1、2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽

2、規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開(kāi)展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書(shū)籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從a/b/c/d中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： b 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫(xiě)錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日賽

3、區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：基于多目標(biāo)規(guī)劃的創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計(jì)摘 要有創(chuàng)意的平板折疊桌相對(duì)于傳統(tǒng)的桌子來(lái)說(shuō)更加美觀、方便以及節(jié)省空間。本文針對(duì)已經(jīng)設(shè)計(jì)好的折疊圓桌建立模型描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，首先在此基礎(chǔ)上確定出折疊圓桌的數(shù)學(xué)描述模型，然后通過(guò)改變敏感性參數(shù)優(yōu)化該模型，最后根據(jù)優(yōu)化后的參數(shù)構(gòu)建新的折疊桌。問(wèn)題一是描述折疊桌在折疊過(guò)程中變化過(guò)程

4、，首先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別找出桌面圓、鋼筋直線、直紋面以及木條相對(duì)于豎直方向的傾斜角的數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后建立了動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。最后設(shè)計(jì)算法通過(guò)matlab計(jì)算出桌腿木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度，詳見(jiàn)表1，并給出了桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)模型見(jiàn)公式(13)。問(wèn)題二是一個(gè)對(duì)客戶任意給定折疊桌高度、直徑，設(shè)計(jì)出同時(shí)滿足產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便以及用材最少三個(gè)目標(biāo)的折疊桌的問(wèn)題。在固定鋼筋的桌腿木條上，以最外側(cè)桌腿木條長(zhǎng)度和鋼筋到木條底端長(zhǎng)度為決策變量，以鋼筋位置和折疊桌最外側(cè)木條長(zhǎng)度的變化范圍為約束條件建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，并采用分層序列法對(duì)目標(biāo)按重要性進(jìn)行排序求解。假定平板寬度和木條厚度在第一問(wèn)基礎(chǔ)上不變的

5、情況下，運(yùn)用matlab變成求解得出平板的尺寸為，鋼筋位置為距離平板邊緣處，每根木條開(kāi)槽長(zhǎng)度見(jiàn)表3。問(wèn)題三開(kāi)發(fā)一種能根據(jù)客戶任意指定的信息設(shè)計(jì)出盡量滿足客戶要求的折疊桌的問(wèn)題，建立出了各種桌面邊緣線以及桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，詳見(jiàn)公式(27)、(28)。然后根據(jù)建立的模型設(shè)計(jì)出了桌面形狀為橢圓、雙曲線，桌腳邊緣為圓弧的折疊桌。動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖見(jiàn)圖8。最后，我們對(duì)模型的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，并針對(duì)某些缺點(diǎn)和假設(shè)條件提出進(jìn)一步的改進(jìn)思路，并將模型推廣到其它生活用品以及蛋白質(zhì)的折疊仿真等方面。關(guān)鍵詞： 平板折疊桌；加工參數(shù)；直紋曲面；多目標(biāo)規(guī)劃1、 問(wèn)題重述1.1 問(wèn)題背景平板折疊邊桌注重于表達(dá)木質(zhì)

6、品的優(yōu)雅和設(shè)計(jì)師所想要強(qiáng)調(diào)的自動(dòng)化與功能性1增大面積桌面設(shè)計(jì)為圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板，桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽一保證滑動(dòng)的自由度，使用者只需提起木板的兩側(cè)便可以在重力的作用下達(dá)到自動(dòng)升起的效果。桌子外形由直紋曲面2構(gòu)成，造型美觀。1.2 問(wèn)題提出某公司要生產(chǎn)平板折疊邊桌，需要我們解決以下問(wèn)題：1給定尺寸為的長(zhǎng)方形平板，每根木條寬，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子高。建立模型描述此折疊折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程以及給出折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（桌腿木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度

7、）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)表示。2折疊桌的設(shè)計(jì)要達(dá)到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最小三個(gè)目標(biāo)。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，如平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等。然后基于以上的要求確定桌高，桌面直徑是得最有設(shè)計(jì)加工參數(shù)。3公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀的尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。需要我們給出軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，然后用所建立的模型設(shè)計(jì)幾個(gè)創(chuàng)意平板折疊桌，并且給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫(huà)出不少于8張

8、動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。2、 問(wèn)題分析2.1 整體分析本題首先是對(duì)已經(jīng)設(shè)計(jì)出的折疊桌進(jìn)行分析其動(dòng)態(tài)變化過(guò)程以及對(duì)應(yīng)的加工參數(shù)和桌腳邊緣線的形狀，目的是分析清楚每個(gè)因素之間的相互關(guān)系。然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一定程度的深化，要對(duì)任意給定的高度和直徑（不確定的高度和直徑）的設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)出滿足不同對(duì)象（投資者、生產(chǎn)者、消費(fèi)者）要求的圓形折疊桌，并確定材料和成品的最有設(shè)計(jì)加工參數(shù)。最后要根據(jù)客戶的任意要求開(kāi)放性的進(jìn)行設(shè)計(jì)出盡可能接近客戶所期望的形狀的折疊桌，會(huì)涉及到不同形狀平板材料以及不同加工參數(shù)，因此需要確定一個(gè)可以適用于多種情況的數(shù)學(xué)模型。三個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)，逐步將模型推廣到與實(shí)際更加接近的情況，難度也隨之

9、增大。2.2 關(guān)鍵問(wèn)題分析圓桌半徑的確定關(guān)鍵問(wèn)題一圓桌的半徑影響桌腿每根木條的長(zhǎng)度以及傾斜角度，進(jìn)而影響圓桌的高度，因此求出圓桌的準(zhǔn)確半徑至關(guān)重要。圓桌半徑取決于桌面上每根木條的長(zhǎng)度，且每根長(zhǎng)度是未知的，因此不能直接運(yùn)用幾何知識(shí)求解，可以采用圖像處理軟件找出半徑。桌腿上每根木條長(zhǎng)度的計(jì)算關(guān)鍵問(wèn)題二桌腿木條的長(zhǎng)度影響桌腳邊緣的形狀。確定桌腿木條長(zhǎng)度有兩種方法。一種是根據(jù)其與桌面上木條長(zhǎng)度一半之和為定長(zhǎng)的特點(diǎn)確定出桌腿上每根木條的長(zhǎng)度，另外一種就是建立直角坐標(biāo)系，確定出兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出兩點(diǎn)之間的距離即是它的長(zhǎng)度。直紋面方程的確定關(guān)鍵問(wèn)題三直紋面4是由一簇直線生成，圖中的直紋面同時(shí)在桌面圓

10、和鋼筋所在直線上運(yùn)動(dòng)，即直紋面始終滿足桌面圓的方程和鋼筋所在直線的方程。因此直紋面就是由桌面圓和鋼筋所在直線共同決定。2.3 具體問(wèn)題的分析問(wèn)題一的分析：折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程即是在桌子折疊過(guò)程中形成直紋面的變化過(guò)程。折疊過(guò)程中，桌腿每根木條與豎直方向形成的夾角發(fā)生改變，直紋面也因此改變。但是，由于直紋面上每根木條同時(shí)在圓桌邊緣和鋼筋上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)滿足桌面邊緣和鋼筋所在的方程。我們可以以此建立模型描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。設(shè)計(jì)加工參數(shù)（開(kāi)槽長(zhǎng)度）與折疊桌的初始狀態(tài)（平板）和折疊到最大程度時(shí)的狀態(tài)有關(guān)，因此需要找出木條的傾斜范圍。桌腳邊緣線既滿足在直紋面上，又滿足每根木條為直線，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的

11、方程即是它的數(shù)學(xué)描述。問(wèn)題二的分析：鋼筋的位置以及桌腿木條的張開(kāi)程度影響產(chǎn)品的穩(wěn)固性，要使產(chǎn)品的穩(wěn)固性好，就要對(duì)分析鋼筋的運(yùn)動(dòng)范圍以及在運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的最佳位置，木條的張開(kāi)程度越大越穩(wěn)固；木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度影響加工的方便程度，開(kāi)槽越短越方便；用料的多少受平板面積的影響，平板尺寸影響平板面積，當(dāng)滿足要求且面積最小時(shí)用料為最省。最后再確定給出桌高和桌面直徑后的最優(yōu)加工參數(shù)。問(wèn)題三的分析：要設(shè)計(jì)一種軟件能根據(jù)客戶任意設(shè)定的要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，因此所設(shè)計(jì)的軟件應(yīng)該具有通用性，在此基礎(chǔ)上自己設(shè)計(jì)幾個(gè)創(chuàng)意平板折疊桌并給出相應(yīng)的加工參數(shù)，然后畫(huà)出動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示

12、意圖。3、 問(wèn)題假設(shè)全文假設(shè)1.假設(shè)折疊桌腿在圓桌面的周圍折疊處的部分忽略不計(jì)，不影響圓面的半徑；2.假設(shè)計(jì)算過(guò)程中每根木條的厚度不計(jì)，即可以抽象成為一條直線；3.假設(shè)木板之間的縫隙很小，可以忽略不計(jì)。問(wèn)題一中的假設(shè)1.假設(shè)桌面形狀為標(biāo)準(zhǔn)圓；2.假設(shè)可以忽略桌面厚度，即將桌面視為一張二維平面問(wèn)題二中的假設(shè)1.假設(shè)平板寬度就是桌面圓的直徑；2.假設(shè)木條寬度和厚度與問(wèn)題一一致；問(wèn)題三中的假設(shè)假設(shè)木條寬度和厚度與問(wèn)題一一致4、 符號(hào)說(shuō)明符號(hào)說(shuō)明桌面圓的半徑每根木條與軸的夾角折疊桌高度第根木條在圓桌面上的長(zhǎng)度鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長(zhǎng)度木板寬度注：由于圖形的對(duì)稱性，下面再討論時(shí)只對(duì)一邊的桌腿形成的直

13、紋面進(jìn)行討論。5、 模型準(zhǔn)備5.1確定圓桌的半徑：?jiǎn)栴}一中將桌面看為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓，將每根木條與圓的交點(diǎn)作為像素點(diǎn)導(dǎo)入cad軟件中，軟件自動(dòng)確定出圓的半徑。問(wèn)題二和問(wèn)題三中以平板的寬度作為直徑，將問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化。5.2有寬容值的分層序列法有寬容值的分層序列法把多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題中的個(gè)目標(biāo)按其重要程度排一個(gè)次序，假設(shè)最重要，次之，再次之最后一個(gè)目標(biāo)為，選取一組適當(dāng)?shù)男≌龜?shù)，成為寬容值，于是得到有寬容值的分層序列法；= 得最優(yōu)解及最優(yōu)值，則在就是原多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題在有寬容值的分層序列意義下得最優(yōu)解，6、 模型的建立與求解6.1 折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程、加工參數(shù)和桌腳邊緣線的確定問(wèn)題一6.1.1建模原理和思想要描

14、述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程即是要找出每根木條隨傾斜角度變化而變化的運(yùn)動(dòng)軌跡，是一個(gè)空間的變化過(guò)程，需要在空間坐標(biāo)系中進(jìn)行分析，所以首先就需要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程可以分文兩個(gè)部分分別進(jìn)行分析，即桌面圓和桌腿兩個(gè)部分，桌面圓受半徑的影響。桌腿的變化又分為直紋面的運(yùn)動(dòng)、鋼筋的運(yùn)動(dòng)和傾斜角的改變，因此我們分別從桌面圓、直紋面、鋼筋和傾斜角四個(gè)方面來(lái)描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。流程如下：圖表 1 問(wèn)題一具體流程圖6.1.2建立折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的描述模型第一步：建立空間直角坐標(biāo)系由于折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程是在三維空間中進(jìn)行的，為了更加清晰地表達(dá)，因此要建立空間直角坐標(biāo)系。我們用軟件畫(huà)出

15、空間直角坐標(biāo)系示意圖如下：圖表 2 坐標(biāo)系示意圖如上圖所示，我們以桌面的下表面的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)、沿著桌面且垂直于木條的方向?yàn)檩S正方向、沿著桌面平行于木條方向?yàn)檩S正方向、垂直桌面向下為軸正向建立空間直角坐標(biāo)系。其中，圖中虛線表示被遮擋的部分。第二步：確定桌面圓的方程根據(jù)問(wèn)題一中的假設(shè)1將桌面圓可以近似為標(biāo)準(zhǔn)圓，因此圓桌的下表面（平面）的方程為：其中，、分別表示圓桌面與直紋曲面的交點(diǎn)。將圖像中所有的像素點(diǎn)導(dǎo)入中可以求出半徑。第三步：鋼筋所在直線方程的確定鋼筋在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終平行于平面，設(shè)在折疊過(guò)程中固定鋼筋的木條與平面形成的夾角為，鋼筋固定點(diǎn)的坐標(biāo)為,固定鋼筋的木條長(zhǎng)為，桌面圓的半徑為，折疊時(shí)坐標(biāo)

16、點(diǎn)與夾角的關(guān)系用表示，即：在桌子折疊過(guò)程中，不隨角度改變，隨角度以及固定鋼筋的木條的長(zhǎng)度變化的過(guò)程可以表示為：因此，鋼筋所在直線的方程最終可以表示為：第四步：確定直紋面直紋面上的每根木條同時(shí)在鋼筋所在直線的方程上和桌面圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在鋼筋上同步運(yùn)動(dòng)，所以指紋面的方程如下：代入、得到： 第五步：桌腿上木條相對(duì)軸方向的傾斜角由于對(duì)稱性，我們只考慮平面內(nèi)軸正向的部分。設(shè)表示圖3中從坐標(biāo)原點(diǎn)到第根木條的距離。在折疊過(guò)程中，考慮最外側(cè)兩跟木條著地的特殊情況，它與地面形成的等腰梯形如下圖所示：圖表 3 木條與地面形成的圖形圖中線段gh為兩根鋼筋間的距離，ad為對(duì)稱的兩桌腳點(diǎn)得連線。線段fe表示第

17、根木條在圓桌面上的長(zhǎng)度，af和de表示第根木條對(duì)應(yīng)的桌腿的長(zhǎng)度且af=de，ad表示兩對(duì)稱桌腳間的距離，fb表示桌子的高度，fm的長(zhǎng)度為。圖中即是桌腿木條與軸方向形成的夾角，即其傾斜角。令ab的長(zhǎng)度為，gm的長(zhǎng)度為，它們之間有如下關(guān)系： 木條的傾斜角隨著折疊桌高度的變化而變化，假設(shè)當(dāng)高度為時(shí)對(duì)應(yīng)的傾斜角為，則可以建立高度與傾斜角間的關(guān)系式為：最終求出每根木條相對(duì)于相對(duì)軸方向的傾斜角的表達(dá)式：第六步：動(dòng)態(tài)方程的最終描述折疊桌在折疊過(guò)程中，桌面圓、直紋面、鋼筋、木條與豎直方向的傾斜角都在相應(yīng)的變化，因此，這四個(gè)部分的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)結(jié)合在一起就是整個(gè)折疊桌的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型。6.1.3開(kāi)槽長(zhǎng)度的確定 1處于平

18、板狀態(tài)時(shí)鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長(zhǎng)度為方便表述，我們用幾何畫(huà)板畫(huà)出折疊桌處于平板狀態(tài)時(shí)的圖形（后文同樣采用幾何畫(huà)板畫(huà)圖），如下圖所示： 圖表 4 折疊桌的平板示意圖如圖所示，b點(diǎn)為處于平板狀態(tài)時(shí)鋼筋與其中一條木條的交點(diǎn)（開(kāi)槽上端點(diǎn)），a點(diǎn)為折疊到最終狀態(tài)時(shí)鋼筋與此木條的交點(diǎn)（開(kāi)槽下端點(diǎn)），線段ab的長(zhǎng)度就是對(duì)應(yīng)木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度。當(dāng)處于平板狀態(tài)時(shí)鋼筋與平板的邊緣平行，因此每根木條的上端點(diǎn)到平板邊緣的距離相等，均為線段bc的長(zhǎng)度。并且。設(shè)此時(shí)鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長(zhǎng)度為，表示第根木條在圓桌面上的長(zhǎng)度。則長(zhǎng)度為：2折疊到最大程度時(shí)鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長(zhǎng)度當(dāng)桌面折疊到最大程度時(shí)，鋼筋滑動(dòng)到每

19、根木條開(kāi)槽位置的下端點(diǎn)，如圖5在點(diǎn)a、b所在木條上鋼筋從b點(diǎn)滑倒a點(diǎn)位置，因此，線段ab的長(zhǎng)度就是該木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度。折疊到最大程度時(shí)，第根木條與豎直方向形成一個(gè)夾角。以一根木條為例，將它與鋼筋的交點(diǎn)投影到桌面圓上，如圖所示：圖表 5木條的投影示意圖圖中a點(diǎn)表示木條上鋼筋所在的位置，c點(diǎn)表示桌面的邊緣位置，線段ac為折疊到最大程度時(shí)鋼筋到桌面邊緣區(qū)間該木條的長(zhǎng)度，b點(diǎn)表示a點(diǎn)在桌面上的投影。因此。當(dāng)折疊到最大程度時(shí)，鋼筋到桌面的距離即ab的長(zhǎng)度為桌面高度的一半。設(shè)折疊到最大程度時(shí)鋼筋到桌面邊緣區(qū)間每根木條的長(zhǎng)度為，則：3每根木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度設(shè)每根木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度為，則：6.1.4桌腳邊緣線的確定桌腳

20、邊緣線有兩個(gè)特點(diǎn)：1、 在直紋面上；2、 桌腳邊緣線上與桌面圓上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上；3、 兩點(diǎn)間距離等于對(duì)應(yīng)桌腿的長(zhǎng)度，且每根桌腿長(zhǎng)度與對(duì)應(yīng)的桌面上木條長(zhǎng)度的一半之和為定長(zhǎng)。首先取桌面圓上一點(diǎn)，該點(diǎn)在直紋面上對(duì)應(yīng)直線與鋼筋的交點(diǎn)為，則兩點(diǎn)間直線的方程為：其中，取求出的直線與桌腳邊緣線的交點(diǎn)為，因此兩點(diǎn)間的距離等于對(duì)應(yīng)桌腿的長(zhǎng)度：并且桌腿上每根木條滿足條件：。因此桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述可以表示為：其中表示在取值范圍內(nèi)的變化形成的直線簇。6.1.5模型計(jì)算1、簡(jiǎn)化模型：本題通過(guò)對(duì)創(chuàng)意平板折疊桌的平板尺寸進(jìn)行研究計(jì)算參數(shù)，根據(jù)全文假設(shè)1、3，在實(shí)際描述數(shù)學(xué)模型中，將木板厚度忽略，達(dá)到簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)描述模型

21、的目的，使得計(jì)算表達(dá)該模型更為簡(jiǎn)單。2、計(jì)算思想：通過(guò)圓標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算坐標(biāo)y值和勾股定理揭示了直角三角形三邊關(guān)系的重要性質(zhì)的應(yīng)用，得到具有具體參數(shù)的描述模型，進(jìn)而分別計(jì)算出折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（即桌腿木條開(kāi)槽長(zhǎng)度）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。由于進(jìn)行了簡(jiǎn)化模型將木條看做線條，故利用plot3進(jìn)行三維作圖。3、計(jì)算步驟：開(kāi)槽長(zhǎng)度：在問(wèn)題一假設(shè)1、2的前提下可計(jì)算以下步驟，得到開(kāi)槽長(zhǎng)度。step 1：以模型準(zhǔn)備中的坐標(biāo)軸建立最終狀態(tài)的坐標(biāo)軸即折疊桌狀態(tài)，易得圓桌每根木條x軸的坐標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓桌上每根木條的長(zhǎng)度。step 2：由題中給出長(zhǎng)方形平板尺寸具體數(shù)值，用長(zhǎng)度分別減去每根木條長(zhǎng)度，得到

22、兩根桌腿長(zhǎng)度，除以2得到每根桌腿長(zhǎng)度。step 3：根據(jù)step 1中得到最外側(cè)木頭長(zhǎng)度又已知折疊后桌子高度，可以計(jì)算出鋼筋垂直高度（即為桌子高度一半），進(jìn)而由勾股定理求得兩鋼筋水平距離。step 4：由于鋼條固定后不會(huì)再變動(dòng)故鋼筋垂直距離不會(huì)改變，現(xiàn)在已知直角邊高度h和長(zhǎng)度m分別用勾股定理求出此鋼筋沿木條開(kāi)槽滑動(dòng)后長(zhǎng)度。step 5：將折疊桌放回木板狀態(tài)，鋼筋初始位置可由每根木條長(zhǎng)度和最外側(cè)木條一般的差表示。step 6：用step 4中鋼筋沿木條開(kāi)槽滑動(dòng)后長(zhǎng)度減去step 5中鋼筋初始位置，得到開(kāi)槽長(zhǎng)度。6.1.6結(jié)果及結(jié)論動(dòng)態(tài)變化過(guò)程圖示：通過(guò)matlab編程6求得此折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。

23、運(yùn)行環(huán)境見(jiàn)附錄1，程序見(jiàn)附錄2。圖表 6最終狀態(tài)的折疊桌(左)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程(右)該折疊桌的開(kāi)槽長(zhǎng)度：由于兩組桌腿對(duì)稱，一下只給出單邊桌腿木條開(kāi)槽長(zhǎng)度。程序見(jiàn)附錄3表格 1折疊桌單邊木條開(kāi)槽長(zhǎng)度x坐標(biāo)（+）2.557.51012.51517.52022.525開(kāi)槽長(zhǎng)度19.65719.16318.33317.15915.62513.71111.3838.57795.13210x坐標(biāo)（-）2.557.51012.51517.52022.525開(kāi)槽長(zhǎng)度19.65719.16318.33317.15915.62513.71111.3838.57795.132106.1.7結(jié)果檢驗(yàn)與分析有用性分析用數(shù)據(jù)

24、驗(yàn)證動(dòng)態(tài)模擬題中通過(guò)建立模型描述折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，方程的參數(shù)變化導(dǎo)致各個(gè)簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化，因此我們通過(guò)桌腳邊緣方程數(shù)據(jù)可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬驗(yàn)證所建立的數(shù)學(xué)描述模型正確和有用性，模擬圖見(jiàn)圖5。6.2 基于分層序列法的折疊桌最有加工參數(shù)的確定問(wèn)題二6.2.1建模原理和思想設(shè)計(jì)折疊桌時(shí)，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)（鋼筋位置、平板尺寸、開(kāi)槽長(zhǎng)度）會(huì)影響折疊桌的穩(wěn)固性，用材量以及加工的方便性。在固定鋼筋的桌腿木條上，以桌腿木條長(zhǎng)度和鋼筋到木條底端長(zhǎng)度為決策變量，以產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便以及用材最少為目標(biāo)函數(shù)，但是考慮到鋼筋位置在最外側(cè)木條上的位置會(huì)在一定的范圍內(nèi)，因此應(yīng)該確定以鋼筋位置和折疊桌最外側(cè)桌腳長(zhǎng)度的變

25、化范圍為約束條件的多目標(biāo)規(guī)劃模型，根據(jù)分層序列法原理，確定了穩(wěn)固性最重要，用材最少次之，加工方便最后，根據(jù)分層序列法原理，確定所有的在分層序列的意義下確定最優(yōu)參數(shù)。6.2.2基于分層序列法的產(chǎn)品設(shè)計(jì)多目標(biāo)規(guī)劃模型（1）穩(wěn)固性好的單目標(biāo)規(guī)劃模型：決策變量的確定：折疊桌在設(shè)計(jì)時(shí)，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)會(huì)影響折疊桌的穩(wěn)固性，然而這些設(shè)計(jì)參數(shù)都和鋼筋的位置以及折疊桌高度有關(guān)，所以我們以鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度為決策變量。約束條件的確定：將折疊桌投影到平面內(nèi)得到的圖形如下：圖表 7 平板最外側(cè)木條與地面形成的圖形由于對(duì)稱性，我們只討論圖中左側(cè)部分。圖中k點(diǎn)為固定鋼筋的位置點(diǎn)，i

26、m的長(zhǎng)度為半徑,ap與pc形成的角即為木條的傾斜角，ag的長(zhǎng)度為，桌腿的長(zhǎng)度ap為，桌面圓上最外側(cè)木條的長(zhǎng)度為,設(shè)的長(zhǎng)度分別為：且。鋼筋有最外邊的木條固定，因此鋼筋必須在木條上，可以轉(zhuǎn)化為鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度不能超過(guò)固定鋼筋的桌腿木條的長(zhǎng)度。已知等邊三角形的穩(wěn)定性最好，當(dāng)傾斜角大于時(shí)，固定性降低。即： 其中，滿足方程 ，式中為表示平板長(zhǎng)度的一半。線段gn長(zhǎng)度為，線段ac的長(zhǎng)度為，要使折疊桌折疊后穩(wěn)固性好就應(yīng)滿足以下條件： 目標(biāo)函數(shù)的確定：1堅(jiān)固性我們?cè)谧滥_點(diǎn)a分析其受力情況，如圖所示當(dāng)在桌上放重物時(shí)，桌腳受豎直向下的力為f,同時(shí)地面會(huì)對(duì)桌腳產(chǎn)生大小相同、方向相反的支持力。則力矩的大

27、小為： 力矩越小，堅(jiān)固性越好；力矩越大，堅(jiān)固性越差。因此，堅(jiān)固性好的可以轉(zhuǎn)化為以力矩最小為目標(biāo)的函數(shù)，即： 2穩(wěn)定性當(dāng)gn的長(zhǎng)度越短時(shí)kg越長(zhǎng)，此時(shí)桌子的固定性越好；當(dāng)ab的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，桌子的穩(wěn)定性越好。當(dāng)增大時(shí)，kg和ab都相應(yīng)增大。當(dāng)兩者之和最大的時(shí)候折疊桌的穩(wěn)定性最好。即可以將穩(wěn)定性好的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為ab和kg長(zhǎng)度之和最大的目標(biāo)：其中最終可得到穩(wěn)固性好的單目標(biāo)規(guī)劃模型：決策變量：鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度；目標(biāo)函數(shù)：將作為的可行域。（2）用材最少的單目標(biāo)規(guī)劃模型決策變量的確定：折疊桌在設(shè)計(jì)時(shí)，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)會(huì)影響折疊桌的平板尺寸，然而這些設(shè)計(jì)參數(shù)都和鋼筋的位置以

28、及折疊桌高度有關(guān)，所以我們以鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度為決策變量。約束條件的確定：平板兩條邊上固定鋼筋的木條在折疊過(guò)程中與地面形成等腰梯形，如圖5所示。g點(diǎn)為固定鋼筋的位置，a點(diǎn)為桌腳位置。令ag的長(zhǎng)度為，桌腿的長(zhǎng)度為，為桌面圓上最外側(cè)木條的長(zhǎng)度，桌面圓半徑為，為木板寬度（假定寬度一定），則有： 設(shè)為折疊桌高度，桌腿木條的傾斜角為，且 。的取值范圍為： 目標(biāo)函數(shù)的確定：要達(dá)到用材最少的目標(biāo)，即可轉(zhuǎn)化為所用平板的面積最小，即： 最終可得以用材最少為目標(biāo)的單目標(biāo)規(guī)劃模型決策變量：鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度；目標(biāo)函數(shù)：約束條件：，將作為的可行域。（

29、3）加工方便的單目標(biāo)規(guī)劃模型決策變量的確定折疊桌在設(shè)計(jì)時(shí)，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)會(huì)影響折疊桌木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度，然而這些設(shè)計(jì)參數(shù)都和鋼筋的位置以及折疊桌高度有關(guān)，所以我們以鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度為決策變量。約束條件的確定桌腿木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度始終小于桌腿木條的長(zhǎng)度，同時(shí)也要滿足(1)中得取值范圍，即滿足公式(20)。目標(biāo)函數(shù)的確定要使加工方便，可以考慮木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度為整數(shù)，且每根木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度在上圖中可看做是： 最終可以得到加工方便為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)規(guī)劃模型：決策變量：鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度；目標(biāo)函數(shù)：約束條件： （4）產(chǎn)品設(shè)計(jì)的多目標(biāo)規(guī)劃模型

30、：決策變量：鋼筋固定位置到木條底端位置的長(zhǎng)度、固定鋼筋的桌腿長(zhǎng)度目標(biāo)函數(shù)：此時(shí)的是進(jìn)過(guò)多目標(biāo)規(guī)劃的分層序列法對(duì)目標(biāo)按其重要程度的一個(gè)排序，最重要，次之，最后。約束條件： 6.2.3模型計(jì)算1、 簡(jiǎn)化模型：本題通過(guò)對(duì)創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)滿足商家（用材最少）、用戶（穩(wěn)固性好）、加工者（加工方便）的要求，根據(jù)全文假設(shè)2和在實(shí)際優(yōu)化模型中，將三者要求確定為目標(biāo)函數(shù)，達(dá)到簡(jiǎn)化優(yōu)化模型的目的，使得計(jì)算該模型更為簡(jiǎn)單。我們將商家要求（用材最少）簡(jiǎn)化為平板尺寸的確定，再根據(jù)問(wèn)題二的假設(shè)2，平板尺寸的確定就是計(jì)算平板長(zhǎng)度。用戶要求（穩(wěn)固性好）簡(jiǎn)化為鋼筋位置的取定。加工者要求（加工方便）簡(jiǎn)化為開(kāi)槽長(zhǎng)度的加工，此時(shí)

31、開(kāi)槽長(zhǎng)度我們認(rèn)為整數(shù)長(zhǎng)度或者統(tǒng)一長(zhǎng)度即使?jié)M足加工者要求。而簡(jiǎn)化用戶要求時(shí)發(fā)現(xiàn)任意給定折疊桌著力點(diǎn)是為四只著地桌腳，因此我們對(duì)穩(wěn)固性分析時(shí)將對(duì)折疊桌受力看做最外端四只著地桌腳，如下圖8所示。又由于圓的對(duì)稱性，我們可以簡(jiǎn)化為只研究一只桌腳。圖表 8 桌腿木條的受力簡(jiǎn)化圖2、計(jì)算思想：通過(guò)簡(jiǎn)化模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化模型，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。3、計(jì)算步驟：step 1：以模型準(zhǔn)備中的坐標(biāo)軸建立最終狀態(tài)的坐標(biāo)軸即折疊桌狀態(tài)，易得圓桌每根木條軸的坐標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓桌上每根木條的長(zhǎng)度，以及鋼槽初始位置。step 2：對(duì)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)求解，約束條件為的取值范圍，求得的值。即著地桌腿長(zhǎng)度和鋼

32、槽位置分別用表示。step 3：由step 2中著地桌腿長(zhǎng)度和鋼槽位置數(shù)據(jù)求得開(kāi)槽長(zhǎng)度。6.2.4結(jié)果及結(jié)論對(duì)于桌高70cm，桌面直徑為80cm的情況下，經(jīng)過(guò)matlab計(jì)算，運(yùn)行環(huán)境見(jiàn)附錄1，程序見(jiàn)附錄4，取整數(shù)據(jù)結(jié)果如下：表格 2 最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)著地桌腿長(zhǎng)度（cm）鋼槽位置（cm）平板長(zhǎng)度（cm）8051173求出著地桌腿長(zhǎng)度為80cm時(shí)，鋼槽的最佳位置為在距離桌腳51cm處，說(shuō)明在著地桌腿的中間偏上位置折疊桌的穩(wěn)固性更好。其折疊立體圖 ，程序見(jiàn)附錄5：表格 3 66根木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度(cm)開(kāi)槽長(zhǎng)度m(1)-m(66)0691114161819212223242525262626262625

33、25242322211918161411962269111416181921222324252526262626262525242322211918161411962圖表 9優(yōu)化后的動(dòng)態(tài)過(guò)程(左)最優(yōu)參數(shù)的折疊桌(右)6.2.5結(jié)果檢驗(yàn)與分析誤差分析：由于希望滿足加工者方便，將對(duì)開(kāi)槽長(zhǎng)度取整，因此會(huì)產(chǎn)生一段誤差使得中間部分開(kāi)槽有些許偏差，對(duì)此我們進(jìn)行誤差分析。但根據(jù)統(tǒng)計(jì)誤差在以上的僅12個(gè)，對(duì)整體影響不大，卻能明顯減少加工者的工作量，因此我們認(rèn)為該誤差合理。6.3 折疊桌設(shè)計(jì)軟件的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型的確定問(wèn)題三6.4 6.3.1建模原理和思想根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度，桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊

34、緣線的大致形狀可以得出桌高和桌面寬度的確定值，以及桌腳邊緣線的平面表達(dá)式，經(jīng)過(guò)分析這些條件的變動(dòng)，其影響穩(wěn)定性的目標(biāo)函數(shù)和木條開(kāi)槽長(zhǎng)度取整的目標(biāo)函數(shù)的程度很小，此時(shí)忽略不計(jì)，只影響平板面積，所以將桌腳邊緣線的平面表達(dá)式積分可以確定平板面積，再根據(jù)問(wèn)題2所建的模型帶入客戶所給的參考量，即可確定最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。6.3.2建立基于客戶需求的最優(yōu)參數(shù)的折疊桌優(yōu)化模型客戶任意設(shè)定的折疊桌的平板面積確定（1）設(shè)定任意桌面邊緣線的的形狀大小的空間參數(shù)方程為 （2）設(shè)定任意桌腳邊緣線的大致形狀的空間參數(shù)方程為 （3）根據(jù)桌面邊緣上的任意一點(diǎn)可以確定與之對(duì)應(yīng)的桌腳邊緣線上的一點(diǎn)，并且可以計(jì)算出兩點(diǎn)的距離 ，令為桌

35、角邊緣線的平面表達(dá)式為 （4）對(duì)平面的桌腳邊緣線方程進(jìn)行積分，就表示由曲線與軸所成的曲邊梯形的面積，故平板面積可以表示為 因此可以得到折疊桌最優(yōu)平板面積的單目標(biāo)模型決策變量：桌腳邊緣線的平面表達(dá)式，表示為桌面的寬度（桌面寬度可由桌面邊緣線的形狀大小求得）目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： 根據(jù)分析，客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀線的大小和桌腳邊緣線的大致形狀都不會(huì)影響穩(wěn)定性的目標(biāo)函數(shù)和木條開(kāi)槽的目標(biāo)函數(shù)，只是將變量高度和木板寬度通過(guò)客戶人為確定，將其帶入問(wèn)題2所建立的多目標(biāo)規(guī)劃模型中求解確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。根據(jù)上面的軟件設(shè)計(jì)基于客戶需求的最優(yōu)參數(shù)的折疊桌優(yōu)化模型，我們提供了折疊桌的高度為,桌

36、腳邊緣線為空間參數(shù)方程 桌面邊緣線的形狀為橢圓，大小為長(zhǎng)軸,短軸,這里以短軸為桌面直徑，其中橢圓的表達(dá)式為將這些條件帶入上述模型，我們可以得到 因此桌腳邊緣線的平面表達(dá)式就為，將其帶入客戶任意設(shè)定的折疊桌的平板面積確定模型中，對(duì)其進(jìn)行積分，得到所需材料的平板材料的形狀尺寸： 6.3.3模型計(jì)算1、 簡(jiǎn)化模型：經(jīng)過(guò)前面兩個(gè)問(wèn)題的探討，我們可以將折疊桌模型簡(jiǎn)化成為三個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式空間上的共同呈現(xiàn)，分別為桌面邊緣空間關(guān)系式，鋼筋位置空間關(guān)系式（即是折疊桌高度或木條與垂直方向夾角的關(guān)系），還有桌腳邊緣線的空間關(guān)系式。2、算法思想：通過(guò)桌面邊緣方程計(jì)算坐標(biāo)y值和勾股定理揭示了直角三角形三邊關(guān)系的重要性質(zhì)的

37、應(yīng)用，得到鋼筋位置空間方程，進(jìn)而計(jì)出桌腳邊緣線的空間關(guān)系。由于進(jìn)行了簡(jiǎn)化模型將木條看做線條，故利用plot3進(jìn)行三維作圖。3、 算法步驟：step 1：給出任意設(shè)定高度，桌面方程及參數(shù)，和桌腳邊緣線形狀分別求出給出桌面邊緣空間關(guān)系式、鋼筋位置空間關(guān)系式、桌腳邊緣線的空間關(guān)系式。step 2：通過(guò)桌面方程參數(shù)得到兩根鋼筋之間的距離，求出每根木條分別在三個(gè)空間關(guān)系式上的坐標(biāo)。step 3：整合所有坐標(biāo)以及step 1中關(guān)系式得到不同參數(shù)下折疊桌簡(jiǎn)化圖像。step 4：整合step 3中所有折疊桌簡(jiǎn)化圖像，即可認(rèn)為得到動(dòng)態(tài)示意圖。6.3.6結(jié)果及結(jié)論橢圓：設(shè)定參數(shù)高度，半長(zhǎng)軸，半短軸，桌腳邊緣形狀為

38、拋物線。桌面邊緣空間關(guān)系式：，桌腳邊緣空間關(guān)系式：動(dòng)態(tài)示意圖：其余動(dòng)態(tài)變化過(guò)程示意圖見(jiàn)附錄8，運(yùn)行環(huán)境見(jiàn)附錄1，程序見(jiàn)附錄6。圖表 10 橢圓折疊桌的8張動(dòng)態(tài)示意圖(左)橢圓折疊桌的靜態(tài)示意圖(右)雙曲線：設(shè)定參數(shù)高度，半長(zhǎng)軸，半短軸，桌腳邊緣形狀為拋物線。桌面邊緣空間關(guān)系式：，桌腳邊緣空間關(guān)系式：動(dòng)態(tài)示意圖：其余動(dòng)態(tài)變化過(guò)程示意圖見(jiàn)附錄9，運(yùn)行環(huán)境見(jiàn)附錄1，程序見(jiàn)附錄7。圖表 11 雙曲線的8張動(dòng)態(tài)示意圖(左)雙曲線折疊桌的靜態(tài)示意圖(右)6.3.7結(jié)果檢驗(yàn)與分析有效性分析參數(shù)敏感性分析對(duì)于給出相應(yīng)加工參數(shù)，通過(guò)不同參數(shù)的取值，可以明顯得到不同的動(dòng)態(tài)圖像，既可以看出高度和桌面邊緣參數(shù)為敏感性

39、參數(shù)。以上圖為例，若高度不變，桌面邊緣參數(shù)決定桌面形狀和大小，因此對(duì)折疊立體圖像的確立產(chǎn)生很大影響。桌面邊緣參數(shù)不變，高度變化同理。7、 模型的評(píng)價(jià)、改進(jìn)與推廣7.1 模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1. 折疊桌在折疊過(guò)程中，桌面圓、直紋面、鋼筋、木條與豎直方向的傾斜角都在相應(yīng)的變化，因此，用這四個(gè)部分的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)結(jié)合在一起刻畫(huà)整個(gè)折疊桌的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型比較客觀和準(zhǔn)確。2. 對(duì)于確建模簡(jiǎn)單,能夠有效地分析可展板殼結(jié)構(gòu)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng),并為空間折疊桌結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供了理論依據(jù)。缺點(diǎn)：1. 在簡(jiǎn)化模型過(guò)程中以平板寬度作為圓桌面的直徑，降低了模型的精度，增大了模型的誤差；2. 分層序列法是由上一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解作為下一

40、個(gè)目標(biāo)的可行域，因而限制了下一個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化范圍；3. 文中運(yùn)用較多假設(shè)，與實(shí)際值有偏差。7.2 模型的改進(jìn)1. 針對(duì)問(wèn)題二中取平板寬度為圓桌面的直徑，簡(jiǎn)化模型時(shí)，降低模型精度的缺點(diǎn)，可以找出真正的半徑長(zhǎng)度，即不對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而提高模型的精度。2. 針對(duì)分層序列法限制下一個(gè)目標(biāo)優(yōu)化范圍的缺點(diǎn)，可以采用其改進(jìn)形式有寬容度的冷層序列法。7.3 模型的推廣該模型屬于數(shù)學(xué)描述模型和優(yōu)化模型的綜合模型。一方面，它將平面板通過(guò)創(chuàng)意折疊成桌子，節(jié)省空間，因此從節(jié)省空間角度，我們可以嘗試對(duì)各種物品進(jìn)行折疊得到可代替立體的物品，比如說(shuō)折疊椅、折疊床、折疊自行車方便人們的生活。另一方面它將立體物品數(shù)學(xué)描述化，因

41、此可進(jìn)行3d實(shí)物仿真，得到更具仿真度的計(jì)算機(jī)模擬方式，比如說(shuō)蛋白質(zhì)折疊7。參考文獻(xiàn)1 robert van embricqs.平板折疊邊桌，www.robert van embricqs,2012年. 2 楊竹茶,張陽(yáng)春.直紋曲面的一種近似展開(kāi)法,常德師范學(xué)院學(xué)報(bào),11卷第3期,1999年9月.3 崔恒忠,曹資,劉景園,薛素鐸等.可展開(kāi)折疊式空間結(jié)構(gòu)模型試驗(yàn)研究,空間結(jié)構(gòu),3卷第1期,1997年2月.4 蔡國(guó)梁,李玉秀,王世環(huán).直紋曲面的性質(zhì)及其在工程中的應(yīng)用,數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),38卷第8期,2008年4月.5 趙洪斌,吳知豐,謝禮立.自鎖式平板折疊網(wǎng)架折展過(guò)程參數(shù)設(shè)計(jì),哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),3

42、9卷第8期,2007年8月.6 周品,趙新芬.matlab數(shù)學(xué)建模與仿真m,國(guó)防工業(yè)出版社,70-72,2009年1月.7 張菁,張?zhí)祚Y.蛋白質(zhì)折疊過(guò)程模型,應(yīng)用科技,38卷第7期,2011年7月.附錄1運(yùn)行環(huán)境：電腦配置運(yùn)行軟件版本處理器：amd athlon ii 雙核coreldraw x4內(nèi)存：1.75g幾何畫(huà)板硬盤：500g，7200轉(zhuǎn)/分matlab7.0.1軟件環(huán)境：windows xpvisio 2003程序：2問(wèn)題一的程序，功能：%問(wèn)題一的桌面動(dòng)態(tài)顯現(xiàn)（通過(guò)對(duì)h值的改動(dòng)實(shí)現(xiàn)） 文件名：test.m%問(wèn)題一的桌面動(dòng)態(tài)顯現(xiàn)，通過(guò)對(duì)h值的改動(dòng)實(shí)現(xiàn)clcclearx=-25:2.5:

43、-2.5,0,2.5:2.5:25,25:-2.5:2.5,0,-2.5:-2.5:-25;%x軸坐標(biāo)即木條坐標(biāo)for i=1:42 if x(i)=0 y(i)=25.3;%對(duì)偶數(shù)根進(jìn)行處理 end y(i)=sqrt(25.3)2-x(i)2); t(i)=60-y(i);%桌腿每木條長(zhǎng) u(i)=2*y(i);%圓桌面每木條長(zhǎng)end%最終形態(tài)h=50;%通過(guò)改動(dòng)此h值觀察動(dòng)態(tài)變化過(guò)程分別將h改為0,20,40l=2*(sqrt(t(1)2-h2)/2+y(1);for i=1:42 if(u(i)<l) tan(i)=2*h/(l-u(i); m(i)=sqrt(h/2)2+(l-

44、u(i)/2)2); else tan(i)=2*h/(u(i)-l); m(i)=sqrt(h/2)2+(u(i)-l)/2)2); end a(i)=atan(tan(i);%theta if (u(i)<l) yg(i)=y(i)+t(i)*cos(a(i); else yg(i)=y(i)-t(i)*cos(a(i); end if i>21 yg(i)=-yg(i); y(i)=-y(i); end z(i)=t(i)*sin(a(i); if(z(i)<=0) z(i)=-z(i); endendplot3(x(1:21),yg(1:21),z(1:21),

45、9;-');hold onplot3(x(22:42),yg(22:42),z(22:42),'-');hold onzr(1:42)=0;plot3(x(1:21),y(1:21),zr(1:21);hold onplot3(x(22:42),y(22:42),zr(22:42);hold onfor i=1:42 p=x(i),x(i),q=y(i),-y(i),w=zr(i),zr(i); plot3(p,q,w,'-'); hold onendfor i=1:42 p=x(i),x(i),q=yg(i),y(i),w=z(i),zr(i); pl

46、ot3(p,q,w,'-');endaxis auto3問(wèn)題一的程序，功能：求木條開(kāi)槽長(zhǎng)度 文件名：mutiaokaicaochangdu.m%求木條開(kāi)槽長(zhǎng)度clcclearx=2.5:2.5:25;for i=10:-1:1y(i)=sqrt(25.3)2-x(i)2);z(i)=60-y(i);%桌腿每木條長(zhǎng)u(i)=2*y(i);%圓桌面每木條長(zhǎng)t(i)=z(i)-z(10)/2;%鋼槽初始位置end%最終形態(tài)h=50;l=sqrt(z(10)2-h2)+u(10);for i=1:10 if(u(i)<l) m(i)=sqrt(h/2)2+(l-u(i)/2)2)

47、; else m(i)=sqrt(h/2)2+(u(i)-l)/2)2); end m(i)=m(i)-t(i); if m(i)<0 m(i)=-m(i); endendfor i=11:20 m(i)=m(21-i); mi(i-10)=m(i); mi(i)=m(i-10);%mi為一邊的開(kāi)槽長(zhǎng)度end4.問(wèn)題二的程序，功能：計(jì)算鋼筋位置q、取整后s和平板材料長(zhǎng)度v以及每根槽長(zhǎng)mg文件名：jisuangangjinhegunc.m%計(jì)算鋼筋位置q、取整后s和平板材料長(zhǎng)度v，以及每根槽長(zhǎng)mgclcclearx=-40:2.5:-2.5,0,2.5:2.5:40,40:-2.5:2.5

48、,0,-2.5:-2.5:-40;h=70;d=80;for i=66:-1:1 y(i)=sqrt(40)2-x(i)2); if x(i)=40|x(i)=-40 y(i)=sqrt(40.5)2-x(i)2);%對(duì)偶數(shù)根進(jìn)行處理 end q=sqrt(h2+(2/3*d-4/3*y(1)2); e=q+y(1); t(i)=e-y(i);%桌腿每木條長(zhǎng) u(i)=2*y(i);%圓桌面每木條長(zhǎng)endw=0;h=70;r=40;for p=70:1:h*sqrt(3)*2/3 for q=(h+r-p-12.689)/h:10:(p-r+12.689); max=sqrt(p2-h2)*q

49、/p; if(max>w) w=max; g=ceil(p);%最長(zhǎng)桌腿 s=ceil(q);%鋼槽位置 end endendv=ceil(g+y(1)*2);l=(sqrt(t(1)2-h2)*2+u(1)*2)*s/g;%兩鋼槽距離for i=1:66 f(i)=t(i)-(g-s);%鋼槽初始位置 if(u(i)<l) tan(i)=2*h/(l-u(i); m(i)=sqrt(h*s/g)2+(l-u(i)/2)2); else tan(i)=2*h/(u(i)-l); m(i)=sqrt(h*s/g)2+(u(i)-l)/2)2); end m(i)=m(i)-f(i);

50、 mi(i)=ceil(m(i); mg(i)=mi(i)-m(i);endq svmg5問(wèn)題二的程序，功能：?jiǎn)栴}二的桌面動(dòng)態(tài)顯現(xiàn)（通過(guò)對(duì)h值的改動(dòng)實(shí)現(xiàn)）文件名：test2.m%問(wèn)題二的桌面動(dòng)態(tài)顯現(xiàn)，通過(guò)對(duì)h值的改動(dòng)實(shí)現(xiàn)clcclearh=70;%最終形態(tài)，可通過(guò)改動(dòng)此h值觀察動(dòng)態(tài)變化過(guò)程x=-40:2.5:-2.5,0,2.5:2.5:40,40:-2.5:2.5,0,-2.5:-2.5:-240;for i=1:66 if x(i)=40|x(i)=-40 y(i)=40.5;%對(duì)偶數(shù)根進(jìn)行處理 end y(i)=sqrt(40)2-x(i)2); t(i)=94-y(i);%桌腿每木條長(zhǎng)

51、 u(i)=2*y(i);%圓桌面每木條長(zhǎng)endl=2*(sqrt(t(1)2-h2)/2+y(1);for i=1:66 if(u(i)<l) tan(i)=2*h/(l-u(i); m(i)=sqrt(h/2)2+(l-u(i)/2)2); else tan(i)=2*h/(u(i)-l); m(i)=sqrt(h/2)2+(u(i)-l)/2)2); end a(i)=atan(tan(i);%theta if (u(i)<l) yg(i)=y(i)+t(i)*cos(a(i); else yg(i)=y(i)-t(i)*cos(a(i); end if i>33 yg(i)=-yg(i); y(i)=-y(i); end z(i)=t(i)*sin(a(i); if(z(i)<=0) z(i)=-z(i); endendplot3(x(1:33),yg(1:33),z(1:33),'-');hold onplot3(x(34:66),yg(34:66),z(34:66),'-');