1、第 2 講一元二次不等式的解法本專題在初中學習方程、不等和函數的基礎上，根據高中學習的需要，共同學習簡單的二次方程組及一 元二次不等式的解法。問題1:二次函數y=x2-x6的對應值表與圖象如下：觀察：由對應值表及函數圖象可知2當x=2,或x=3時，y=0，即xx=6=0;當xv2,或x3時，y0，即xx60;當2vxv3時,yv0，即xx6v0.思考：這就是說，如果拋物線y=x2x6與x軸的交點是(2,0)與(3,0), 那么一元二次方程x2x6=0的解就是xi=2,X2=3;同樣，結合拋物線與x軸的相關位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是xv2,或x3;元二次不等式x2x6v0的解是

2、一2vxv3.上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集.問題2:對于一般的一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)怎樣解呢？【歸納總結】一元二次不等式的解：函數、方程與不等式 0 =0 v0二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象LUpqKyJ2o oX|-Jr2x一兀二次方程2ax+bx+c=0(a0)的根有兩相異實根Xi,X2(xivX2)有兩相等實根Xi=X2=b無實根ax2+bx+c0(a0)的解集xX2bx 2a一切實數ax2+bx+cv0(a0)的解集xivxvX2無解無解今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數大于零，可以利

3、用上面的結論直接求解；如果二次項系數小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以-1,將不等式變成二次項系數大于零的形式，再利用上面的結論去解不等式.【典例解析】解下列一元二次不等式：2(1)x+2x3W0;2(2)xx+6v0;2(3)4x+4x+10;2(4)x6x+9W0;2(5) 4+xxv0.【解析】(1)方程衛+2xT=0的解是m二丸助=1.二不等式的解為 T 卒(2)整理得衛_JC66Q Q. .方程 hxTT 的解為JC1JC12?2?T23 .二所以，原不等式的解為2,或x0. 0,所以，原不等式的解為一切實數.【解題反思】注意一元二次不等式的解題步驟為一看（二次項系數的正負） 根求根

4、）；四寫出解集。【變式訓練】1.解下列不等式:2(1)-x 2x 2 0的解是1 1 1 1 111 /I 11 1 J5 -4 -3 -2 -11/2 3 4 5【分析】根據二次函數的開口方向以及對稱軸得出答案即可；利用關于x的一元二次不等式ax2+bx+c0的解，即為：y時，求出x的取值范圍求出即可.【解析】二次函數y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標（-1, -3.2）,圖象與橫軸的正半軸交點為（2,0）,圖象的對稱軸為：x=-1,圖象與橫軸的負半軸交點為：（-4,0）;二判（的情況）；三算（有(2)x -1x 34圖象開口向上，a0,T圖象的對稱軸為：x=-1,當xv-1時，函數值隨

5、著x的增大而減小；2 . .關于x的一元二次不等式ax+bx+c0的解即為：y時，求出x的取值范圍：x2或xv-4.【點評】主要考查了利用函數圖象求自變量的取值范圍以及二次函數的增減性等知識，根據圖象得出是解 題關鍵3.已知不等式ax2bx c : 0(a屮0)的解是x：2,或x - 3求不等式bx2ax c 0的解.【解析】由不等式+ix+c0(0)的解為英2,或工A3,可知且方程ox2+c=O的兩根分別為2和3,即 _ =_5 = = 6 6 a aa ak kr r由于a0,a0,所以不等式+可變為-J?+X+-0 ,a aa a即-5 + +60,整理得5宀“6A0,所以，不等式b+a

6、x-oOb+ax-oO的解罡x| .【點評】本例利用了方程與不等式之間的相互關系來解決問題.234.關于x的一元二次不等式2kx +kx-v0的解集為R,求實數k的取值范圍.O10（1）5【分析】（1）由題意得口才 由此能求出實數k的取值范圍.Ak2-4X2kX（0-*（2）LO【解析】由題意得：10（1）二k Jx2kX（曽0，LO不等式（2）化作：k2+3k v 0,解得：-3v kv 0.則實數k的取值范圍是-3v kv 0.【點評】已知不等式解集的情況，求參數。可通過根的判別式來建立不等式求參數值。_ 25.解關于x的一元二次不等式x ax 1 0（ a為實數）.【分析】對于一元二次不等式，按其一般解題步驟，首先應該將二次項系數變成正數，本題已滿足這一要求，欲求一元二次不等式的解，要討論根的判別式 厶的符號，而這里的厶是關于未知系數的代數式，厶的符號取 決于未知系數的取值范圍，因此，再根據解題的需要，對厶的符號進行分類討論【解析】由厶二a2-4,1當.：0,即a：-2或a2時，方程x2ax0的解為；-a-Ja2_4-a十Ja2_4XiX2 2a_4 a