1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 合并同類項(xiàng)錯(cuò)解的常見原因 1、 找錯(cuò)同類項(xiàng) 【例 1】計(jì)算：2xy 3x2 4x -5yx 2x2 【錯(cuò)解】-2xy 3x2 4x -5yx 2x2 2 2 =(-2xy -5yx) (3x 4x 2x ) =-7yx 9x2 【剖析】本題的錯(cuò)誤是找錯(cuò)了題目中的同類項(xiàng)而造成的， “ 4x ”與“ 2x2、3x2 ”不 是同類項(xiàng)，不能進(jìn)行合并 2 2 【正解】-2xy 3x 4x -5yx 2x 2 2 =(-2xy -5yx) (3x 2x ) 4x 2 =-7 yx 5x 4x 2、 忽視項(xiàng)的符號(hào) 【例 2】計(jì)算：-3x2 +8x-5 x 2 -6x 【錯(cuò)解】-3x 2

2、+8x-5 x 2 -6x 2 2 =(-3x +5 x ) + (8x+6x) 2 =2 x +14 x 【剖析】本題的錯(cuò)誤是忽視了第三、四項(xiàng)的符號(hào)而造成的，特別注意，項(xiàng)的符號(hào)為負(fù) 時(shí)，一定不要漏掉該項(xiàng)的符號(hào) 【正解】-3x 2 +8x-5 x 2 -6x 2 2 =(-3x -5 x ) + (8x-6x) c 2 c =-8 x +2 x 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 3、 漏項(xiàng) 【例 3】計(jì)算：4x2 -4x 5yx -2x2 7x 【錯(cuò)解】4x? -4x 5yx -2x2 7x =(4x2 -2x2) ( -4x 7x) =2x2 3x 【剖析】本題的錯(cuò)誤是遺漏了題目中的“ 5yx ”項(xiàng)。在計(jì)

3、算時(shí)，式子中沒有同類項(xiàng)的 項(xiàng)不可丟. 【正解】4x2 -4x 5yx-2x2 7x 2 2 =(4x - 2x ) (_4x 7x) 5yx 2 =2x 3x 5yx 4、違背運(yùn)算法則 【例 4】計(jì)算：(1) 3x2 3x2. (2) 3a-a. 【錯(cuò)解】(1)原式=6x4. (2)原式=2 . 【剖析】3x2 3x2.是合并同類項(xiàng)，只把它們的系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變； 3a -a.是同類項(xiàng)，把系數(shù)相減即可. 【正解】(1) 6x2. (2) 2a.學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 解方程誤區(qū)莫入 誤區(qū)一、用連等號(hào)連等到底 例 1 解方程2x 5 = 3x -1. 錯(cuò)解：移項(xiàng)，得 2x -3 = -1

4、 -5= - x = -6 = x = 6. 正解：移項(xiàng)，得2x -3二-1 -5. 合并同類項(xiàng)，得-x 6. 化系數(shù)為 1，得x = 6. 對(duì)比正解，你來剖析： _ . 誤區(qū)二、移項(xiàng)概念理解不清 例 2 解方程 3x-0.2x-2x+0.8x=-7+11. 錯(cuò)解：移項(xiàng)，得 3x+2x+0.2x+0.8x=11+7. 合并同類項(xiàng)，得 6x=18. 系數(shù)化為 1,得 x=3. 正解：合并同類項(xiàng)，得 1.6x=4. 5 系數(shù)化為 1，得 x=. 2 對(duì)比正解，你來剖析： _ 誤區(qū)三、移項(xiàng)時(shí)忘記變號(hào) 例 3 解方程3x - 5 - -2x - 6. 錯(cuò)解：移項(xiàng)，得3x -2x =6 -5. 合并同類

5、項(xiàng)，得x=1. 正解：移項(xiàng)，得3x 2 6 5. 合并同類項(xiàng)，得5x11. 系數(shù)化為 1,得x =2.2 對(duì)比正解，你來剖析： _ 誤區(qū)四、系數(shù)化為 1 時(shí)要小心 1 1 1 例 4 解方程：（1）3x =1 ；（ 2） x ；（ 3） X =0. 4 2 5 錯(cuò)解：（1）系數(shù)化成 1,得x =1 3=3 ； 1 1 1 （2 ）系數(shù)化成 1，得x = 4 2 2 （3）系數(shù)化成 1,得x =5. 1 正解：（1）系數(shù)化成 1，得x ； （2）系數(shù)化成 1，得x=2 ；（3）系數(shù)化成 1， 3 得 x = 0. 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 對(duì)比正解，你來剖析： _ 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 解應(yīng)用題時(shí)常見錯(cuò)

6、誤 、審題不清，求解有誤 5 例 1 某班的男生人數(shù)比全班人數(shù)的 少 5 人，女生比男生少 2 人，求全班人數(shù) 8 錯(cuò)解： 5 5 設(shè)全班有 x人，則男生有 (x+5)人，女生有(x+5)+2人.由題意得 8 8 5 5 x=( x+5)+( x+5)+2，解得 x=48.即全班有 48 人. 8 8 5 剖析：上述錯(cuò)誤有兩處，一處是沒有搞清楚“多”與“少” ，男生比全班的5少 5 人， 8 5 5 應(yīng)為(-X 5)人，女生比男生少 2 人，應(yīng)為(-x 5)-2人，錯(cuò)誤原因是審題不清；另一 8 8 處是按所列方程只能解出 x= 48,而不是 48,錯(cuò)誤原因是解方程不熟練 . 5 5 5 正解：

7、設(shè)全班有 x人，則男生有(-x 5)人，女生有(-x 5) 2人.由題意得 x=(-x 8 8 8 5 5) +(x 5) 2,解得 x=48 .即全班有 48 人. 8 二、單位不統(tǒng)一，書寫不規(guī)范 例 2 甲、乙兩人分別從相距 1500 米的 A、B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行， 3 分鐘后相 遇，已知乙的速度是 5 米/秒，求甲的速度. 錯(cuò)解：設(shè)甲的速度為 x米，由題意得 3x+3 X 5=1500，解得 x=495 .即甲的速度為 495 米. 剖析：上述錯(cuò)誤有兩處，一處是速度單位書寫不規(guī)范，速度是復(fù)名單位，常用的有米 /秒、千米/時(shí)，也可以寫成“每秒多少米” 、“每小時(shí)多少千米”，不能只寫

8、成“速度是 多少米(千米)”；另一處是單位不統(tǒng)一，在同一個(gè)方程中單位一定要一致，這里的 3 分鐘 應(yīng)化為秒后再參與運(yùn)算 正解：設(shè)甲的速度為 x米/秒，3 分=180 秒，得 180X+180 X 5=1500，解得 x=上 即 3 10 甲的速度為一米/秒. 3 三、考慮不周，丟失一個(gè)解 例 3 在一條公路上有相距 18 千米的 A、B 兩個(gè)村莊，A 村的一輛汽車速度為 54 千 米/時(shí)，B 村的一輛汽車速度為 36 千米/時(shí)，兩車同時(shí)同向而行，經(jīng)過幾小時(shí)后兩車相 距 45 千米？ 錯(cuò)解：設(shè)經(jīng)過 x小時(shí)后兩車相距 45 千米，由題意得 54x 36x=45+18，解得 x=3.5.即 兩車同時(shí)

9、同向而行，經(jīng)過 3.5 小時(shí)后兩車相距 45 千米. 剖析：應(yīng)有兩種情形，一種是兩車沿 AB 方向行駛；另一種是兩車沿 BA 方向行駛. 而錯(cuò)解中只考慮到其中的一種情況，這種錯(cuò)誤是初學(xué)者常犯的，原因是對(duì)題意理解不透， 考慮不周 正解：設(shè)經(jīng)過 x小時(shí)后兩車相距 45 千米，下面分兩種情形： 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 （1 ）當(dāng)兩車沿 AB 方向行駛時(shí)，解法同錯(cuò)解； （2）當(dāng)兩車沿 BA 方向行駛時(shí)，由題意得 54x 36 x=45 18,解得 x=1.5. 即兩車同時(shí)同向而行，經(jīng)過 1.5 小時(shí)或 3.5 小時(shí)后兩車相距 45 千米. 等式性質(zhì)的解題功能 等式的基本性質(zhì)： 性質(zhì) 1:等式兩邊加（或減）

10、同一個(gè)數(shù)（或式子） ，結(jié)果仍相等。 性質(zhì) 2:等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為 0 的數(shù)，結(jié)果仍相等。 等式的這兩條性質(zhì)極其重要，它是等式進(jìn)行恒等變形和解方程的依據(jù)，并且能幫助我 們解決許多問題，所以要很好地掌握它。 功能一：利用等式的性質(zhì)解方程 例 1 解方程3x 5 =2。 析解：要使方程3x，5=2通過變形，最終變形為x=a的形式，則第一步要去掉方程 左邊的 5。依據(jù)等式的性質(zhì) 1，可在方程的兩邊同時(shí)減去 5，即3x *5-5 = 2-5，于是有 3x = -3。第二步要將未知數(shù) x的系數(shù)變?yōu)?1,則可依據(jù)等式的性質(zhì) 2,在方程的兩邊同時(shí) 1 3x 3x 除以3 （或乘），即 ，得X

11、 - -1。所以方程的解為 X - -1。 3 3 3 功能二：利用等式的性質(zhì)構(gòu)造方程 例 2 一個(gè)一元一次方程的解為一 3,請(qǐng)你寫出這個(gè)方程 _ （只寫一個(gè)即可） 析解：本題的答案不惟一，先構(gòu)造一個(gè)等式 X =3，根據(jù)等式性質(zhì) 1,在等式的兩邊 同時(shí)加 2，得 X2 = -1，或由等式性質(zhì) 2，在等式的兩邊同時(shí)除以 2,得-，； 2 2 若同時(shí)利用等式的性質(zhì) 1 和性質(zhì) 2，還可以得出許許多多滿足題意的方程。 功能三：利用等式的性質(zhì)說理 例 3 貝貝在解方程2x=5x時(shí)，在方程兩邊同時(shí)都除以 x，竟得到 2= 5,你認(rèn)為他 的解法正確嗎？說說你的理由。 析解：通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)方程的解為 x

12、 = 0。在方程的兩邊同時(shí)都除以 x，即相當(dāng) 于在方程兩邊都除以 0，這違背了等式的性質(zhì) 2,所以出錯(cuò)，他的解法是錯(cuò)誤的。 功能四：禾U用等式的性質(zhì)比較大小 例 4 已知-2x 3y =3x -2y -1，試比較x和y的大小關(guān)系。 析解：要比較x和y的大小關(guān)系，只需利用等式變形求出 （x - y）的值，再根據(jù)其正 負(fù)判斷大小。由等式的性質(zhì) 1 ,在等式的兩邊都減去 3x -2y ,即 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 -2x 3y -（ 330,不符實(shí)際. 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 所以第一次 28 千克，第二次 42 千克. 二、方案設(shè)計(jì)型 方案型問題比較綜合，要求思維能力強(qiáng)這類問題一般給出幾種可行方案， 通過

13、對(duì)比做 出選擇，或者通過分析給出可行方案 例 2 某牛奶廠現(xiàn)有鮮奶 9 噸，若在市場(chǎng)上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤(rùn) 500 元； 制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤(rùn) 1200 元；制成奶片銷售，每噸可獲取利潤(rùn) 2000 元.該工廠 的生產(chǎn)能力是如果制成酸奶， 每天可加工 3 噸；制成奶片，每天可加工 1 噸，受人員限制， 兩種加工方式不可同時(shí)進(jìn)行；受氣溫限制，這批牛奶必須 4 天內(nèi)全部銷售或加工完畢.為此 該廠設(shè)計(jì)了兩種方案：方案一：盡可能地制成奶片，其余的直接銷售鮮奶；方案二：將一 部分制成奶片，其余的制成酸奶銷售，并恰好 4 天完成，你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多 ？ 分析：要確定哪種方案，若能計(jì)算

14、出每一種方案的金額，再通過比較即可作出正確地 選擇.而事實(shí)上，方案一則很容易求出其金額的多少，對(duì)于方案二，可引進(jìn)未知數(shù)，列出一 元一次方程即可求解. 解：方案一：4X2000+(9 4) 500= 10500 元； 9 x 方案二：設(shè)有 x噸制成奶片，則根據(jù)題意，得 x+ - = 4，解得 x= 1.5. 3 所以 1.5 2000+(9 1.5) 200= 12000 元.此時(shí) 10500 V 12000,所以應(yīng)選擇方案二 . 尋找相等關(guān)系的策略 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)尋找等量關(guān)系 .那么怎樣尋找等量關(guān)系呢？ 一、 從變化的關(guān)系中尋找不變的量，從而找到相等關(guān)系 例 1 輪船在兩個(gè)碼頭之間

15、航行，順?biāo)叫行枰?4 小時(shí)，逆水航行需要 5 小時(shí)，水 流的速度是 2 千米/時(shí).求輪船在靜水中航行的速度 . 分析 1:很顯然，兩個(gè)碼頭之間的距離是不變的量，可由此列方程 .為此，設(shè)船在靜水 中的速度為 x千米/時(shí)，則船順?biāo)叫械乃俣葹?x + 2)千米/時(shí)，逆水航行的速度為(x 2)千米/時(shí)，由不變量得方程 4( x + 2 ) = 5 (x - 2 ). 分析 2:由題意還可看出，船在靜水中的速度也是不變的量，也可由此列方程 .設(shè)兩個(gè) x x 碼頭之間的距離為 x千米，則船順?biāo)叫械乃俣葹?一千米/時(shí)，逆水航行的速度為 一千米/ 4 5 一一 x x 時(shí)，由不變量得方程 一一 2 =

16、+ 2.解出方程的解后再求輪船在靜水中航行的速度 4 5 二、 用不同的方式表示同一個(gè)量，由此得到相等關(guān)系 例 2 王平要從甲村走到乙村，如果他每小時(shí)走 4 千米，那么走到預(yù)定時(shí)間，離乙村 還有 0.5 千米；如果他每小時(shí)走 5 千米，那么比預(yù)定時(shí)間少用半小時(shí)就可到達(dá)乙村 .求預(yù)定 時(shí)間是多少小時(shí)，甲村到乙村的路程是多少千米？ 分析 1:設(shè)預(yù)定時(shí)間為 x小時(shí)，則甲村到乙村的路程可表示為( 4x + 0.5 )千米或 5 (x 0.5)千米，于是可得到方程(4x + 0.5) = 5 (x 0.5). 分析 2：設(shè)甲村到乙村的路程為 x千米，則預(yù)定時(shí)間可表示為 x75或(蘭+ 0.5) 4 5

17、小時(shí)，于是可得方程 05 = + 0.5. 4 5 三、 利用某些公式尋找相等關(guān)系 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 例 3 某商品的進(jìn)價(jià)是 1530 兀，按商品標(biāo)價(jià)的 9 折出售時(shí)，利潤(rùn)率是 15%，商品的 標(biāo)價(jià)是多少元？ 分析：本題是銷售問題，其中的數(shù)量關(guān)系如下： 商品的利潤(rùn)率=商品的利潤(rùn)十商品的進(jìn)價(jià)， 商品的禾 U 潤(rùn)=商品的售價(jià)一商品的 進(jìn)價(jià)，商品的售價(jià)=商品的標(biāo)價(jià)X商品的銷售折扣 設(shè)商品的標(biāo)價(jià)是 x元，根據(jù)相應(yīng)公式得方程 X 9 % - 1530 = 15% . 1530 四、利用各個(gè)分量之和等于總量”這一等量關(guān)系列方程 例 4 要加工 200 個(gè)零件 甲先單獨(dú)加工了 5 小時(shí)，然后又與乙一起加工

18、了 4 小時(shí)， 完成了任務(wù)已知甲每小時(shí)比乙多加工 2 個(gè)零件，甲、乙每小時(shí)各加工多少個(gè)零件？ 分析：設(shè)乙每小時(shí)加工 x個(gè)零件，則甲每小時(shí)加工(x + 2)個(gè)零件由題意可知，甲共 加工零件數(shù)為(5 + 4) ( x + 2 ) = 9 (x+2 )個(gè)，乙加工零件數(shù)為 4x個(gè).于是可得方程 9 (x +2) + 4x = 200 . 列方程解應(yīng)用題錯(cuò)解分類辨析 列一元一次方程解應(yīng)用題，涉及的知識(shí)較多，解題有一定的技巧，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)經(jīng) 常會(huì)遇到一些問題，下面就學(xué)生在解題中出現(xiàn)困惑的地方，分類辨析如下，供大家參考。 一、 “設(shè)”與“列”中未知數(shù)不一致 例 1、某人沿著相同的路徑上山、下山共需 2h,

19、如果上山速度為 3km/h，下山速度為 5km/h，那么這條山路有多長(zhǎng)？ 5 5 錯(cuò)解：設(shè)這條山路長(zhǎng)為 xkm。根據(jù)題意，得 3x=5 (2-x)，解得 x=，又一X 3=3.75 , 4 4 所以這條山路長(zhǎng)為 3.75km。 辨析：從方程來看，其中的未知數(shù)表示是上山的時(shí)間而不是這條山路長(zhǎng)， “設(shè)”與“列” 中的未知數(shù)不一致。 x x 正解：方法一：設(shè)這條山路長(zhǎng)為 xkm。根據(jù)題意，- + -=2，解得 x=3.75，所以這條 3 5 山路長(zhǎng)為 3.75km。 5 5 方法二：設(shè)上山的時(shí)間為 xh。根據(jù)題意，得 3x=5 (2- x),解得 x=，又一 X 3=3.75 , 4 4 所以這條山

20、路長(zhǎng)為 3.75km。 二、 對(duì)“關(guān)鍵”詞的意義理解錯(cuò)誤 4 例 2、某工廠第一車間人數(shù)比第二車間人數(shù)的 少 30 人，如果從第二車間調(diào) 10 人到 5 3 第一車間，那么第一車間的人數(shù)就是第二車間人數(shù)的 一。求第一車間、第二車間原有的人 4 數(shù)。 4 3 錯(cuò)解：設(shè)第二車間原有x人。根據(jù)題意，得一 x 30 10 x-10。解得 x = 650, 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 5 4 4 x 30 =550。 5 答：第一車間、第二車間原有的人數(shù)分別為 550 人和 650 人。學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 4 4 辨析：錯(cuò)解把“第一車間人數(shù)比第二車間人數(shù)的 -少 30 人”表示成-x 30，這是 5 5 錯(cuò)誤的

21、。造成錯(cuò)誤的原因是沒有正確理解“多”和“少”的意義。 4 3 正解：設(shè)第二車間原有 x人。根據(jù)題意，得 一x-30 10 x-10。解方程，得 5 4 4 x =250， x -30 =170。 5 答：第一車間、第二車間原有的人數(shù)分別為 170 人和 250 人。 三、方程兩邊的意義不同 例 3、某中學(xué)開展植樹活動(dòng)，讓一班單獨(dú)種植，需要 7. 5 小時(shí)完成；讓二班單獨(dú)種 植，需要 5 小時(shí)完成。現(xiàn)在讓一班、二班先一起種植 1 小時(shí)，再由二班學(xué)生單獨(dú)完成剩余 部分，共需多少小時(shí)完成？ (1 1、 1 錯(cuò)解：設(shè)二班完成剩余部分需要 X小時(shí)，根據(jù)題意，得 1 x - 1 - x。 遼.5 5丿 5

22、 5 解得x 。由題意知，x不能為負(fù)，此題無解。 6 辨析：方程左邊 1+ x是二班學(xué)生完成植樹總共需要的時(shí)間，右邊為全部的工作量, 方程兩邊的意義不同，故以上解答是錯(cuò)誤的。 (1 1 ) 1 x小時(shí)，根據(jù)題意，得 丄 1 1 1。解得 17.5 5 .丿 5 1 1 1 x =3。1 1 3 4 -(小時(shí))，即 4 小時(shí) 20 分。 3 3 3 答：共需要 4 小時(shí) 20 分完成。 四、代數(shù)式表達(dá)錯(cuò)誤 例 4、一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小 十位與個(gè)位上的數(shù)字的和是 1 這個(gè)兩位數(shù)的1。求這個(gè)兩位數(shù)。 5 錯(cuò)解：設(shè)十位上的數(shù)字為x ,則個(gè)位上的數(shù)字為x + 1。根據(jù)題意，得 辨析：

23、設(shè)十位上的數(shù)字為 X，個(gè)位上的數(shù)字為 X + 1，這個(gè)兩位數(shù)應(yīng)該表示為 10 x x 1，而不應(yīng)該是 x 1。由于代數(shù)式表達(dá)錯(cuò)誤，造成問題無解。 正解：設(shè)二班完成剩余部分需要 1 _ X X 1 X X 1 。解得 x -。這是不可能的，故此題無解。 2 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 正解：設(shè)十位上的數(shù)字為X ,則個(gè)位上的數(shù)字為X + 1。根據(jù)題意，得 1 _ x x 1 10 x x 1 ：1。解得 x =4。所有 10 x x 1 = 45。 5 - 答：這個(gè)兩位數(shù)是 45。 五、運(yùn)算順序出錯(cuò)學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 例 5、某班課外活動(dòng)小組中， 第一組人數(shù)比第二小組人數(shù)的 2 倍少 30 人，如果從第二 小組調(diào) 10 人到第一小組，那么第一小組的人數(shù)就是第二小組人數(shù)的 3。求第一小組原有 4 的人數(shù)。 3 1 錯(cuò)解：設(shè)第一小組原有 x人。根據(jù)題意，得 （一 x+30-10）=x+10，解得 x=-8， x 4 2 不能為負(fù)數(shù)，此題無解。 辨析：設(shè)第一小組原有 x人后，錯(cuò)解把“第一組人數(shù)比第二小組人數(shù)的 2 倍少 30 人” 1 表示成丄x+30