1、類似二重積分解決問題的思想類似二重積分解決問題的思想, 采用采用 引例引例: 設在空間有限閉區域設在空間有限閉區域 內分布著某種不均勻的內分布著某種不均勻的物質物質,求分布在求分布在 內的物質的內的物質的“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質量質量 M .密度函數為密度函數為首先把首先把 M 分成分成 n 個小塊個小塊 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的體積的體積記為記為iV 第1頁/共70頁其次在每個小塊其次在每個小塊 Vi 上任取一點上任取一點),(iii 則則 Vi 的質量的質量iiiiiVM ),(然后對每個小塊然后對每

2、個小塊 Vi 的質量求和：的質量求和： niiiiiVM1),( 最后，取極限最后，取極限 niiiiiVM10),(lim 其中其中max0的直徑的直徑iniV 第2頁/共70頁第3頁/共70頁定義定義. 設設存在存在,稱為體積元素稱為體積元素, 若對若對 作作任意分割任意分割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數則稱此極限為函數在在 上的上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似三重積分的性質與二重積分相似.性質性質: 例如例如: 下列下列“乘乘中值定理中值定理.在有界閉域在有界閉域 上連續上連續,則存在則存在使得使得V 為為 的的體積體積,

3、積和式積和式” 極限極限記作記作第4頁/共70頁(1) (1) 三重積分的存在性：三重積分的存在性：(2) (2) 三重積分沒有幾何意義，但有物理意義三重積分沒有幾何意義，但有物理意義. . VzyxfMd),( 說明：說明：第5頁/共70頁1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法三次積分法 先假設連續函數先假設連續函數 并將它看作某物體并將它看作某物體 通過計算該物體的質量引出下列各計算通過計算該物體的質量引出下列各計算最后最后, 推廣到一般可

4、積函數的積分計算推廣到一般可積函數的積分計算. 的的密度函數密度函數 , 方法方法:三重積分的計算三重積分的計算第6頁/共70頁xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab),(yx如圖，如圖，,xyDxoy面上的投影為閉區域面上的投影為閉區域在在閉區域閉區域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直線線過過點點xyDyx 穿穿出出穿穿入入，從從從從21zz),( , ),(),(| ),(21xyDyxyxzzyxzzyx 第7頁/共70頁若把被積函數若把被積函數 f (x , y , z)設想為密度函數設想為密度函數 , 則則在在 Dxy 中任

5、取一微元中任取一微元 , 其坐標為其坐標為 ( x , y ) ,則則 對應的對應的 , 平行于平行于 z 軸的軸的 , 中的細棒質量中的細棒質量 第8頁/共70頁可以看到可以看到: 的質量就是的質量就是 中所有這種細棒中所有這種細棒質量的無限累積質量的無限累積 , 利用微元法有利用微元法有(1)該公式該公式 稱為三重積分的先一后二計算公式。稱為三重積分的先一后二計算公式。所以有所以有 ( ) 第9頁/共70頁則利用二重積分化為則利用二重積分化為二次積分的方法進一步可二次積分的方法進一步可將將 (1) 的積分化為的積分化為三次積分三次積分第10頁/共70頁該物體的質量為該物體的質量為細長柱體微

6、元的質量為細長柱體微元的質量為微元線密度微元線密度記作記作方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” )設設 D 為為 在在 xoy 平面上投影區域平面上投影區域.(1) 化成一個定積分和一個二重積分化成一個定積分和一個二重積分第11頁/共70頁y=y1(x, z)z0y=y2(x, z)Dxzyzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzxyzxyDyzyxfzxxzx第12頁/共70頁x=x2(y, z)z0 x=x1(y, z)Dyzyxzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzyxzyxDxzyxfzyyz第13頁/共70頁化三次積分的步驟：化三次積分

7、的步驟：投影，得平面區域投影，得平面區域穿越法定限，穿入點穿越法定限，穿入點下限，穿出點下限，穿出點上限上限對于二重積分，我們已經介紹過化為累次積分的方法對于二重積分，我們已經介紹過化為累次積分的方法第14頁/共70頁z =0y = 0 x =00y x 先畫圖先畫圖x0z y1121Dxy: : Dxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 圍成圍成：上上頂頂yxz21 ：下底下底z = 0121x + 2y + z =1Dxy其中其中 為三個坐標為三個坐標書例書例計算三重積分計算三重積分所圍成的閉區域所圍成的閉區域 .面及平面面及平面第15頁/共70頁解解:其中其中 為三個坐標為三個

8、坐標書例書例計算三重積分計算三重積分所圍成的閉區域所圍成的閉區域 .面及平面面及平面第16頁/共70頁典型分析典型分析1為為三三次次積積分分化化三三重重積積分分zyxzyxfIddd ),( 所圍成的區域所圍成的區域和和由平面由平面 6 1223 63 , 0 , 0 zyxyxyxzy： 第17頁/共70頁666x+y+z=63x+y=62x0z y第18頁/共70頁666x+y+z=63x+y=62x0z y第19頁/共70頁3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42第20頁/共70頁3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42第21頁/共70頁z =

9、 0y = 042x+y+z=6x0z y666第22頁/共70頁42x0z y666D0y x24D yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd yxyyzzyxfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd第23頁/共70頁0y x6241 找出上頂、下底及投影區域找出上頂、下底及投影區域2 畫出投影區域圖畫出投影區域圖Dxy:y = 0, 3x+y = 6, 3x+2y =12 圍成圍成yxz 6z = 0不畫立體圖做三重積分不畫立體圖做三重積分Dxy yxDzz , y,xfyxIxy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd 是是曲曲頂頂柱柱體體

10、 ：上上頂頂：下底下底第24頁/共70頁 所圍成的區域。所圍成的區域。平面平面與與拋物柱面拋物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : 化化為為三三次次積積分分將將zyxzyxfIddd ),( 典型分析典型分析2第25頁/共70頁xyzoy2=x第26頁/共70頁 zx2 2 2 y2=xxyzo第27頁/共70頁z = 0y=0 2 2 xyzo 。y2=x第28頁/共70頁zzyxfyxxxd ),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy D第29頁/共70頁EX. 計算計算,ddd)cos(zyxzxy其中其中 是由拋物是由拋物柱面柱面xy

11、及平面及平面y=0, z=0, 所圍閉區域所圍閉區域2 yx,ddd)cos(zyxzxyxDzzxyyx20d)cos(dd解：解： D: 0 y , 0 x x2xxzzxyyx20020d)cos(dd21162yxz2xz 0 xy D02yx第30頁/共70頁例例2. 將將zyxzyxfddd),(化為三次定積分，其中化為三次定積分，其中 是由是由 z = x2+y2 和和 z = 1所圍的閉區域所圍的閉區域.解：解：先對先對 z 積分，將積分，將 向向 xoy 平平面投影面投影.z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y21z=1z=1xyz01Dxyz=1z= x2+y2

12、第31頁/共70頁zyxzyxfddd),(111112222d),(ddyxxxzzyxfyxxyz01Dxyz=1z= x2+y2 第32頁/共70頁解解2：先對先對 y 積分，將積分，將 向向 xoz 平平面投影：面投影：z= x2+y2 Dxoy: x2 z 1,z=1 1 x1z= x2+y2 2xzy222d),(ddddd),(111xzxzxyzyxfzxzyxzyxfxyz0Dxz1 12xzy2xzy第33頁/共70頁 從上面的例子我們可以看到從上面的例子我們可以看到,利用利用“投影法投影法”來計算三重積分需要作圖來計算三重積分需要作圖,對于對于簡單的圖形還比較方便簡單的圖

13、形還比較方便,但復雜一些的問題容易出錯但復雜一些的問題容易出錯.下面我們介紹的下面我們介紹的“截面法截面法”是比較簡單的方法是比較簡單的方法,有時可以不作空間圖形有時可以不作空間圖形.先求二重積分先求二重積分,再求定積分再求定積分.稱為稱為“截面法截面法” 第34頁/共70頁 若積分區域若積分區域在在z軸上的投影區域為軸上的投影區域為a , b,對于這區域內任意一點對于這區域內任意一點z,過過z作平面作平面平行于平行于xoy面面,該平面與區域該平面與區域相交為一平面區域記作相交為一平面區域記作Dz,0 xzybzaDz),( ,| ),(zDyxbzazyx 于是積分區域可表示為于是積分區域可

14、表示為: :第35頁/共70頁 這時三重積分可化為先對區域這時三重積分可化為先對區域Dz求二重積分求二重積分,再對再對z在在 a , b 上求定積分上求定積分 zDccdxdyzyxfdzdVzyxf),(),(21 如果區域如果區域Dz可用不等式可用不等式 y1(z)yy2(z) , x1(y,z)xx2(y,z)表示表示,那么三重積分又可以化為如下的三次積分那么三重積分又可以化為如下的三次積分: ),(),()()(212121),(),(zyxzyxzyzyccdxzyxfdydzdVzyxf 第36頁/共70頁為底為底, d z 為高的柱形薄片質量為為高的柱形薄片質量為該物體的質量為該

15、物體的質量為面密度面密度記作記作方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)(1)化為一個二重積分和一個定積分化為一個二重積分和一個定積分第37頁/共70頁第38頁/共70頁例例1. 計算計算,ddyxz其中其中 是由是由 z=x2+y2 和和 z=1所圍成的閉區域所圍成的閉區域.xyz01D(z)1解：解：D(z): x2+y2zz 0, 110ddddzzzyxz)(ddzDyx10dzzz1033z3第39頁/共70頁例例2. 計算計算解：解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1 x yzxy0111x : 0 x 1 10ddddxxzyxx 102d)(121xxx241

16、)(ddxDzy,dddzyxx其中其中 是由平面是由平面 x+y+z=1與三個坐標面與三個坐標面所圍閉區域所圍閉區域.D(x)z=1 x y xy01 x1 x第40頁/共70頁0 xz yM(x,y, z)z rN cosrx xyz sinry (x, y, z)(r, , z)z = z2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 就稱為點就稱為點M 的柱坐標的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系直角坐標與柱面坐標的關系:第41頁/共70頁z動點動點M(r, , z)柱面柱面Sr =常數：常數：平面平面 z =常數：常數：x0yzMrz2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積

17、分 第42頁/共70頁動點動點M(r, , z)半平面半平面P柱面柱面S =常數常數:r =常數：常數：平面平面 z =常數：常數：zx0yzMr 2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 第43頁/共70頁xz y0 drrrd d z平面z元素區域由六個坐標面圍成：元素區域由六個坐標面圍成：半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為r及及 r+dr的圓柱面；的圓柱面；平面平面 z及及 z+dz；2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 第44頁/共70頁xz y0 drrrd d z底面積底面積 ：r drd dz平面平面z+dz元素區域由六個坐標面圍成：元素區域由六個

18、坐標面圍成：半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為r及及 r+dr的園柱面；的園柱面；平面平面 z及及 z+dz；第45頁/共70頁xz y0 drrrd d z底面積底面積 ：r drd dz ),sin,cos(zrrf zrrdddzyxddddV =zrrddd .zyxzyxfddd ),( dV元素區域由六個坐標面圍成：元素區域由六個坐標面圍成：半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為r及及 r+dr的圓柱面；的圓柱面；平面平面 z及及 z+dz；第46頁/共70頁zyxzIddd 0 , 1 :222 zzyx1 Dxy:221yxz ：下下底底122 yx：上頂上頂z =

19、 00 xz yDxy 計算計算1zzyxIxyDyxddd 用哪種坐標？用哪種坐標？柱面坐標柱面坐標zzrrrddd2101020 I =4 第47頁/共70頁zyxyxIddd1122 所所圍圍錐錐面面 1 , :222 zzyx 0 xz y1Dxy Dxy:rz 1 rz = 1錐面化為錐面化為: r = z1：下下底底：上頂上頂用哪種坐標？用哪種坐標？柱面坐標柱面坐標計算計算第48頁/共70頁zrrrIDrd11dd1 2 zrrrrdd1d1 1 0 22 0 )222(ln 102)d111(2rrr0 xz y1Dxy1第49頁/共70頁例例1. 計算計算,ddd22zyxyx

20、z其中其中 由由22yxz與與 z=1 所圍閉區域所圍閉區域.解：解： D: x2+y2122yxzz =122yxz z =r122 yxz =0 xyz0Dz=rz=1第50頁/共70頁zrzrzyxyxzdddddd*222110220dddrzzrrrrrd2)1 (2102215212dddrDzzrrxyz0z=rz=11D第51頁/共70頁其中其中 為為例例2. 計算三重積計算三重積分分所所解解: 在柱面坐標系下在柱面坐標系下及平面及平面由柱面由柱面圍成半圓柱體圍成半圓柱體.第52頁/共70頁例例3. 計算三重積計算三重積分分解解: 在柱面坐標系下在柱面坐標系下所圍成所圍成 .與

21、平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面原式原式 =第53頁/共70頁的的球球面面坐坐標標就就叫叫做做點點，個個數數面面上上的的投投影影，這這樣樣的的三三在在點點為為的的角角，這這里里段段逆逆時時針針方方向向轉轉到到有有向向線線軸軸按按軸軸來來看看自自為為從從正正軸軸正正向向所所夾夾的的角角，與與為為有有向向線線段段間間的的距距離離，與與點點點點為為原原來來確確定定，其其中中，三三個個有有次次序序的的數數可可用用為為空空間間內內一一點點，則則點點設設MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 第54頁/共70頁SrM yz x0r =常

22、數常數: =常數常數:球面球面S動點動點M(r , , )球面坐標的坐標面球面坐標的坐標面第55頁/共70頁 r =常數常數: =常數常數:球面球面S半半平面平面P動點動點M(r, , )M yz x0 =常數常數:錐面錐面C球面坐標的坐標面球面坐標的坐標面,r 0.20 ,0 規定：規定：第56頁/共70頁球面坐標與直角坐標的關系為球面坐標與直角坐標的關系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxM r zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點點，面上的投影為面上的投影為在在設點設點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則第57頁/共70頁 r drd rsin xz y0圓錐面圓錐面 rd

23、球面r圓錐面圓錐面 +d 球面球面r+d r元素區域由六個坐標面圍成：元素區域由六個坐標面圍成：d rsin d 半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r + dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 + d 球面坐標下的體積元素球面坐標下的體積元素第58頁/共70頁r drd xz y0 d rd 元素區域由六個坐標面圍成：元素區域由六個坐標面圍成：rsin d 球面坐標下的體積元素球面坐標下的體積元素zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d dVdV =半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r + dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 + d 第59頁/共

24、70頁的立體；的立體；由球面，圓錐面所圍成由球面，圓錐面所圍成積分區域積分區域 )1.,的次序進行積分的次序進行積分一般按一般按 r).()2222zyxf 被積函數為被積函數為第60頁/共70頁例例1. 計算計算,dddzyxz其中其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解：解：x2+y2+z2=1 r=1而而 0 2 故故用用 = 截截 得得 D( )原積分原積分*2dddsincosrrr)(320ddsincosdDrrxyz0 第61頁/共70頁xyz0z)(320ddsincosdDrr1032020ddsincosdrr10420242sin2r4011r=1第62頁/共70頁例例2.,ddd)(222zyxzyx22yxz 是由是由其中其中和和 x2+y2+z2=a2 所圍成閉區