1、兩個集合的容斥關系公式：三個集合的容斥關系公式:詳細推理如下：1、 等式右邊改造 =AU B = A+B - A n B ( n :重合的部分)AU BU C = A+B+C - A n B - b n C - C n A + A n Bn C【(a+b - a n B)+c - b n c】-c n a + a n Bn c立氏圖分塊標記2、文氏圖分塊標記如右圖圖：1 2 4 5構成A,2 3 5 6構成B,4 5 6 7構成C3、等式右邊（）里指的是下圖的1+ 2 + 3 +4 + 5 + 6六部分：那么AU BU C還缺部分7。4、等式右邊【】號里+ C（4 + 5 + 6 + 7）后，

2、相當于 AU BU C多加了4 + 5 + 6三部分,減去Bn C （即5 +6兩部分）后，還多加了部分4。5、等式右邊里減去Cn A （即4 + 5兩部分）后，AU BU C又多減了部分5,則加上 An Bn C （即5）剛好是 AU BU Co編輯本段容斥原理1如果被計數的事物有A、B兩類，那么， A類B類元素個數總和=屬于A類元素個數+屬于B類元素個數既是A類又是B類的元素個數。例1一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？分析依題意，被計數的事物有語、數得滿分兩類，“數學得滿分”稱為“A類元素”，“語文

3、得滿分”稱為“ B類元素”，“語、數都是滿分 ”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學 ”稱為 “ A類和B類元素個數”的總和。答案 15+12-4=23試一試電視臺向100人調查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，其中11人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？100-（62+34-11）=15編輯本段容斥原理2如果被計數的事物有 A、B、C三類，那么， A類和B類和C類元素個數總和 =A類元素個數 + B類元素個數 +C類元素個數 一既是A類又是B類的元素個數 一既是A類又是C類的元素個數 一既是B類又是C類的元素個數 +既是A類又是B類而且

4、是 C類的元素個數。例2 某校六（1 ）班有學生 45人，每人在暑假里都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有 24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有 8人，問：三項都參加的有多少人？分析：參加足球隊的人數25人為A類元素，參加排球隊人數12人為B類元素，參加游泳隊的人數 24人為C類元素，既是A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是 B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項都參加的是A類B類C類的總和設為 X。注意：這個題說的每人都參加了體育訓練隊，所以這個班的總

5、人數既為A類B類和C類的總和。答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得 X=3例3 在1到1000的自然數中，能被 3或5整除的數共有多少個？不能被 3或5整除的數共有多少個？分析：顯然，這是一個重復計數問題（當然，如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數，5的倍數）。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成 A類元素和B類元素，能“同時被3或5整除的數（15的倍數）”就是被 重復計算的數，即 “既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數”。現在我們還不能直接計算， 必須先求出所需條件。1000 - 3=3331,能被3整除的數有 333個（想一想，這是為什么？）同理，可以求岀

6、其他的條件。例4 分母是1001的最簡分數一共有多少個？分析：這一題實際上就是找分子中不能與1001進行約分的數。由于 1001=7 X 11 X 13，所以就是找不能被7，11，13整除的數。解答：11001中，有7的倍數 1001/7 = 143 （ 個）；有11的倍數1001/11 = 91 （ 個）,有13的倍數 1001/13 =77 （ 個）；有 7´11=77 的倍數 1001/77 = 13 （ 個）,有 7´13=91 的倍數 1001/91 = 11 （ 個）,有 11´13=143 的倍數 1001/43 = 7

7、 （ 個）.有 1001 的倍數 1 個.由容斥原理知：在11001中，能被7或11或13整除的數有（143+91+7）-（13+11+7）+1=281（ 個）,從而不能被7、11或13整除的數有 1001-281=720（個）.也就是說，分母為1001的最簡分數有720個.例5某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優秀，其余每人至少有一項達到了優秀，達到了優秀的這部分學生情況如下表：跑泳擲跑游泳跑、投擲泳、投擲跑、游泳、投擲85求這個班的學生共有多少人？分析：這個班的學生數，應包括達到優秀和沒有達到優秀的。試一試：一個班有42人，參加合唱

8、隊的有30人，參加美術組的有25人，有5人什么都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？ 分析很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算岀木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎上加1就是段數了。若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有 9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重復的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數的事物有那幾類？每一類的元素個數是多少？解答不計木棍的兩個端點，木棍的內部等分點數分別是9，11，14（相應于10，12，15等分），共計34個由于5，6的最小公倍數為30，所以10與12等份的等分點在30單位處相重，必須從 34中減1 .又由于4，5的最小公倍數為20，所以12與15等份的等分點在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2，同樣，6, 4的最小公倍數為12 ,由于這些相重點各不相同所以從