1、會計學1第1頁/共109頁同濟大學數學系同濟大學數學系.線性代數線性代數M.第六版第六版.北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2014.第2頁/共109頁第3頁/共109頁第4頁/共109頁行列式的概念行列式的概念. .行列式的計算行列式的計算. .第5頁/共109頁在以往的學習中，我們接觸過二在以往的學習中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組元、三元等簡單的線性方程組. .但是，從許多實踐或理論問題里但是，從許多實踐或理論問題里導出的線性方程組常常含有相當導出的線性方程組常常含有相當多的未知量，并且未知量的個數多的未知量，并且未知量的個數與方程的個數也不一定相等與方程的個數也不一

2、定相等. .第6頁/共109頁我們先討論未知量的個數與方程我們先討論未知量的個數與方程的個數相等的特殊情形的個數相等的特殊情形. .在討論這一類線性方程組時，我在討論這一類線性方程組時，我們引入行列式這個計算工具們引入行列式這個計算工具. .第7頁/共109頁我們從最簡單的二元線性方程組出發，探我們從最簡單的二元線性方程組出發，探求其求解公式，并設法化簡此公式求其求解公式，并設法化簡此公式. .第8頁/共109頁二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121

3、122211)(baabxaaaa 當當 時，該方程組有唯一解時，該方程組有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 第9頁/共109頁求解公式為求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 請觀察，此公式有何特點？請觀察，此公式有何特點？分母相同，由方程組的四個系數確定分母相同，由方程組的四個系數確定.分子、分母都是四個數分成兩對相乘再

4、分子、分母都是四個數分成兩對相乘再 相減而得相減而得.第10頁/共109頁其求解公式為其求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 我們引進新的符號來表示我們引進新的符號來表示“四個四個數分成兩對相乘再相減數分成兩對相乘再相減”. .1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa記號記號 11122122aaaa數表數表 表達式表達式 稱為由該稱為由該數表所確定的數表所確定的二階行列式二階行列式，

5、即，即11221221a aa a 其中，其中， 稱為稱為元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 為為行標行標，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 為為列標列標，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原則：橫行豎列原則：橫行豎列第11頁/共109頁二階行列式的計算二階行列式的計算 11122122aaaa11221221a aa a主對角線主對角線 副對角線副對角線 即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積 對角線法則對角線法則 第12頁/共109頁二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba

6、 xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程組的系數行列式方程組的系數行列式) )則上述二元線性方程組的解可表示為則上述二元線性方程組的解可表示為1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 第13頁/共109頁例例1 求解二元線性方程組求解二元線性方程組 1212232121xxxx解解 因為因為 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD222137DxD 第14頁/共1

7、09頁定義定義 設有設有9個數排成個數排成3行行3列的數表列的數表原則：橫行豎列原則：橫行豎列引進記號引進記號稱為稱為三階行列式三階行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主對角線主對角線 副對角線副對角線 二階行列式的對角線法則二階行列式的對角線法則并不適用！并不適用！第15頁/共109頁三階行列式的計算三階行列式的計算 對角線法則對角線法則 111213212223313233a

8、aaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. . 實線上的三個元素的乘積冠正號，實線上的三個元素的乘積冠正號， 虛線上的三個元素的乘積冠負號虛線上的三個元素的乘積冠負號. .第16頁/共109頁12-4-221-34-2D 例例2 計算行列式計算行列式 解解按對角線法則，有按對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第17

9、頁/共109頁方程左端方程左端解解由由 得得2111230.49xx 例例3 求解方程求解方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或第18頁/共109頁利用對角線法則計算下列三階行列式：利用對角線法則計算下列三階行列式：xyxyyxyxxyxy 332()xy 第19頁/共109頁主要內容：主要內容：一、排列及其逆序數一、排列及其逆序數二、對換的定義二、對換的定義三、對換與排列奇偶性的關三、對換與排列奇偶性的關系系第20頁/共109頁引例引例用用1、2、3三個數字，可以組成多少個三個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？沒有重復數字的三位數？解解1

10、 2 3123百位百位3 3種放法種放法十位十位1231個位個位12 32 2種放法種放法1 1種放法種放法種放法種放法. .共有共有6123 一一、排列及其逆序數排列及其逆序數第21頁/共109頁問題問題 把把 n 個不同的元素排成一列，共有多少種不同的個不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？排法？定義定義 把把 n 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素個元素的的全排列全排列. n 個不同元素的所有排列的種數，通常用個不同元素的所有排列的種數，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 顯然顯然 即即n 個不同的元素一共有個不同的元素一

11、共有n! 種不同的排法種不同的排法.第22頁/共109頁所有所有6種不同的排法中，只有一種排種不同的排法中，只有一種排法（法（123）中的數字是按從小到大的）中的數字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有自然順序排列的，而其他排列中都有大的數排在小的數之前大的數排在小的數之前. .因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“順序順序”，而是而是“逆序逆序”. . 3個不同的元素一共有個不同的元素一共有3! =6種不同的排法種不同的排法123，132，213，231，312，321第23頁/共109頁25對于對于n 個不同的元素，可規定各元素之間的標準次序個不同的元素，可規定各元素之間

12、的標準次序.n 個不同的自然數，規定從小到大為標準次序個不同的自然數，規定從小到大為標準次序.定義定義 當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就稱這兩個元素組成一個就稱這兩個元素組成一個逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？答：答：3和和1，2和和1也構成逆序也構成逆序.第24頁/共109頁定義定義 排列中所有逆序的總數稱為此排列的排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆序數逆序數.排列排列 的逆序數通常記為的逆序數通常記為 . .1 2ni

13、ii1 2()nt i ii奇排列：奇排列：逆序數為奇數的排列逆序數為奇數的排列. .偶排列：偶排列：逆序數為偶數的排列逆序數為偶數的排列. .思考題：思考題：符合標準次序的排列是奇排列還是偶排列？符合標準次序的排列是奇排列還是偶排列？ 答：答：符合標準次序的排列（例如：符合標準次序的排列（例如：123）的逆序數）的逆序數等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .第25頁/共109頁計算排列的逆序數的方法計算排列的逆序數的方法則此排列的逆序數為則此排列的逆序數為12ntttt設設 是是 1, 2, , n 這這n 個自然數的任一排列，個自然數的任一排列，并規定由小到大為標準次序并規定由小到

14、大為標準次序. 先看有多少個比先看有多少個比 大的數排在大的數排在 前面，記為前面，記為 ；再看有多少個比再看有多少個比 大的數排在大的數排在 前面，記為前面，記為 ;最后看有多少個比最后看有多少個比 大的數排在大的數排在 前面，記為前面，記為 ;12np pp1p1p1t2p2p2tnpnpnt第26頁/共109頁例例1：求排列求排列 32514 的逆序數的逆序數.解：解：(32514)010315t 練習練習1 1：求排列求排列 453162 的逆序數的逆序數.9t 解：解：思考思考1 1：設設n階排列階排列a1 a2 an-1 an的逆序數為的逆序數為k，求，求n階排列階排列an an-

15、1 a2 a1的逆序數？的逆序數？n ntk(1)2 解：解：第27頁/共109頁練習：計算下列排列的逆序數，并討論其奇偶性練習：計算下列排列的逆序數，并討論其奇偶性(2 )1(21)2(22)3(23)(1)(1) .kkkkkkk 第28頁/共109頁111lmnaabbcb ca定義定義 在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的手續叫做不動，這種作出新排列的手續叫做對換對換將相鄰兩個元素對換，叫做將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換相鄰對換例如例如 11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb第29頁

16、/共109頁備注備注1.1.相鄰對換是對換的特殊情形相鄰對換是對換的特殊情形. . 2.2.一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現. . 3.3.如果連續施行兩次相同的對換，那么排列就還原了如果連續施行兩次相同的對換，那么排列就還原了. . m 次相鄰對換次相鄰對換 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbcbca111 lmnaabbca cbm+1次相鄰對換次相鄰對換 m 次相鄰對換次相鄰對換 111 lmnaabbcacb111 lmnaabbcb cam+1次相鄰對換次相鄰對換 第30頁/共109頁定理定理1 1對換改變排列的奇偶性

17、對換改變排列的奇偶性. . 證明證明先考慮相鄰對換的情形先考慮相鄰對換的情形 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 第31頁/共109頁11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序數不改變外，其它元素的逆序數不改變. ., a b第32頁/共109頁11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 當當 時，時， ， ， . . ab

18、 當當 時，時， ， ， . . ab 因此相鄰對換改變排列的奇偶性因此相鄰對換改變排列的奇偶性. . 1aartbbrt aart 1bbrt1rt 1rt 第33頁/共109頁既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么 2m+1次相鄰對換次相鄰對換因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變. .111lmnaabbcb ca111 lmnaabbca cb推論推論 奇排列奇排列變成標準排列的對換次數為變成標準排列的對換次數為奇數奇數， 偶排列偶排列變成標準排列的對換次數為變成標準排列的對換次數為偶數偶數

19、. . 由定理由定理1 1知，對換的次數就是排列奇偶性的變化知，對換的次數就是排列奇偶性的變化次數，而標準排列是偶排列次數，而標準排列是偶排列( (逆序數為零逆序數為零) )，因此可知推，因此可知推論成立論成立. .證明證明 第34頁/共109頁第35頁/共109頁第36頁/共109頁1 12122121122,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 因為數的乘法是可以交換的，因為數的乘法是可以交換的，所以所以 n 個元素相乘的次個元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交換，元素的行標與列標所成的排列每作一次交換，元素的行標與列標所成的排列 與與 都同

20、時作一次對換，即都同時作一次對換，即 與與 同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數之和的奇偶同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數之和的奇偶性不變性不變. . 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii第37頁/共109頁于是于是 與與 同時為奇數或同時為偶數同時為奇數或同時為偶數. . 即即 是偶數是偶數. . 因為對換改變排列的奇偶性，因為對換改變排列的奇偶性， 是奇數，是奇數， 也是奇數也是奇數. . 設對換前行標排列的逆序數為設對換前行標排列的逆序數為 ，列標排列的逆序數為，列標排列的逆序數為 . . st s t所以所以 是偶數，是偶數， ss tt ()()sst

21、t()()stst()st ()st 因此，交換因此，交換 中任意兩個元素的位置后，中任意兩個元素的位置后，其行標排列與列標排列的逆序數之和的奇偶性不變其行標排列與列標排列的逆序數之和的奇偶性不變. .1 12 2,n ni ji ji jaaa設經過一次對換后行標排列的逆序數為設經過一次對換后行標排列的逆序數為 列標排列的逆序數為列標排列的逆序數為第38頁/共109頁1 21 21212()()(12)()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 經過一次對換是如此，經過多次對換還是如此經過一次對換是如此，經過多次對換還是如此. . 所以，所

22、以，在一系列對換之后有在一系列對換之后有第39頁/共109頁定理定理2 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 定理定理3 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第40頁/共109頁例例1 試判斷試判斷 和和142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a 是否都是六階行列式中的項是否都是六階行列式中的項.解解下標的逆序數為下標的逆序數為

23、4312650122016t 142331425665a a a a a a所以所以 是六階行列式中的項是六階行列式中的項.142331425665a a a a a a 行標和列標的逆序數之和行標和列標的逆序數之和(341526)(234156)538tt324314512566a a a a a a 所以所以 不是六階行列式中的項不是六階行列式中的項.324314512566a a a a a a 第41頁/共109頁例例2 用行列式的定義計算用行列式的定義計算 0001000200100000000nDnn 第42頁/共109頁 1221!nnnDn 解解 1,12,21,11 1 1

24、21 1!tnnnnnnttDaaaannn 12212321122 tnnnnnnn 第43頁/共109頁1. 對換改變排列奇偶性對換改變排列奇偶性2. 行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法121212()12( 1)nnnt p ppppnpp ppDaaa 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第44頁/共109頁第第1 1章章 行列式行列式1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式1.2 1.2 全排列和對換

25、全排列和對換1.3 n1.3 n階行列式的定義階行列式的定義1.4 1.4 行列式的性質行列式的性質1.5 1.5 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開第45頁/共109頁111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a規律：規律：1.1. 三階行列式共有三階行列式共有6項，即項，即3!項項2.2. 每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積3.3. 每一項可以寫成每一項可以寫成 （正負號除外），其中（正負號

26、除外），其中 是是1、2、3的某個排列的某個排列. .4.4. 當當 是是偶排列偶排列時，對應的項取時，對應的項取正號正號； 當當 是是奇排列奇排列時，對應的項取時，對應的項取負號負號. . 123123pppaaa123p p p123p p p123p p p第46頁/共109頁所以，三階行列式可以寫成所以，三階行列式可以寫成 123123123()123( 1)t p p ppppp p paaa 其中其中 表示對表示對1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. 123p p p 二階行列式有類似規律二階行列式有類似規律.下面將行列式推廣到一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形. 1112

27、13212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a第47頁/共109頁1. n 階行列式共有階行列式共有 n! 項項2.2. 每一項都是位于不同行不同列的每一項都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積個元素的乘積3.3. 每一項可以寫成每一項可以寫成 （正負號除外），其中（正負號除外），其中 是是1, 2, , n 的某個排列的某個排列. .4.4. 當當 是是偶排列偶排列時，對應的項取時，對應的項取正號正號； 當當 是是奇排列奇排列時，對應的項取時，對應的項取負

28、號負號. . 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 簡記作簡記作 ，其中其中 為行列式為行列式D的的( (i, j) )元元det()ijaija第48頁/共109頁思考題：思考題： 成立成立嗎？嗎？答：答：符號符號 可以有兩種理解：可以有兩種理解：若理解成絕對值，則若理解成絕對值，則 ；若理解成一階行列式，則若理解成一階行列式，則 . .11 1 11 11 注意：注意：當當n = 1時，一階行列式時，一階行列式|a| = a，注意不要與，

29、注意不要與絕對值的記號相混淆絕對值的記號相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 11 第49頁/共109頁111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例：例：寫出四階行列式中含有因子寫出四階行列式中含有因子 的項的項. . 2311aa例：例：計算行列式計算行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 第50頁/共109頁解：解：11

30、2213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中 第51頁/共109頁111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a a a a a11223344 第52頁/共109頁12,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四個結論：四個結論：(

31、1) (1) 對角行列式對角行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1)212,11( 1)n nnnna aa 第53頁/共109頁nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主對角線下側元素都為（主對角線下側元素都為0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主對角線上側元素都為（主對角線上側元素都為0 0）nnaaa2211 第54頁/共109頁思考題：思考題：用定義計算行列式用定義計算行列式解：用樹圖分析解：用樹圖分析111 13 33 31 12 23

32、 311222211(2134)1t(2143)2t(2413)3t(2431)4t491223D故故1130230021011210D第55頁/共109頁思考題思考題已知已知 ，求，求 的系數的系數. 1211123111211xxxxxf 3x第56頁/共109頁故故 的系數為的系數為1.解解含含 的項有兩項，即的項有兩項，即3x 1211123111211xxxxxf 對應于對應于 124311223443( 1)ta a a a (1234)11223344( 1)ta a a a (1234)311223344( 1),ta a a ax 1243311223443( 1)2ta a

33、 a ax 3x第57頁/共109頁1 12122121122,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 因為數的乘法是可以交換的，因為數的乘法是可以交換的，所以所以 n 個元素相乘的次個元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交換，元素的行標與列標所成的排列每作一次交換，元素的行標與列標所成的排列 與與 都同時作一次對換，即都同時作一次對換，即 與與 同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數之和的同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數之和的奇偶奇偶性不變性不變. . 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii第58頁/共109頁于是于是

34、與與 同時為奇數或同時為偶數同時為奇數或同時為偶數. . 即即 是偶數是偶數. . 因為對換改變排列的奇偶性，因為對換改變排列的奇偶性， 是奇數，是奇數， 也是奇數也是奇數. . 設對換前行標排列的逆序數為設對換前行標排列的逆序數為 ，列標排列的逆序數為，列標排列的逆序數為 . . st s t所以所以 是偶數，是偶數， ss tt ()()sstt()()stst()st ()st 因此，交換因此，交換 中任意兩個元素的位置后，中任意兩個元素的位置后，其行標排列與列標排列的逆序數之和的奇偶性不變其行標排列與列標排列的逆序數之和的奇偶性不變. .1 12 2,n ni ji ji jaaa設經

35、過一次對換后行標排列的逆序數為設經過一次對換后行標排列的逆序數為 列標排列的逆序數為列標排列的逆序數為第59頁/共109頁1 21 21212()()(12)()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 經過一次對換是如此，經過多次對換還是如此經過一次對換是如此，經過多次對換還是如此. . 所以，所以，在一系列對換之后有在一系列對換之后有第60頁/共109頁定理定理2 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 定理定理3 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 1 21

36、 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第61頁/共109頁例例1 試判斷試判斷 和和142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a 是否都是六階行列式中的項是否都是六階行列式中的項.解解下標的逆序數為下標的逆序數為 4312650122016t 142331425665a a a a a a所以所以 是六階行列式中的項是六階行列式中的項.142331425665a a a a a a 行標和列標的逆序數之和行標和列標的逆序數之和(341526)(234156)5

37、38tt324314512566a a a a a a 所以所以 不是六階行列式中的項不是六階行列式中的項.324314512566a a a a a a 第62頁/共109頁例例2 用行列式的定義計算用行列式的定義計算 0001000200100000000nDnn 第63頁/共109頁 1221!nnnDn 解解 tnnnnttnnDaaaannn1,2,1 1 ,121 1 1 21 1! tnnnnnnn 122123211 22 第64頁/共109頁 行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法nnnt p ppppnpp ppDaaa121212()12( 1) 121212()12(

38、 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第65頁/共109頁第第1 1章章 行列式行列式1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式1.2 1.2 全排列和對換全排列和對換1.3 n1.3 n階行列式的定義階行列式的定義1.4 1.4 行列式的性質行列式的性質1.5 1.5 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開第66頁/共109頁111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉置行列式轉

39、置行列式. . TDD若記若記 ，則，則 .det(), det()TijijDaDb ijjiba 記記性質性質1 行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等, ,即即 .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 第67頁/共109頁121212()12( 1)nnnt p ppTppnpp ppDbbb 性質性質1 行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等. .證明證明根據行列式的定義，有根據行列式的定義，有若記若記 ，則，則det(), det()TijijDaDb ,1,2,ijijbai jn 1121221()2( 1)nnnppt

40、p ppp ppp naaa D 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,行列式的性質凡是對行行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立成立的對列也同樣成立. .第68頁/共109頁性質性質2 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .驗證驗證于是于是175662358175358662196 196 175175662358358662 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 ，所以，所以 . DD 0D 備注：交換第備注：交

41、換第 行（列）和第行（列）和第 行（列），記作行（列），記作 . .ji()ijijrr cc第69頁/共109頁性質性質3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數個倍數 ，等于用數，等于用數 乘以此行列式乘以此行列式. .驗證驗證kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 根據三階行列式的對角線法則，有根據三階行列式的對角線法則，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 備注：第備注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，記作，記作 . .ki()

42、iirk ck第70頁/共109頁1112131212223313233kkaaaDaaaaaak kkkaaaaaaaaaakaaaaaaaakk112233122331132132132231122133112332()()()()()()a a aa a aa a aa a aa a aa aka112233122331132132132231122133112332()Dk 推論推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面到行列式符號的外面備注：第備注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，記作，記作 . .ki

43、()iirk ck第71頁/共109頁kakakakaaaaaaaaaaaaa21222324311112132333111214331414 驗證驗證我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 性質性質4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零列式為零aaaaakaaaaaaaaaaa21222324311111121312323313134414 k 00 第72頁/共109頁性質性質5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和, ,例如第例如第i行的元素都是兩數之和：行的元素都是兩數之和：ni

44、iiiininnnnnnaaaaaaaaaDaaaa 111211122122 則則nniiiniiinnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa 11121111211212122122 第73頁/共109頁121222221113212331332323aaDaaabababaa pt p p pppppppaaab1231232312()2321()( 1) pt p p ptpp p pppppp p pp p paaabaa123123131312312322()()131223( 1)( 1)11131113212321233133313121222222333

45、2aaabaabaaaaaaabaaa驗證驗證我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 第74頁/共109頁性質性質6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數然后加到另一列數然后加到另一列( (行行) )對應的元素上去，行列式不變對應的元素上去，行列式不變則則1.DD 驗證驗證122211132123313323,aaDaaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 備注：以數備注：以數 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）

46、上，記作行（列）上，記作 . .kiijijrkr ckc(). j第75頁/共109頁例例2101044614753124025973313211 D計算行列式常用方法：利用運算計算行列式常用方法：利用運算 把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值3 ()ijijrr cc()iirk ckijijrkr ckc() 第76頁/共109頁2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr第77頁/共109頁2101044614753140202010013

47、211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 第78頁/共109頁42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 第79頁/共109頁2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 第80頁/共109頁6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 第81頁/共109頁例例

48、2 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2第82頁/共109頁 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 第83頁/共109頁例例3 設設 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明 第84頁/共109頁證明證明111

49、1110;kkkkkpDpppp對對 作運算作運算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 1Dijrkr 1D設為設為對對 作運算作運算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp設為設為第85頁/共109頁對對 D 的前的前 k 行作運算行作運算 ，再對后，再對后 n 列作運算列作運算 ，把把 D 化為下三角形行列式化為下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故第86頁/共109頁 ( (行列式中行與列具有同行列

50、式中行與列具有同等的地位等的地位, , 凡是對行成立的性質對列也同樣成凡是對行成立的性質對列也同樣成立立).). 計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)(1)利用定義利用定義;(2);(2)利利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值得行列式的值行列式的行列式的6 6個性質個性質第87頁/共109頁對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. .本節主要考慮如何用低階行列式來表示高本節主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式階行列式. .第88頁/共109頁12233111122122133333213213

51、2231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa aaaaaa aaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132結論結論 三階行列式可以用二階行列式表示三階行列式可以用二階行列式表示. .思考題思考題 任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？第89頁/共109頁例如例如 11121314212223243132333441424344aaaa

52、aaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 稱為元素稱為元素 的的代數余子式代數余子式 1ijijijAM ija在在n 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃后，列劃后，留下來的留下來的n1階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作 . ijijMijaija結論結論 因為行標和列標可唯一標識行列式的元素，所以行因為行標和列標可唯一標識行列式的元素，所以行列列式中每一個元素都分別對應著一個余子式和一個代數余子式中每一個元素都分別對應著一個余子式和一個代數余子

53、式式. .第90頁/共109頁引理引理 一個一個n 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于外都為零，那么這行列式等于 與它的代數余子式的乘與它的代數余子式的乘積，即積，即 ijijDa A 11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa iijaija第91頁/共109頁11212221200nnnnnaaaaDaaa 即

54、有即有1111.Da M 又又 1 11111111,AMM 從而從而1111.Da A 下面再討論一般情形下面再討論一般情形.分析分析 當當 位于第位于第1 1行第行第1 1列時列時, ,ija（根據（根據P.14例例10的結論）的結論）第92頁/共109頁11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 2334111213142122232441424344000( 1)rraaaaaaaaaaaaa12111213142122232441424334442000( 1)rraaaaaaaaaaaaa1112

55、131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行變換？代替上述兩次行變換？13rr第93頁/共109頁231234234414243444142434411121212223314111213142421222324000( 1)000rrrraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行變換？代替上述兩次行變換？133434411112142314111434441421222324212223221323414444000( 1)000rraaaaa

56、aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa答：答：不能不能. .13rr第94頁/共109頁1112131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 342312141112132421222344434(3 1)331424000( 1)( 1)ccccccaaaaaaaaaaaaa 14111234(13 1)32421222344414243(4 1)000( 1)( 1)aaaaaaaaaaaaa 3 4 2( 1) 3 434( 1)a 3434a A 被調換到第被調換到第1行，第行，第1列列34a11121321222341424334

57、aaaaaaaaaa34M11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa第95頁/共109頁定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即應的代數余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 第96頁/共109頁111213111213212223212223313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa 111213212223212223212223313233313233313233000000aaaaaaaaaaaaaa