1、第第 1 章 抽樣調查數據處理方法及其應用章 抽樣調查數據處理方法及其應用1.3 三角模糊數及其應用三角模糊數及其應用1.3.1 三角模糊數的概念三角模糊數的概念若模糊數a可由),(umlaaa決定，) 10umlaaa，且隸屬函數（或特征函數）為：uummuumllmllaaxaxaaaxaaxaaaaxaxx00)(則稱a為規范的三角模糊數，記),(umlaaaa ，當umlaaa時，a是一個精確數。 三角模糊數的分布 （特征函數或隸屬函數） 如圖 1-3-1 所示。 在方案評價中，la是（被測試者）最保守（悲觀）的估計值（三角模糊數的下界），ma是最可能的估計值，ua是最樂觀的評價值（三

2、角模糊數的上界）。mulmaaaa，為模糊度。若，1 則模糊度過大；一般取 1/2，1 較合適。1.3.2 三角模糊數的運算性質三角模糊數的運算性質設),(umlaaaa 和),(umlbbbb 為兩個三角模糊數，則其運算法則如下：（1）加法：),(uummllbabababa（1-3-1）（2） 倒數：)1,1,1(1umlaaaa（1-3-2）（3） 三角模糊數a的期望值5：102/ )1()(umlaaaae（1-3-3）值的選擇取決于決策者的風險態度。當 10.5 時，稱決策者持偏向樂觀的態度（也稱決策者是追求風險的）；當=0.5 時，表示決策者持中立的態度（也表示決策者是風險中立的）

3、；當 00.5 時，表示決策者持偏向悲觀的態度（也表示決策者是厭圖 1-3-1三角模糊數的分布圖alamau惡風險的）。（4）倍數：),(umlaaaa0（1-3-4）（5） 距離：21222)()()(31),(uummllbabababad（1-3-5）即為三角模糊數a到b的距離。（6）相似度：311),(uummllbabababas（1-3-6）),(bas越大， 則a與b相似程度越大。 當1),(bas時， 則規范三角模糊數a與b相等。（7）三角模糊數互補判斷矩陣234：設三角模糊數判斷矩陣：nnijaa )(（1-3-7）其中,uijmijlijijaaaa，,ujimjiljij

4、iaaaa若1ljiuijmjimijujilijaaaaaa，5 . 0uiimiiliiaaa，uijmijlijaaa0，nji,，則稱矩陣a是三角模糊數互補判斷矩陣。若由多位專家根據評價目的和評價指標的相關資料， 建立關于評價指標間相對重要度的三角模糊數互補判斷矩陣，然后用由專家權威性而設定的權重對其進行集結，得到關于評價指標的綜合三角模糊數互補判斷矩陣元素：),(111kkkuijkkkkmijkkkklijkijawawawa， i、 j = 1， 2， ， n（1-3-8）k 是負責確定互補判斷矩陣的專家個數；wk指第 k 專家所打數據的權威性，k =1，2，k；,kuijkmi

5、jklijkijaaaa是第 k 個專家給出的關于第 i 指標相對于第 j 指標重要度的三角模糊數表示。可見最終的綜合三角模糊數互補判斷矩陣nnijaa)(是 k 位專家的判斷信息按權威性的集結。三角模糊數互補判斷矩陣建立過程為：由專家（評價主體）根據一定標度（常用0.10.9 標度，如表 1-3-1 所示），在充分掌握有關評價指標和評價對象信息的條件下分別兩兩對比評價指標建立。由于考慮到評價主體思維的模糊性，以及評價指標屬性有時很難用清晰數進行定量表示或比較，常用三角模糊數表示。上述標度對應的三角模糊數如表 1-3-1 所示。當然矩陣建立時，專家也可以直接利用三角模糊數建立矩陣，同時根據自己

6、的偏好選擇支撐的上界和下界大小。表表 1-3-10.10.9 標度的含義標度的含義（8）三角模糊數互補判斷矩陣的期望矩陣：設三角模糊數互補判斷矩陣nnijaa)(，則稱nnijeaea)(（1-3-9）為三角模糊數互補判斷矩陣nnijaa)(的期望矩陣。顯然，矩陣nnijeaea)(是普通的模糊互補判斷矩陣。（9）三角模糊數互反判斷矩陣10：設模糊互補判斷矩陣nnijaa)(，若記jiijijaah，nji,，（1-3-10）則矩陣nnijhh)(是模糊互反判斷矩陣。三角模糊數互補判斷矩陣的作用和三角模糊數互反判斷矩陣一樣都是為避免確定值不科學性，反映考評主體決策的模糊性而提出的，通常都是用來

7、確定評價指標相互間的權重大小或方案間的重要性大小， 在進行決策判斷時建立哪一種矩陣主要是根據評價者的偏好。值得注意的是為了提高權重計算的可信度和準確性，在建立三角模糊數判斷矩陣的過程中，要保證同一建立者前后信息的一致性程度在一定范圍內，以及不同建立者偏好一致性也在一定程度內。（10）三角模糊數互補判斷矩陣nnijaa)(的一致性判斷指標1112：（1-3-11）其中，wi是根據和積法處理模糊互反判斷矩陣nnjiijaeae)()(得到。一致性判斷系數：ricicr/（1-3-12）其中， ri 是平均隨機一致性指標，來修正 ci ，可查表所得。若 crx1x3。因此，x2為最佳候選人。1.3.

8、7 三角模糊數群體多屬性決策問題的群體理想解算法（二）1、三角模糊數正群體理想方案三角模糊數群體多屬性決策問題的群體理想解算法（二）1、三角模糊數正群體理想方案稱向量tkjjjjaaaa),(21（j=1，2，n）為對應于評價指標ju的三角模糊數正群體理想方案。其中，效益型：)(max,)(max,)(max),(111kuijkijmikmijkijmiklijkijmikujkmjkljkjbebebeaaaa（1-3-62）成本型：)(min,)(min,)(min),(111kuijkijmikmijkijmiklijkijmikujkmjkljkjbebebeaaaa（1-3-63）

9、2、三角模糊數負群體理想方案2、三角模糊數負群體理想方案稱向量tkjjjjcccc),(21為對應于評價指標ju（j=1，2，n）的三角模糊數負群體理想方案。其中效益型：)(min,)(min,)(min),(111kuijkijmikmijkijmiklijkijmikujkmjkljkjbebebecccc（1-3-64）成本型：)(max,)(max,)(max),(111kuijkijmikmijkijmiklijkijmikujkmjkljkjbebebecccc（1-3-65）針對每個單一評價指標ju，為采用理想點法將評價者個體判斷集結成評價者群體判斷，并在集結過程中考慮評價者個體

10、的綜合重要性程度，引入如下兩個距離，即備選方案 xi在評價指標ju下的所有 k 個評價者個體評價值構成的加權評價向量：)(,)(,)(2211kijkijijijijijijbebebeb（1-3-66）其中，),(kuijkmijklijkijbbbbk=1，2，k到三角模糊數正群體理想方案ja和三角模糊數負群體理想方案jc的歐氏距離ijs與ijs。3、備選方案、備選方案ix在評價指標在評價指標ju下的距正理想方案的歐氏距離下的距正理想方案的歐氏距離ijs22221)()()(kijijijijddds（1-3-67）其中，21222)()()(31kujkuijkkijkmjkmijkki

11、jkljklijkkijkijareareared（1-3-68）4、備選方案4、備選方案ix在評價指標在評價指標ju下的距負理想方案的歐氏距離下的距負理想方案的歐氏距離ijs22221)()()(kijijijijddds（1-3-69）其中，21222)()()(31kujkuijkkijkmjkmijkkijkljklijkkijkijcrecrecred（1-3-70）5、 綜合評價綜合評價ijtijijijijssst（1-3-71）tij表示評價者群體 e 對于方案ix在指標ju下的綜合評價，其值越大該方案越優。6、構造決策矩陣構造決策矩陣 tmnmmnntttttttttt212

12、222111211（1-3-72）考慮到指標權重tn),(21的群體判斷決策矩陣 t*mnnmmnnnntttttttttt221122222111122111*（1-3-73）稱 t 或 t*為群體判斷決策矩陣，它反映了專家群體 e 對各方案在屬性集 u 下的判斷。至此，原三角模糊數群體多屬性決策問題已轉化為一般多屬性決策問題，可利用傳統理想點法進行求解，則記：效益型：ijjmijtm1*max， 成本型：ijjmijtm1*min（j=1， 2， ， n） （1-3-74）效益型：ijjmijtn1*min， 成本型：ijjmijtn1*max（j=1， 2， ， n） （1-3-75）6

13、、綜合評價指數6、綜合評價指數)(ixl（方案（方案ix到理想方案的接近度）到理想方案的接近度）iiiidddxl)(i=1， 2， ， m（1-3-76）其中，njjijjimtd12*)(（1-3-77）njjijjintd12*)(（1-3-78）)(ixl稱為評價者群體 e 對各個方案的群體多指標綜合評價指數，顯然，)(ixl取值越大，則對應方案越優。針對三角模糊數群體多屬性決策問題提出的群體理想解算法， 是在專家個體多屬性決策矩陣的基礎上找到專家群體關于各目標的理想解， 由此進行三角模糊數個體多屬性決策矩陣的集結，得到群體判斷決策矩陣，從而轉化為一般多屬性決策問題，進一步求得專家群體

14、對各方案的評價排序，并選出最優或最滿意的方案。算例分析算例分析76對于上節的算例，在其計算的基礎上，（1）對于評價屬性 u1，根據表 1-3-11 和式（1-3-43）、式（1-3-44）可得加權矩陣：*jb（2）根據式（1-3-62）式（1-3-65）得到對應于評價屬性 u1的三角模糊數正群體理想方案和三角模糊數負群體理想方案分別為：（3）根據加權矩陣*jb和式式（1-3-67）式（1-3-70）計算各方案到對應于屬性u1的三角模糊數正負群體理想方案的歐式距離ijs和ijs分別為：211100155. 1s221105717. 1s231108858. 1s211103145. 1s2211

15、08800. 1s231103045. 1s（4）由式（1-3-71）得 t11=0.5642，t21=0.3589，t31=0.5956同理可得 t12=0.4520，t22=0.6426，t32=0.4668；t13=0.5931，t23=0.4943，t33=0.3884因此，可得群體判斷決策矩陣 t，并加權得到矩陣（這里假設決策者給出的屬性權重值為1=0.36，2=0.40，2=0.24）t*（5）由式（1-3-74）和式（1-3-75）得：（6）根據式（1-3-77）和式（1-3-78）得：（7）由式（1-3-76）得：4991. 0)(4760. 0)(5353. 0)(121xl

16、xlxl（8）根據 l(xi)的大小得 3 個候選人的排序為：x1x3x2。因此，x1為最佳候選人。作業：作業：1、應用三角模糊數評價決策方法對產品造型意象詞匯進行選擇。2、應用三角模糊數評價決策方法對機電產品（選電動車、電吹風、挖掘機、打印機）藝術造型進行評價（評價指標參見產品系統設計p266、p239）。3、基于理想點的三角模糊數多指標決策法64、基于改進三角模糊數的網絡安全風險評估方法155、基于三角模糊數的綜合保障評價指標權重分析166、三角模糊數型多屬性決策的灰色關聯法177、基于一致性三角模糊數互補判斷矩陣的專家方案優選188、一種基于三角模糊數多指標信息的聚類方法209、基于 t

17、fn-ahp 綜合評價模型的機器人設計選擇21參考文獻：參考文獻：1 宋久鵬，董大為，高國安. 基于層次分析法和灰色關聯度的方案決策模型研究j. 西南交通大學學報，2002，37（4）：463-4662 姜艷萍，樊治平. 三角模糊數互補判斷矩陣排序的一種實用方法j. 系統工程，2002，20（2）：8992.3 orlorski s a. decision-making with a fuzzy preference relationj. fuzzy sets and systems,1978, (1)：155167.4 kacprzyk j. group decision making wi

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