1、阿波羅尼斯圓一、適用題型1、已知兩個線段長度之比為定值；2、過某動點向兩定圓作切線，若切線張角相等；3、向量的定比分點公式結合角平分線；4、線段的倍數轉化；二、基本理論（一）阿波羅尼斯定理（又稱中線長公式）設三角形的三邊長分別為a, b,c ，中線長分別為 ma , mb , mc , 則：（二）阿波羅尼斯圓一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數 ( 1) 的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”2化簡得：x21222y2aa2112軌跡為圓心21a， ，半徑為2a 的圓0211（三）阿波羅尼斯圓的性質1、滿足上面條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比內分 AB 和外分 AB 所得的兩個分

2、點；2、直線 CM 平分ACB ，直線 CN 平分ACB 的外角；3、1時，點 B在圓 O內；01,點A在圓 O內 ；4、若 AC , AD 是切線，則 CD 與 AO 的交點即為 B ；5、若點 B 做圓 O 的不與 CD 重合的弦 EF ，則 AB 平分 EAF ；三、補充說明1、關于性質 1 的證明定理： A, B 為兩已知點， P, Q 分別為線段 AB 的定比為1 的內、外分點，則以PQ為直徑的圓 O 上任意點到 A, B 兩點的距離之比等于常數。證明： 不妨設1由相交弦定理及勾股定理得：從而 P,Q, C 同時在到 A, B 兩點距離之比等于的曲線（即圓）上，而不共線的三點所確定的

3、圓是唯一的，因此圓 O上任意點到 A, B 兩點距離之比等于常數。2、關于性質 6 的補充若已知圓 O 及圓 O 外一點 A ，則可作出與點 A 對應的點 B ，只要過點 A 作圓 O 兩條切線，切點分別為 C, D ，連結 CD 與 AQ 即交于點 B 。反之，可作出與點 B 對應的點 A四、典型例題例 1（教材例題） 已知一曲線是與兩個定點 O(0,0) 、 A(3,0) 距離的比為 1 的點的軌2跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。解：設點 M ( x, y) 是曲線上任意一點， 則x2y2y21 ，整理即得到該曲線的方程為：( x 3)22( x 1)2y 24 。例 2（2003 北京春

4、季文） 設 A(c,0), B(c,0)(c0)為兩定點，動點 P 到 A 點的距離與到 B 點的距離的比為定值 a(a0) ，求 P 點的軌跡 .解：設動點 P 的坐標為（ x，y）由|PA|a(a，得(xc) 2y2a.|PB|0)( xc) 2y2化簡得 (1a2)2 2(1a2 )x c2 (1a2) (1a2 )y20.xc當 a1時,得x 22c(1a 2 )xc 2y 20 ，整理得( x1a2c) 2y 2( 2ac ) 2 .1a 2a21a 2 1a時，化簡得x=0.當 =1所以當 a1 時， P 點的軌跡是以(a 21為圓心，2ac|為半徑的圓；a2c,0)|21a1當

5、a=1 時， P 點的軌跡為 y 軸 .例 3（ 2005 江蘇高考數學） 如圖，圓O1 與圓 O2 的半徑都P是 1，O1O24，過動點P分別作圓1.圓O2的切線、MOPMNPN（M.N分別為切點），使得 PM2PN 試建立適當的O 1O2坐標系，并求動點 P 的軌跡方程解：以 O1 O2的中點 O為原點， O1O2 所在的直線為 x 軸，建立平面直角坐標系，則 O1 （-2 ，0）， O2 （2，0），yP由已知 PM2PN ，得 PM 22PN 2MN因為兩圓的半徑均為1，所以O1oO2 x設 P( x, y) ，則 ( x 2) 2y212( x2) 2y21 ，即 ( x 6) 2y

6、233 ，所以所求軌跡方程為 ( x6) 2y233（或 x 2y 212x 30 ）例 4（2006 四川高考理） 已知兩定點 A(2,0)、B(1,0)，如果動點 P 滿足PA = 2 PB ，則點 P 的軌跡所包圍的圖形的面積等于（）（A） p （B） 4p （C） 8p （D） 9p解： B例 （52008江蘇高考） ABC中， AB2, AC2BC ，則 S ABC 的最大值為 _.答案：變形：答案：43ABC中， AB4,CA : CB5 : 3 ，則 S ABC 的最大值為 _.152例 6 設點 A, B,C , D 依次在同一直線上， AB6, BC3,CD2 ，已知點 P

7、在直線AD 外，滿足APBBPCCPD ，試確定點 P 的幾何位置。解：先作線段 AC 關于 2:1 的阿氏圓1 ，再作線段 BD 關于 3:2 的阿氏圓2 ，兩圓交點即為點P ，同時該點關于直線AD 的對稱點也為所求。例 7（2011 年南通一模） 已知等腰三角形一腰上的中線長為形面積的最大值為 _.3 ，則該三角例 8（2013 江蘇高考）如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A(0,3) ，直線 l : y 2x 4 設圓 C 的半徑為 1，圓心在 l 上（1）若圓心 C 也在直線 y x1上，過點 A 作圓 C 的切線，求切線的方程；（2）若圓 C 上存在點 M ，使 MA2MO ，

8、求圓心 C 的橫坐標 a 的取值范圍解：（ 1）聯立：yx1，得圓心為：C，2)2x4(3yy設切線為： ykx3，Ald | 3k32 |r1，得： k0ork3 Ox1k 24故所求切線為： y0ory3x 3 4（ ）設點M x，y，由MA2MO，知：x2( y3)22x2y2，2()化簡得： x2( y1) 24 ，即：點 M的軌跡為以 (0 ， 1) 為圓心， 2 為半徑的圓，可記為圓D又因為點 M 在圓 C 上，故圓 C 圓 D 的關系為相交或相切故： 1|CD ，其中CDa2(2a3)2|3解之得： 0a例 9 圓 O1,圓 O2 不等且外離，現有一點 P ，它對于 圓 O1 所

9、張的視角與對于 圓 O2 所張的視角相等，試確定點 P 的幾何位置答案：做圓 O1,圓 O2 的內、外公切線，分別交連心線 O1O2 于點 A, B ，以線段 AB 為直徑的圓 ，就是線段 O1O2 關于 r1 : r2 的阿氏圓，該圓上任意一點都符合要求。例 10 在 x 軸正半軸上是否存在兩個定點A 、 B ，使得圓 x2y24 上任意一點到 A 、 B兩點的距離之比為常數1 ？如果存在，求出點 A 、 B 坐標；如果不存在，請說明理由。2解：假設在 x 軸正半軸上是否存在兩個定點 A 、 B ，使得圓 x2y24上任意一點到 A 、B 兩點的距離之比為常數1 ，設 P( x, y) 、

10、A( x1 ,0) 、 B(x2 ,0) ，其中 x2x10 。2即( x x1)2y2122(x x2 )2y22對滿足 xy 4 的任何實數對 ( x, y) 恒成立，整理得： 2x(4 x1x2 )x224x123(x2y2 ) ，將 x2y 24 代入得：2x(4 x1 x2)x224x1212 ，這個式子對任意 x2,2 恒成立，所以一定有：4x1x20，因為 x2x1 0 ，所以解得： x11 、 x24 。x224x1212所以，在x 軸正半軸上是否存在兩個定點A(1,0)、 B(4,0)，使得圓 x2y24 上任意一點到 A 、 B 兩點的距離之比為常數 1 。 2例 11 鐵

11、路線上線段 AB 100 km，工廠 C 到鐵路的距離 CA 20 km。現要在 A 、 B 之間某一點 D 處，向 C 修一條公路。已知每噸貨物運輸 1km的鐵路費用與公路費用之比為 3: 5 ，為了使原料從供應站 B 運到工廠 C 的費用最少，點 D 應選在何處？解：建立如圖所示直角坐標系，先求到定點 A 、 C 的距離之比為 3 的動5點 P( x, y) 的軌跡方程，即：yCD 1DAx2y23BX，整理即得動點x2( y20) 25E1P( x, y) 的軌跡方程：E4x24y290 y900 0，令 y0，得 x15 （舍去正值）即得點 D ( 15,0) DA15, DC25 。下面證明此點 D 即為所求點：自點 B 作 CD 延長線的垂線，垂足為 E ，在線段 BA 上任取點 D1 ，連接 CD1 ，再作 D1E1 BE 于 E1 。設每噸貨物運輸 1km的鐵路費用為 3k (k0) ，則每噸貨物運輸 1km的公路費用為 5k ，如果選址在 D1 處，那么總運輸費用為y3kBD15kD1C(3BD15D1C )k ，而 BE1D1 BED CAD BD1CD 25 5E1D1AD153 3BD1 5E1D1那么總費用 y(3BD15D1C )k(E1D1D1C )5k(CD