對(duì)x在整個(gè)狀態(tài)空間是可以求導(dǎo)的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為 nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxxdfxJ212221212111)()

18、(克拉索夫斯基指出：如果存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣W,使S（x）=WJ（x）+ WJ（x）T是負(fù)定的，那么平衡狀態(tài)x=0是一致漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：)(,xVx則平衡狀態(tài)x=0是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。( )( )( )TTV xx Wxfx Wf x如果 ( )( )( )TTV xx Wxfx Wf x這是因?yàn)? )( )( )( )( )TTV xfx Wf xfx Wf x( )( )TTdfdxdfdxWf xfx Wdxdtdxdt( )( )TTxJx WWJ xx第24頁(yè)/共90頁(yè)3221211xxxxxx確定平衡狀態(tài)x=0的穩(wěn)定性 解 223221131101)()(x

19、xJxxxxxf取W=I 2262112)()()(xxJxJxST為對(duì)稱負(fù)定陣，且( )( )( )TTV xx Wxfx Wf x這是因?yàn)? )( )( )( )( )TTV xfx Wf xfx Wf x)(,xVxx=0是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。( )( )TTdfdxdfdxWf xfx Wdxdtdxdt( )( )TTxJx WWJ xx第25頁(yè)/共90頁(yè)2 變量梯度法設(shè)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng) 0)(txfx Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)， 為V(x)的梯度12121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnTnndxdxdxdV xV xV xV xV xd

20、txdtxdtxdtdxdtdxV xV xV xV xxdtxxxdxdt 11( )( )( )nnV xxVV xV xVx第26頁(yè)/共90頁(yè)(1)設(shè)V(x)的梯度為 1111 112211 122( )( )( )nnnnnnnnnV xxVa xa xa xV xV xVa xa xa xx(2)設(shè)V(x) 為有勢(shì)場(chǎng)，則旋度rotV(x)=0，即 jiijVVijxx0)(0)(xxVdtxdVT(3) (4)由(2),(3)定出V(x) 123211311111000(0)(,0)(,)1122000( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnttxTnxxxxxxx

21、 xxxxxxxnnV xV x dtV xxdtV xVxdxV x dxV x dxVx dx(5)(6)判斷V(x)計(jì)算結(jié)果的正定性第27頁(yè)/共90頁(yè)設(shè)非線性系統(tǒng)123221xxxxx 分析原點(diǎn)的穩(wěn)定性解11 11222221 1222( )2a xa xV xaa xa x( )( )TV xV xx 224121121121221 1(2)(2)x x aaxxaa x根據(jù)負(fù)定性要求2112112aax210a1202a321 1112221 122( )2a xxa xV xa xx21122112211202VVaaaaxx第28頁(yè)/共90頁(yè)12211120(0)()112200

22、( )xxxxxxV xVVdxV dxV dx2121242421 11121221211111122122212Taaa xxa x xxxxxa正定)(,xVxx=0是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。根據(jù)負(fù)定性要求2112112aax210a1202a321 1112221 122( )2a xxa xV xa xx21122112211202VVaaaaxx第29頁(yè)/共90頁(yè)nnnnnnnninnxaxaxaxxaxaxaxxfxaxaxax22112222121212121111)(3：阿塞爾曼法其中f（xi）為非線性單值函數(shù)，f（0）=0，故x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 阿塞爾曼指出：若以線性函

23、數(shù)取代非線性函數(shù)， 即令f（xi）=k xi，可對(duì)線性化后的系統(tǒng)建立李雅普諾夫函數(shù)V（x），若dV（x）/dt在k1kk2區(qū)間內(nèi)是負(fù)定的，則當(dāng)非線性函數(shù)不超過(guò)上述區(qū)間時(shí)，非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：第30頁(yè)/共90頁(yè)設(shè) )(212221xfxxxxf(x1)如圖所示，判斷x=0的穩(wěn)定性 解：令f(x1)=2x1 線性化后的系統(tǒng)方程為 1222122xxxxx2221)()(xxxVQxxxVT令得 83414145QQ為正定對(duì)稱陣 222121832145)(xxxxxV第31頁(yè)/共90頁(yè)認(rèn)為非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)就是V（x），則 21 1121222

24、11122122211112122111111115113133( )()()2224224()()133224()()11 3322 42()1 3312 42TV xx xx xx xx xx f xx xx f xxf xf xxx xx xxxxf xf xxxxxf xx Q為正定對(duì)稱陣 222121832145)(xxxxxV根據(jù) )(xV負(fù)定的要求，穩(wěn)定時(shí)要求 982. 6)(573. 011xxf只要非線性特性在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的 阿塞爾曼法的特點(diǎn)是很簡(jiǎn)單，但這一分析結(jié)果不一定總是正確的，即使如此，工程上仍作為試探非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種方法 第32頁(yè)/共90頁(yè)李雅

25、普諾夫第二法的幾點(diǎn)說(shuō)明 第二法給出的是穩(wěn)定性的充分條件，因此，一個(gè)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定條件時(shí)，它一定穩(wěn)定；如果不滿足穩(wěn)定條件，則不能作出不穩(wěn)定的結(jié)論 V（x）不是唯一的，因此滿足穩(wěn)定性條件的各種方案有相應(yīng)的穩(wěn)定范圍，它們不一定相同。第二法的應(yīng)用中，沒(méi)有一種方案是通用的 以上討論，均假設(shè)x=0為平衡點(diǎn)，如果平衡點(diǎn)不在原點(diǎn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，將它移到原點(diǎn) 李雅普諾夫函數(shù)除了提供穩(wěn)定性判據(jù)外，還可用于線性和非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)性能分析和參數(shù)選擇 第33頁(yè)/共90頁(yè)3：實(shí)際系統(tǒng)按線性化模型判定穩(wěn)定性李雅普諾夫第一法 實(shí)際系統(tǒng)如果非線性不嚴(yán)重，或者偏差不大，在分析穩(wěn)定性時(shí)，可按線性化模型應(yīng)用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定條件進(jìn)行

26、分析，那么分析結(jié)果是否符合實(shí)際系統(tǒng)的真實(shí)情況呢？李雅普諾夫小偏差理論： 若線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根均為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)部，則實(shí)際系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，線性化過(guò)程中被忽略的高于一次的微量項(xiàng)對(duì)穩(wěn)定性結(jié)論沒(méi)有影響 若線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根中，即使有一根為正實(shí)數(shù)或具有正的實(shí)部，則實(shí)際系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，線性化過(guò)程中被忽略的高于一次的微量項(xiàng)不會(huì)使系統(tǒng)變成穩(wěn)定 若線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根中，有至少一個(gè)為零或?qū)嵅繛榱悖溆嗑鶠樨?fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)部，則實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性不能按線性化模型來(lái)判斷，實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性與線性化過(guò)程中被忽略的高于一次的微量項(xiàng)有關(guān) 第34頁(yè)/共90頁(yè)性能指標(biāo)極值型 非極值型 綜合的

27、目的極點(diǎn)配置 鎮(zhèn)定問(wèn)題漸近跟蹤與干擾抑制解耦控制系統(tǒng)綜合是指:在給定被控對(duì)象和外部輸入信號(hào)的情況下,通過(guò)設(shè)計(jì)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù),使系統(tǒng)滿足預(yù)先規(guī)定的性能指標(biāo)要求第35頁(yè)/共90頁(yè)狀態(tài)反饋是指從狀態(tài)變量到控制端的反饋 設(shè)原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 xAxBuyCxDu引入狀態(tài)反饋后，控制律為 ()()xABK xBvyCDK xDv定理：用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件是：系統(tǒng)完全能控 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 uvKxKuBCAx xyD第36頁(yè)/共90頁(yè)證明：充分性，以傳遞函數(shù)為嚴(yán)真的單輸入系統(tǒng)為例，因系統(tǒng)能控不妨設(shè) 0121101112112021222130313231012,1010000010

28、00001010nnnnmmmm nAbaaaaCD 110nkkkK即系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形。設(shè)反饋向量)()()()(10000100001011221100nnkakakakabKA引入狀態(tài)反饋后而b、C陣不變，即系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程仍為能控標(biāo)準(zhǔn)形，由能控標(biāo)準(zhǔn)形與傳遞矩陣的關(guān)系知： 第37頁(yè)/共90頁(yè)而b、C陣不變，即系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程仍為能控標(biāo)準(zhǔn)形，由能控標(biāo)準(zhǔn)形與傳遞矩陣的關(guān)系知： 控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)由特征式 )()()(| )(|0011111kakakabKAInnnn確定，通過(guò)選擇K陣，可任意配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn) 必要性：反證法，如果系統(tǒng)不能控，說(shuō)明有些變量不受u的控制，引入反饋后，通過(guò)u來(lái)影響它

29、們是不可能的。對(duì)于單輸入、單輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋不影響傳遞矩陣的零點(diǎn)。狀態(tài)反饋保持系統(tǒng)的能控性，而不保持系統(tǒng)的能觀測(cè)性。 從以上證明過(guò)程中可得出結(jié)論第38頁(yè)/共90頁(yè)有一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )2)(1(10)()(ssssUsY要求用狀態(tài)反饋的方法，使閉環(huán)極點(diǎn)為-2，-1j 解：系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)為 3213213210010100320100010 xxxyuxxxxxx設(shè)K=k0，k1，k2，則 01223)2()3()(kkkbKAI根據(jù)希望閉環(huán)極點(diǎn)的位置，特征多項(xiàng)式為 464)1)(1)(2(23jj可得：K=4，4，1 s1s1s1103244 4uvy1x2x3x3x 第39頁(yè)/共90

30、頁(yè)極點(diǎn)配置算法1step1. 判別（A，b）能控性 step2.計(jì)算由期望閉環(huán)特征值 *1,n決定的特征多項(xiàng)式 *0*11*1*1*)()(sssssnnnini step3.設(shè)狀態(tài)反饋陣01nKkkk計(jì)算引入反饋后系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式det()sIAbK step4.由*1*110det()nnnsIAbKsss確定K第40頁(yè)/共90頁(yè)極點(diǎn)配置算法2 step1. 判別（A，b）能控性 step3.計(jì)算矩陣A特征多項(xiàng)式1110det()nnnsIAsss可見(jiàn)在原系統(tǒng)中引入非奇異線性變換 xPx12121121111101nnnnaaaaaPbAbA bAba則 1,APAPbPb為能控標(biāo)準(zhǔn)形 s

31、tep2.計(jì)算由期望閉環(huán)特征值 *1,n決定的特征多項(xiàng)式 *0*11*1*1*)()(sssssnnninistep4 *001111,nnK 針對(duì)能控標(biāo)準(zhǔn)形,采用 uvK xvKPx 可實(shí)現(xiàn)按希望的極點(diǎn)配置 第41頁(yè)/共90頁(yè)step4 *001111,nnK step5 其中 針對(duì)能控標(biāo)準(zhǔn)形,采用 uvK xvKPx 可實(shí)現(xiàn)按希望的極點(diǎn)配置 KKP12121121111101nnnnaaaaaPbAbA bAba第42頁(yè)/共90頁(yè)設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為1( )(6)G ss s1) 利用輸出反饋1(6)s s uyvk21( )6sssk由于只有一個(gè)系數(shù)可選擇,系統(tǒng)各項(xiàng)性能指標(biāo)難以兼顧,若0.7

32、07可取18k 則%4.3%4.243bnvK2) 利用狀態(tài)反饋11221200116001xxuxxxyx 若取0.70735 2nb則希望的特征多項(xiàng)式2222702450nnssss1s1x1s2x 2x6y1x u第43頁(yè)/共90頁(yè)2) 利用狀態(tài)反饋1su1x1s2x 2x6y1x 若取0.70735 2nb則希望的特征多項(xiàng)式2222702450nnssss設(shè)01Kkk2010()(6)6sIAbKskskk與希望的特征多項(xiàng)式比較642066K v642450( )( )(6)sG s H ss s64206611221200116001xxuxxxyx 1(6)s s uyv64245

33、0s 40.83vK 1x1x 1su16s yv642066 第44頁(yè)/共90頁(yè)狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較 反饋原理反饋原理：狀態(tài)反饋為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的完全反饋，輸出反饋則是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的不完全反饋。擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)反饋和擴(kuò)展輸出反饋的等價(jià)性等價(jià)性。 反饋功能反饋功能：狀態(tài)反饋在功能上遠(yuǎn)優(yōu)于輸出反饋。改善輸出反饋的途徑改善輸出反饋的途徑：擴(kuò)展輸出反饋（動(dòng)態(tài)輸出反饋）反饋實(shí)現(xiàn)上反饋實(shí)現(xiàn)上，輸出反饋要優(yōu)越于狀態(tài)反饋。解決狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的途徑解決狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的途徑：引入狀態(tài)觀測(cè)器第45頁(yè)/共90頁(yè)定理:狀態(tài)反饋系統(tǒng)能控的充要條件是原系統(tǒng)能控. 0()IIABKBIA BKI()rankIABKBrank

34、IA B證狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性例如12012311Abc 系統(tǒng)能控且能觀測(cè),引入狀態(tài)反饋3 1k 12012001Abkbc 系統(tǒng)能控,但不能觀測(cè)22( )25sG sss2( )1G ss第46頁(yè)/共90頁(yè)輸出反饋指從輸出端到狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)的反饋 BCAGx xuy設(shè)原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 CxyBuAxx 引入輸出反饋后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 ()xAGC xBuyCx定理：用輸出反饋任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的充要條件是：系統(tǒng)完全能觀測(cè) 可利用對(duì)偶原理來(lái)證明 第47頁(yè)/共90頁(yè)試選擇反饋矩陣G，使下述系統(tǒng)極點(diǎn)配置在-5，-8 0110010102cBA解：系統(tǒng)能觀測(cè)，設(shè) 12gGg2212()(

35、1)IAGcgg希望的特征多項(xiàng)式 4013)8)(5(2解得 213401Gs1s12132401u1u2y-1x2x1x 2x 第48頁(yè)/共90頁(yè)在工程實(shí)踐中，也可以采用從輸出端到控制端的反饋，即：u=v-Hy 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 CxyBvxBHCABuAxx)(sICABHuvxy第49頁(yè)/共90頁(yè)對(duì)于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng) cxybuAxx 如果存在狀態(tài)反饋矩陣K，使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是可以用狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的。可鎮(zhèn)定的充分條件：線性定常系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充分條件是系統(tǒng)為完全能控. 定理：線性定常系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是系統(tǒng)不能控的狀態(tài)分

36、量是漸近穩(wěn)定的 第50頁(yè)/共90頁(yè)定理：線性定常系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是系統(tǒng)不能控的狀態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的 證明：對(duì)不能控系統(tǒng)按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解,即令11121221200CCCCCCxxAAbuxxAxyccx引入狀態(tài)反饋12Kkk即cuvK xvK P xcxP x1112111112121122222000AAAb kAb kbAbKkkAA111122detdetdetsIAbKsIAb ksIA第51頁(yè)/共90頁(yè)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定算法1.判斷能控性. 若能控,可指定n個(gè)實(shí)部為負(fù)的期望特征值，按極點(diǎn)配置算法，計(jì)算反饋矩陣；若不完全能控，則按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解 即令cxP x1112

37、1221200CCCCCCxxAAbuxxAxyccx.對(duì)能控部分,可指定n個(gè)實(shí)部為負(fù)的期望特征值，按極點(diǎn)配置算法，計(jì)算反饋矩陣1k.計(jì)算狀態(tài)反饋陣10ccKKPkP第52頁(yè)/共90頁(yè)一：開(kāi)環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，有時(shí)需要對(duì)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，開(kāi)環(huán)估計(jì)方法如下：BuxAxCBAuyx 二：全維觀測(cè)器全維觀測(cè)器是指重構(gòu)狀態(tài)向量的維數(shù)與原系統(tǒng)相同 KCBAuyv狀態(tài)觀測(cè)器利用觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)為： 第53頁(yè)/共90頁(yè)在觀測(cè)器的設(shè)計(jì)中，為使 盡快地接近x（t），可利用y（t）和 之間的差作為誤差反饋信息，觀測(cè)器結(jié)構(gòu)如下：)( tx)( )( txCtyuyBsIAx Cy 寫出觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程為

38、 ()()xAxBuG yyxAGC xBuGy原系統(tǒng)的狀態(tài)方程： BuAxx定義狀態(tài)向量的真實(shí)值與估計(jì)值之間的偏差為誤差狀態(tài)向量，即：xxx()xxxAGC x第54頁(yè)/共90頁(yè)定理：若系統(tǒng)（A、B、C）是能觀測(cè)的，其狀態(tài)可用n維狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì) ()xAGC xBuGy矩陣可以按給定極點(diǎn)的位置來(lái)選擇，所定極點(diǎn)的位置，將決定誤差向量趨于零的速率。定理：狀態(tài)觀測(cè)器存在的充分必要條件是：系統(tǒng)能觀測(cè)或者系統(tǒng)雖不能觀測(cè)但不能觀測(cè)子系統(tǒng)的特征值均具有負(fù)實(shí)部 證明：考慮到 ()xAGC x狀態(tài)觀測(cè)器存在的充分必要條件是AGC的特征值均具有負(fù)實(shí)部系統(tǒng)能觀測(cè)時(shí)AGC的特征值能任意配置系統(tǒng)不能觀測(cè)時(shí)，可對(duì)系

39、統(tǒng)按能觀測(cè)性進(jìn)行分解，由于能觀測(cè)子系統(tǒng)的特征值可以任意配置，因而的特征值均具有負(fù)實(shí)部的充要條件是不能觀測(cè)子系統(tǒng)的特征值均具有負(fù)實(shí)部AGC第55頁(yè)/共90頁(yè)設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 01020231xxuyx 試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器，其中矩陣A-Gc的特征值（觀測(cè)器極點(diǎn)）為-10，-10。解 12gGg2112()(23)622IAGcggg希望的特征多項(xiàng)式 10020)10(228.523.5G觀測(cè)器方程 ()xAGc xbuGyyuxx5 .235 . 810349117第56頁(yè)/共90頁(yè)原系統(tǒng)及其狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖如下 xyuxx02103210yuxx5 .235 . 8103491175 . 85

40、 .23s1s110 x21xy1x 2x20 x2x u23- -s1s120 x2 x1 x10 x21 x2 x32- -第57頁(yè)/共90頁(yè)CxyBuAxx 一個(gè)n維的能觀測(cè)系統(tǒng)由于y可以直接提供一部分狀態(tài)，故只需要估計(jì)其余的狀態(tài)即可。1：建立n-m維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程 設(shè)ARnn，BRnr，CRmn，系統(tǒng)（A、B、C）能觀測(cè),rankC=mnDPC為一個(gè)nn矩陣，D的選擇應(yīng)使P可逆，例如當(dāng)1100DDDDCICICCCCxPx1111112221220BAAAPAPBPBCCPIBAA考慮到12CCC2rankCm時(shí),可取0DI120IPCC第58頁(yè)/共90頁(yè)xPx111111222122

41、0BAAAPAPBPBCCPIBAA系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 21212122211211210 xxIyuBBxxAAAAxx2x可直接有y提供，只須估計(jì) 1x第59頁(yè)/共90頁(yè)21212222212121111xyxAuBxAxuBxAxAx2：降維觀測(cè)器設(shè)計(jì) 方程改寫為 1111211122112122222222xA xvyA xvA xB uA yB uyxA xB uyA yB u系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 21212122211211210 xxIyuBBxxAAAAxx2x可直接有y提供，只須估計(jì) 1x第60頁(yè)/共90頁(yè)故降維觀測(cè)器方程為 11112111()xAG AxvG y令 1111zx

42、G yxzG y111211121212211121111()()()zAG AzBG B uAG AAG AG yxzG y 111211121112212()AG AxA yB uG yG A yG B u這是一個(gè)n-m維觀測(cè)器，整個(gè)狀態(tài)向量的估計(jì)值為： 11120zG yIGxxzyyIx 而系統(tǒng)原狀態(tài)向量x的估計(jì)值為 1 xP x方程改寫為 1111211122112122222222xA xvyA xvA xB uA yB uyxA xB uyA yB u第61頁(yè)/共90頁(yè)3：G1陣的選擇 1111111121111112111()()()xxA xvAG AxvG yAG Axx通

43、過(guò)G1陣的選擇，使 11121()AG A的極點(diǎn)任意配置，極點(diǎn)的位置決定誤差向量 )(11xx 衰減到零的速率，而 2x直接有y提供，不存在估值誤差。 故降維觀測(cè)器方程為 11112111()xAG AxvG y令 1111zxG yxzG y111211121212211121111()()()zAG AzBG B uAG AAG AG yxzG y 111211121112212()AG AxA yB uG yG A yG B u這是一個(gè)n-m維觀測(cè)器，整個(gè)狀態(tài)向量的估計(jì)值為： 11120zG yIGxxzyyIx 而系統(tǒng)原狀態(tài)向量x的估計(jì)值為 1 xP x第62頁(yè)/共90頁(yè)定理：有m個(gè)輸

44、出的任一m維能觀測(cè)系統(tǒng)（A、B、C），可通過(guò)狀態(tài)變換而寫成如下形式：21212122211211210 xxIyuBBxxAAAAxx其狀態(tài)可用n-m維龍伯格觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì) 1112111212122111211112()()()0zAG AzBG B uAG AAG AG yIGxxzyIx （n-m）m矩陣G1可以選得使 11121()AG A極點(diǎn)的位置決定誤差向量衰減到零的速率。觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖如下： 的極點(diǎn)任意配置1112111212122111211()()()zAG AzBG B uAG AAG AG yIH0Ixyuz1P x第63頁(yè)/共90頁(yè)已知系統(tǒng)： 10121001xxuyx

45、試構(gòu)造一降維觀測(cè)器解 系統(tǒng)完全能觀測(cè) 令 11101222110PP1100101111APAPBPBCCP 設(shè)降維觀測(cè)器的特征值為-10，G1=g11121()IAG Ag希望的特征多項(xiàng)式為+10，故G1=10，降維觀測(cè)器為： 1112111212122111211112()()()109110110001zAG AzBG B uAG AAG AG yzzuyIGzxxzyIyx 第64頁(yè)/共90頁(yè)原系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)值為 111122110zxP xy 原系統(tǒng)及其降維觀測(cè)器如下 s1z 0zz10110921211101 x2 xs11x 10 x1xs12x 20 x2x21uyxyuxx

46、12110001109110zzuy 原系統(tǒng)降維觀測(cè)器第65頁(yè)/共90頁(yè)帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)： 現(xiàn)提出兩個(gè)問(wèn)題：1，用狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行狀態(tài)反饋和用x進(jìn)行狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)特性的影響是否一致，或者說(shuō)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞矩陣是否一致？2，進(jìn)行狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)時(shí)的K陣和觀測(cè)器設(shè)計(jì)時(shí)的G陣能否分開(kāi)設(shè)計(jì)？顯然利用x進(jìn)行狀態(tài)反饋時(shí)，控制系統(tǒng)的傳遞矩陣為 BBKAsIC1)(用狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行狀態(tài)反饋(A、B、C)狀 態(tài) 觀 測(cè)器Kx yuv()xAxBuxAGC xBuGyyCxuvKx第66頁(yè)/共90頁(yè)0 xABKxBvGCABKGCxBxxyCx ()()xAxBKxBvxAGC xB vKxGyyCx用狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行

47、狀態(tài)反饋()xAxBuxAGC xBuGyyCxuvKx為了計(jì)算傳遞矩陣，作坐標(biāo)變換 IIIPIIIP001變換前 1110ABKBABCCGCABKGCB 變換后 11111111000ABKBKBAPA PBPBAGCCC PC 第67頁(yè)/共90頁(yè)傳遞矩陣為 1111111()()000()()BsIABKC sIABCsIAHCC sIABKB考慮到當(dāng)R、T可逆時(shí)，有1111100TSTRRTSR111()()0()sIABKBKsIAsIAHC系統(tǒng)的傳遞矩陣與用x進(jìn)行狀態(tài)反饋時(shí)的傳遞矩陣相同。 11()0()sIABKsIAHC變換前 1110ABKBABCCGCABKGCB 變換后

48、11111111000ABKBKBAPA PBPBAGCCC PC 第68頁(yè)/共90頁(yè)另外，系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 1det()det() det()sIAsIABKsIAGC它由（A-BK）、（A-GC）的特征多項(xiàng)式的乘積組成，可見(jiàn)只要系統(tǒng)（A、B、C）能控、能觀測(cè)，則可按極點(diǎn)配置的需要選擇K，按觀測(cè)器動(dòng)態(tài)特性的需要G，兩者可分開(kāi)進(jìn)行設(shè)計(jì)，這個(gè)原理稱為分離定理 傳遞矩陣為 1111111()()000()()BsIABKC sIABCsIAHCC sIABKB系統(tǒng)的傳遞矩陣與用x進(jìn)行狀態(tài)反饋時(shí)的傳遞矩陣相同。 變換前 1110ABKBABCCGCABKGCB 變換后 11111111000ABKB

49、KBAPA PBPBAGCCC PC 第69頁(yè)/共90頁(yè)設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )6(1)(sssG希望利用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)為-4j6，求實(shí)現(xiàn)這個(gè)反饋的二維及一維觀測(cè)器。 解 1：建立能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn) xyuxx10016100系統(tǒng)也是能控的 2：求狀態(tài)反饋陣K，設(shè)K=k1，k2，系統(tǒng)特征方程式：06)6()(2112kksksbKAsI希望的特征方程式0528)64)(64(2ssjsjsK=2，40 3：求二維觀測(cè)器，設(shè)其極點(diǎn)為s1=s2=-10，G=g1，g2T 221()(6)0sIAGcsgsg希望的特征方程式 010020)10(22sssG=100，14T第70頁(yè)/共90頁(yè)觀測(cè)器方

50、程 ()xAGc xBuGy系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 )6(1ssuy240vs11 x1001 xs12 x2 x100201414-01001100120014xxuy 第71頁(yè)/共90頁(yè)系統(tǒng)能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn) xyuxx100161004：求一維觀測(cè)器，設(shè)其極點(diǎn)為s1=-10，G1=g 11121()0sIAG Asg希望的特征方程式 s+10=0G1=10 降維觀測(cè)器方程1112111212122111211112()()()0zAG AzBG B uAG AAG AG yIGxxzyIx 12104010zzuyxzyxxy 第72頁(yè)/共90頁(yè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 s1z 40z2 x1010101 x)6(

51、1ssyu240v-12104010zzuyxzyxxy 第73頁(yè)/共90頁(yè)一.漸近跟蹤問(wèn)題( )cgsy( )g sre所謂漸近跟蹤問(wèn)題,是指要求( )( )ty tr t即lim ( )lim( ( )( )0tte tr ty t( )( )( )( )( )( )( )( )gcrgcgcrds dsn sds dsns n sds實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤的條件的所有根,實(shí)部為負(fù)( )( )( )( )0gcgcds dsns n s( )rds在右半閉平面的零點(diǎn),也是( )( )gcds ds的零點(diǎn)( )11( )( )( )( )1( )( )( )1( )( )rgccrgcn sE sR

52、snsn sg s gsdsdsds第74頁(yè)/共90頁(yè)二.內(nèi)模原理為了實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤,要求( )( )gcds ds復(fù)現(xiàn)( )rds在右半閉平面的零點(diǎn)令( )rs是( )R s不穩(wěn)定極點(diǎn)構(gòu)成的多項(xiàng)式1( )rs稱為內(nèi)模,讓內(nèi)模在系統(tǒng)中復(fù)現(xiàn),稱為內(nèi)模原理( )cgsy( )g sre1( )rs( )11( )( )1( )( )1( )1( )( )1( )( )( )( )rgcrcrgrcn sE sR snsn sdsg sgssdssds由于( )rds在右半閉平面的零點(diǎn)被( )rs約去,只要用( )cgs鎮(zhèn)定系統(tǒng),使( )( )( )( )( )0grcgcdss dsns n s的根

53、均具有負(fù)實(shí)部,即可實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤.( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )grcrgrcgcrdss d sn sdss d sns n sd s第75頁(yè)/共90頁(yè)三.干擾抑制所謂干擾抑制問(wèn)題,是指要求( )0( ( )0)ty tr t( )cgsy( )g sref令( )fs是( )F s不穩(wěn)定極點(diǎn)構(gòu)成的多項(xiàng)式1( )fs稱為內(nèi)模,( )cgsy( )g sref1( )fs( )( )( )( )( )( )1( )( )1( )1( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ggfgcfcfgfcgfcfgfcgc

54、fnsdsnsg sY sF snsn sdsg sgssdssdsnss dsnsdss dsns n sds由于( )fds在右半閉平面的零點(diǎn)被( )fs約去,只要用( )cgs鎮(zhèn)定系統(tǒng),使( )( )( )( )( )0gfcgcdss dsns n s的根均具有負(fù)實(shí)部,即可實(shí)現(xiàn)干擾抑制.讓內(nèi)模在系統(tǒng)中復(fù)現(xiàn),如圖所示第76頁(yè)/共90頁(yè)四.漸近跟蹤和干擾抑制令( ) s是( )R s不穩(wěn)定極點(diǎn)之最小公分母1( ) s稱為內(nèi)模,讓內(nèi)模在系統(tǒng)中復(fù)現(xiàn),可實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制( )F s( )cgsy( )g sref1( ) s第77頁(yè)/共90頁(yè)五.狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法令( ) s是( )R s不穩(wěn)定極點(diǎn)之最小公分母12121011( )mmmmmssasasa sa( )F s121210( )mmmmmssasasa sa內(nèi)模其實(shí)現(xiàn)為cccccxA xb uyx01210100000100,000101ccmAbaaaa 第78頁(yè)/共90頁(yè)讓內(nèi)模在系統(tǒng)中復(fù)現(xiàn)KcKccccxA xb erecxyffxAxbub fxuycxdu()ccccccccccccxA xb eA xb rcxduA xb cxb d