1、試述小學數(shù)學教學內(nèi)容中“數(shù)與代數(shù)”的教 學主線及教學建議數(shù)與代數(shù)部分是小學數(shù)學課程的重耍內(nèi)容。在小學數(shù)學學習中占比例是最大的，更重耍的是這部分學習內(nèi) 容是整個數(shù)學學習和學習其他的學科的基礎，這部分內(nèi)容主耍包括數(shù)的認識、概念、數(shù)的運算、數(shù)量的估 計等。數(shù)的概念是學生認識和理解數(shù)的開始，數(shù)的運算伴隨著數(shù)的形成與發(fā)展而不斷豐富，從自然數(shù)逐步 擴充到有理數(shù)，從自然數(shù)的四則運算擴展到了有理數(shù)的運算?？傊?，小學是以數(shù)的運算為主，但在第二學 段屮也有正反比例的初步學習。因此，對課程標準中數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的分析，可使教師了解小學階段數(shù)與代數(shù) 內(nèi)容的木質(zhì)與發(fā)展，從整體上把握相關(guān)概念和數(shù)的發(fā)展脈絡，促使數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的

2、教學設計和教學目標的 實現(xiàn)。1. 數(shù)的形成一從量到數(shù)的抽象（自然數(shù)）自然數(shù)形成包括兩個方面，一是與生活密切相關(guān)的數(shù)字（09）的形成；二是計數(shù)單位（十百、千等）的建立。（1）數(shù)字的形成。自然數(shù)具有基數(shù)和序數(shù)的性質(zhì)，基數(shù)是衣示數(shù)量的多少，從一些動物具備多少的概念， 可以判定人具備這種先天的“多與少”的概念，只是這種先天的概念比較薄弱，這種“多與少”的概念是在長期 的生活與活動屮逐漸培育并發(fā)展的。如在人類生活的過程屮，人們會根據(jù)事物數(shù)量的變化，逐一地創(chuàng)造出 數(shù)字，從1開始，每次增加1個，將各個數(shù)字進行冇序的排列，形成從小到大的排列，而且，相鄰兩個數(shù) 之間可以通過添“1”的方法進行轉(zhuǎn)換，便形成不同的用

3、符號0, 1, 2, 3, 4., 5, 6, 7, 8, 9等數(shù)字表示的 數(shù)。（2）計數(shù)單位的產(chǎn)生。計數(shù)單-位的產(chǎn)生應該有兩個階段。首先是自然形成階段，“很多爭情要從原木思考, 想法要白然，要符合邏輯?！庇嫈?shù)單位的產(chǎn)生不是人類的主觀臆造，而是與人類活動密切相關(guān)。當人們通過 添加“1”可以方便地進行事物數(shù)呈轉(zhuǎn)換的時候，就產(chǎn)生了自然數(shù)的基本單位“1”。隨著人類活動能力的不斷增 強，產(chǎn)生表示更多數(shù)戰(zhàn)的需求，計數(shù)的方式就由“個的計數(shù)”進入到“群與個相結(jié)合的計數(shù)”。人們口然就會對 事物的“群體數(shù)量”進行約定。在數(shù)的發(fā)展過程中，人們針對不同的生活事件和自然景彖，這種群體數(shù)量的 約定也逐漸多種多樣的，例如

4、：有羅馬的“5（v）”，有時間“60 （分、吋）”，有“24 （天）”，有“12 （月）”， 還有“16 （兩）”形成了多種多樣的記數(shù)方法。而在諸多的記數(shù)方法屮，將10作為一個表示數(shù)的單位葉”, 成為被人們普遍采用的方法?！笆M制”記數(shù)法是在“十”為單位的基礎上，再形成“百”“千”“萬”等單位，可以表 示任意大的數(shù)。2數(shù)的農(nóng)示：數(shù)位與記數(shù)法（i）多位數(shù)的表示。在計數(shù)單位“十”的基礎上，形成更大的計數(shù)單-位。九個“十”添加1個“十”就是“百”，九個“百” 添加1個“百”就是“千”十個“千”形成了一個新的計數(shù)單位“萬”。在我國記數(shù)方法中,把“萬”又當作一個新的“單 位一”，就可以獲得一組新的計數(shù)單

5、位“個（萬）、十（萬）、百（萬）、千（萬）”。同理，當“千力”滿十 個的時候，再次作壓縮處理，把十個“千萬”形成的新的計數(shù)單位“億”當作“一（個）”，又可獲得一組新的計 數(shù)單位“個（億）、十（億）、百（億）、千（億）”，”（2）記數(shù)法的含義及刻畫方式。記數(shù)法主要是指提 取與刻畫爭物數(shù)量信息的方法。在我國自然數(shù)的符號刻畫方式有兩種：一是位值原則記數(shù)法，即利用數(shù)位 表進行計數(shù)，一個數(shù)字不僅有本身的值還有位置的值，平時見到的白然數(shù)都默認英對應于隱性的數(shù)位表， 如：98 765 432；二是科學記數(shù)法,將“位置值與自身值”以捆綁的形式來刻畫數(shù)量信息,即寫成不同的計 數(shù)單位的數(shù)的和的形式,如:98765

6、432=9x107+8x106+7x105+6x104+5x103 +4x102+3x101+2x100 等。3.數(shù)的擴充分數(shù)和小數(shù)（1）分數(shù)的擴充。分數(shù)的擴充一般是由兩種需要而產(chǎn)生的：一是分東西的過程屮，需要對一個物體進行切割與分配時，整體屮的“部分”無法用白然數(shù)來表示，就需要有刻畫“部分”的方式方法； 二是計算過程中,2+3= ?無法用自然數(shù)表示計算的得數(shù),就需要冇刻畫這類除法運算結(jié)構(gòu)的方式。如若 將一張餅平均分成兩部分，你獲得了其中一部分，用數(shù)學語言刻畫就是“部分與整體的關(guān)系”，即把一個單 位（整體）平均分成兩份，英中的一份（部分），就是1 /2.（2）小數(shù)的擴充。小數(shù)產(chǎn)生的兩個前提：一

7、是十進制記數(shù)法的使用；二是分數(shù)概念的完善。在小數(shù)部分新 增加能結(jié)合具體情境比較兩個一位小數(shù)的大小，能比較兩個同分母分數(shù)的大小，可讓學生在小數(shù)初步認識 中，就對小數(shù)的比較捉出具體要求，可使學生能較準確把握冇關(guān)小數(shù)的問題，也為后續(xù)的學習做準備，但 這一學段只要求同分母的分數(shù)比較。4數(shù)的擴充有理數(shù)負數(shù)的產(chǎn)生?！柏摂?shù)”是一個與“正數(shù)"的意義相反的數(shù)學概念，它的形成源于對生活中完全相反的爭物數(shù)量的 刻畫。如進與岀、上與下、進與退等。什么是有理數(shù)？有理數(shù)就是一切形如eh （m, nw乙r#0）的分數(shù)。 一切分數(shù)都可以化為冇限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，因此，我們可以基于小數(shù)來定義冇理數(shù)：“冇理數(shù)是冇限小

8、 數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)是無限非循環(huán)小數(shù)）?！?. 數(shù)的運算一四則運算的含義與運算律（1）四則運算的形式及含義。從數(shù)學發(fā)展的邏輯體系來看，加法運算是四則運算的基礎，減法是加法的逆 運算，乘法是一種特殊的加法，除法是乘法的逆運算。（2）運算定律。加法運算定律冇加法交換律、加法結(jié)合律，乘法運算定律冇乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法 分配律。6. 用字母表示數(shù)（式與方程）用字母表示數(shù)是建立數(shù)感與符號意識的重要過程，是學習和認識數(shù)學的一次飛躍，為以后數(shù)學的學習奠定 基礎。學生將學習方程的初步知識，如用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系（3x+2=5,2x-x=3） , 了解方程 的作用，等式的性質(zhì)，能用等式

9、的性質(zhì)解簡單的方程。在具體情境中，了解常見的數(shù)量關(guān)系：總價=單價x 數(shù)最、路程=速度x時間，并能解決簡單的實際問題。學生對這些常見數(shù)量關(guān)系的了解，特別是運用這些數(shù) 量關(guān)系解決問題，是小學階段問題解決的核心。7正比例與反比例在第二學段，將引入正比例與反比例，讓學生初步認識對成正比例的量和成反比例的量，以及正比例關(guān)系 和反比例關(guān)系的實質(zhì)。課程標準也規(guī)定了相關(guān)的學習內(nèi)容與要求：如在實際惜境屮理解比及按比例分 配的含義，并能解決簡單的問題；能通過具體情境，認識成正比例的員和成反比例的量；會根據(jù)給出的冇 正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上面圖，并會根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值；能找出生活中成正比例 和成反

10、比例關(guān)系量的實例，并進行交流。對成正比例的量和成反比例的量做了這樣的農(nóng)述：兩種相關(guān)聯(lián)的 雖，i種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成 正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。如果用字母x, y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k農(nóng)示它們的比值（一 定），正比例關(guān)系可以用下面的式子表示：y二kx （k 定）。對成反比例的量做了這樣的表述：兩種相關(guān) 聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做 成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母x, y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的乘積 （k 一定），反比例關(guān)系可

11、以用下面的式子表示：x y=k （k 一定）。這兩個定義都滲透了變雖的含義，為 在初屮學段學習正比例函數(shù)和反比例函數(shù)捉供了必要的保證。&實施意見。（1）給學生多捉供一些現(xiàn)實性、趣味性的問題。（2）給學生多捉供一些開放性的問題。（3）呈現(xiàn)的形式要多樣、活潑?？梢允俏淖謹⑹觯部梢允菆D畫、表格、對話、現(xiàn)實場景等。（4）培養(yǎng)學生從門己身邊的客觀環(huán)境中提取數(shù)學結(jié)構(gòu)的能力。即學會用數(shù)學的視角觀察生活，用數(shù)學思維 分析現(xiàn)象，用數(shù)學方法認識和解決問題，用數(shù)學語言和符號交流思想的意識和能力。（5）促進學生理解和掌握常見的數(shù)量關(guān)系，體驗數(shù)量z間是相互影響、相互依存的。在開展合情推理的同 時發(fā)展初步的演繹

12、推理能力，形成解決問題的一些思路和基木策略，體會策略的多樣性。從而發(fā)展數(shù)學思 考，增強思維的靈活性和創(chuàng)造性。數(shù)與代數(shù)應用問題的內(nèi)容主線和教學建議發(fā)布者:陳良金 發(fā)布h期:2012-07-06這里所說的解決問題是把“非常規(guī)”的，學生必須經(jīng)歷探索、適當?shù)膭?chuàng)造并綜合運用數(shù)學知識和方法加 以解決的問題。解決這些問題，學生并無類似熟悉的題目和解法去模仿，需要學生進行探索、討論和一定 的創(chuàng)造。教師對于標準中應用問題設計的理念普遍認同，但在具體教學中乂出現(xiàn)了-些新的疑惑。實驗 教材將應用與計算結(jié)合在一起出現(xiàn)，但曲于缺乏相應的系統(tǒng)思考和研究，造成教師在教學時往往把握不好 每節(jié)課應該以應用為重還是以計算為重。本

13、文將具體闡述這些線索，并提出一些教學策略和建議。一、以四則運算的實際背景為線索，注重學生對于運算意義的理解四則運算的實際背景的不斷豐富構(gòu)成了教材編寫的i條線索，教師應該加以梳理，并且思考如何能 幫助學生理解和積累這些背景。1注重“實際背景”的積累以加法做合并或移入的模型；以減法做拿走、比較、移出或加法逆運算的模型；以乘法做大小的變化、交叉相乘或比率因子的使用的模型；以除法做比、率、比率除法、人小變化除法或乘法的逆運 算的模型。由丁實驗教材對于運算的的實際背呆大多安排為暗線。這就需耍教師對教材進行系統(tǒng)梳理，找 到實際背景不斷擴充的這條線索。2、生活經(jīng)驗、操作、畫圖的遼要性例題：小明家養(yǎng)白兔8只，

14、灰兔5只。白兔比灰兔多多少只？實驗證明學生可以通過操作、畫圖、模擬等手段分析淸楚題目中的比較關(guān)系，并且將其與運算意義 聯(lián)系起來?？傊?，在運算意義的教學中，應突出從實際問題抽象出四則運算意義的過程，強調(diào)對問題實際 意義和運算意義的冀正理解，并鼓勵學生通過聯(lián)系已冇經(jīng)驗、實際操作、畫圖分析等手段，尋找問題中的 數(shù)量關(guān)系，并聯(lián)系所學數(shù)學知識的意義加以解決。3. 可以適當鼓勵學生總結(jié)自己對于運算的理解其實，對于運算意義的教學，還有許多需要研究的問題。比如，在學生經(jīng)歷了從實際情境中抽象出 運算意義的基礎上，還需要學生總結(jié)一些類似“求一個數(shù)的兒倍用乘法”的規(guī)律嗎？注意這里的總結(jié)和過去 的套題型是不一樣的。主

15、耍體現(xiàn)在：第一，總結(jié)的主體不一樣。過去套題型人多是教師總結(jié)出來的，學生 的工作主耍是理解和記憶；而現(xiàn)在是學生在解決問題的基礎上的口己總結(jié)。第二，總結(jié)的基礎不一樣。過 去大多是剛剛引入運算在學生還沒有充分體驗的基礎上就提出題型，現(xiàn)任是在學生經(jīng)歷了多次解決問題的 基礎上加以歸納。第三，總結(jié)的目的不一樣。過去主要目的是給學生一個“抓手”，以便快速地解決英他問 題；現(xiàn)在的目的是進一步的提煉和概括，培養(yǎng)學生概括的能力，以進一步加深對運算的理解。因此，筆者認為可以適當鼓勵學生總結(jié)自己對于運算的理解。但這里需要注意，這個總結(jié)不要過早, 最好是學生學習了一段時間后的水到渠成。同時，要鼓勵學生通過舉例、畫圖、自

16、己的語言來表達對于運 算的理解，而不是統(tǒng)一要求背誦程序化的語言。所以，教師可以鼓勵學生完成如下的學習任務：(1) 舉生活中不一樣的例子，可以用加法、減法、乘法或除法來解決。(2) 畫圖表示一個情境，可以用加法、減法、乘法或除法來解決。(3) 用口己的語言說說什么是加法、減法、乘法或除法。那么，到底什么時候該總結(jié)，學生哪些語言可以認為真正理解了運算，這些問題都值得進一步研究。 研究的關(guān)鍵還是要了解學生真實的思維。二、以表征和分析問題為線索，鼓勵學生探索如何分析數(shù)量關(guān)系當學生在學習了運算的意義，并能解決一些簡單的問題后，學生將要學習解決一些復雜的問題。這 些問題之所以復雜，有的是因為實際問題的背景

17、比較復雜，學生不易讀懂題冃；有的是問題中蘊含的數(shù)戢 關(guān)系比較復雜，學生不易分析岀來。因此，在這里就存在著兩方面的問題，一是讀懂問題；二是分析數(shù)量 關(guān)系。在新課程中應用問題中的信息并不總是“正好”的，這就需耍根據(jù)問題來選擇信息和收集信息。實際 上，三者往往是交織在-起的，以下分開是為了更好地加以分析。1 如何讀懂題h這里讀懂題目指的是理解題目所表達的是一件什么事情，學生可以用自己的語言把這件事情說清楚, 這一點應該得到重視。因為，讀懂題冃的意思是分析數(shù)量關(guān)系的基礎，而小學生由于生活經(jīng)驗和閱讀能力 等的缺乏會出現(xiàn)一些理解上的閑難，所以一些冇經(jīng)驗的老師會深冇體會地說：“許多學生做不出數(shù)學題是因 為文

18、字沒讀懂”。因此，在教學屮，對于復雜的題h,教師要鼓勵學生多懂兒遍，嘗試完整地用自己的語言 敘述題意。當題目屮出現(xiàn)一些學生不易理解的詞語或句子時，教師町以采取情景表演、動作操作等方式幫 助學生。這方面有一個比較經(jīng)典的案例，吳正憲老師在執(zhí)教“相遇問題”時，首先鼓勵學生采取情景表演的 方式，理解“同時、相遇、相對、相向”等題h屮相對比較難理解的詞匯。同時，由于新課程提倡運用圖、文字、表格等多種形式表達信息，這也給學生造成了一定的閱讀困 難，學生往往不能同時從不同的形式中捕捉信息，這就需耍教師加以適當指導。下血就提供一個教師指導 學生如何從圖中獲取信息的案例4。案例3指導學生如何從情境圖屮獲取信息在

19、上面的案例中，教師通過語言指導學生可以從哪些角度獲取信息，并u鼓勵學生完整地表述題意, 這就由學生“局部”讀題到“整體”讀題；最后是山個人讀題到全班讀題。2.如何分析數(shù)量關(guān)系在讀懂題h的基礎上，教師就耍鼓勵學生分析題忖中的數(shù)量關(guān)系了。在這方而，過去總結(jié)了一些方 法，比如對于分數(shù)應用題分析數(shù)量關(guān)系，就有人總結(jié)了“抓住關(guān)鍵句（帶分率的句子），找準單位1,分淸 求什么（單位1已知用乘法，求單位4用除法）；量率要對應”許多老師在處理這一問題時，總是把自己的解題方法“迫不及待”地講給學生，比如找關(guān)鍵句、畫線段 圖，可是再遇到問題時學生往往還是不會用。老師的方法為什么無法轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生的呢？認真分析不難發(fā)現(xiàn),

20、 實際上教師在課堂上并沒有真正注重培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的方法。當教師呈現(xiàn)給學生一個問題時, 教師注重的是將自己已有的方法傳授給學生，學生不費什么腦子就從老師那里得到了解決問題的方法。但 是，這種方法好在哪，學生感受不深，輕而易舉得到的經(jīng)驗學生印象不深，自然也就很難轉(zhuǎn)化為自身的經(jīng) 驗，也就不會在面對類似問題的時候主動加以運用。另一方面，教師總擔心如果我不教，這么復雜的問題學生能會解嗎？回答這個問題只能靠學生門己。 因此，教師要在課堂上給學生留一點獨立思考、探索策略的時間，一旦學生探索出了方法，并且體會到了 畫圖等方法解決分數(shù)應用題的好處，當他們在面對類似問題的時候會注重借助這些方法幫助門己

21、分析數(shù)量 關(guān)系，從而正確解決問題。同吋，不同的學生有著不同的思維特點和思維水平，給學生展示自己分析數(shù)量關(guān)系方法的時間和空 間，也是學生之間交流的需要。學生在獨立思考后就會對自己與他人的進行比較，為方法之間的溝通聯(lián)系, 突岀數(shù)量關(guān)系打下了基礎。教師給了學生獨立探索的空間，乂不僅僅停留于此，而是在探索出不同方法的基礎上，再鼓勵學生 比較歸納，將個人的理解通過交流形成學習共同體的共識。這一切都源于教師對學生的信任，以及對他們 能力的不斷培養(yǎng)。這個案例也給了我們分析數(shù)彊關(guān)系的幾個教學策略。第一，鼓勵學生獨立探索分析數(shù)吊 關(guān)系的方法,并運用自己的方式冇條理地表達自己的理解;第二,鼓勵學生將不同的方法進行

22、比較溝通, 以凸顯其中蘊含的數(shù)量關(guān)系。看起來這兩個策略并不新鮮，但它不正是教學這一問題的兩個“大”策略嗎？這里還需耍討論的是一些傳統(tǒng)的方法，比如畫線段圖、抓關(guān)鍵詞句等，在現(xiàn)在的應用題教學中還強 調(diào)嗎？關(guān)于線段圖將在下面一個問題，分析和解決問題的畫圖策略屮再加以闡述。我們來看看抓關(guān)鍵詞句。 其實，每一個問題確實都有分析問題和解決問題的關(guān)鍵詞句，抓住并理解了它們無疑對分析數(shù)戢關(guān)系是重 要的。但關(guān)鍵是對關(guān)鍵詞句的理解以及如何“抓法”。過去的抓關(guān)鍵詞句的主要目的是服務于回憶題型，這 種題型的教學在短期內(nèi)可能會取得效果，特別是對付傳統(tǒng)的考試，但長期卻存在著弊端，這在上文已經(jīng)論 述過。同時，服務于題型的抓

23、關(guān)鍵詞句，學生往往不仔細地去閱讀和理解題目，而是快速地找到類似“一共”、 “剩余”、“兒倍”等詞語，由此去確定是什么題型，這就會造成學生出現(xiàn)大量的“見一共就加，見剩余就減”的 問題。另一方而，關(guān)鍵字句的“抓法”基本上是教師告訴的，學生甚至體會不到為什么要去抓關(guān)鍵字句，而 在以上的案例中，我們不難看出，部分學生也在抓關(guān)鍵句，但他們是在對題目整體結(jié)構(gòu)分析的基礎上 找到的，并且都對這些句子為什么關(guān)鍵、這些句子的意思是什么、這些句子隱含了哪些條件作出了闡述， 這實際上是體現(xiàn)了學生們對于數(shù)量關(guān)系的理解。同時，由于學生們是自己探索出方法，所以他們也感受到 這一方法的好處：“他們這些市題方法都是把題目要表達

24、的意思簡單化，讓人看得更明白?！薄芭ⅰ㈥P(guān)鍵句、 關(guān)鍵詞這些都是從文字中發(fā)現(xiàn)更深層的意義?！币虼?，概括地說，找到問題中的關(guān)鍵字句是重要的，但要注 意實現(xiàn)三個轉(zhuǎn)變：由為了套用題型的抓關(guān)鍵字句轉(zhuǎn)變?yōu)榛诶斫鈹?shù)量關(guān)系的抓關(guān)鍵字句；由教師要求找轉(zhuǎn) 變?yōu)閷W生自主感受找的必要性；由教師介紹找的統(tǒng)一方法轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生探索自己的方法并多樣化的表達（如 案例中有的用批注，有的找到了兒個關(guān)鍵詞，有的找到了一個句子）。同時，無論采取哪種方法，教師要引導學生注重問題中最基本的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的分析，即關(guān)注題目 中的“大邏輯蔦3.如何冇效地收集和選擇信息人們在現(xiàn)實生活中接觸到的問題，英信息往往是多途徑的，對話、報紙、電視、廣播

25、、標牌等都可 能呈現(xiàn)出信息；呈現(xiàn)的形式也許是文字的、表格的、圖畫的；信息也許雜亂無章，需要你重新組織，而且 經(jīng)常是多余或不足的。因此，應用問題也應注重以多種形式（如表格、圖形、漫畫、對話、文字）提供信 息、呈現(xiàn)問題。必要時，也可以鼓勵學生對信息進行選擇、判斷或者是補充。實際上，在幫助學生如何冇效地收集和選擇信息上，教材和教學川都做了一些冇益的嘗試。比如， 鼓勵學生面對情境中的眾多信息，選擇若干信息捉出可以用數(shù)學解決的問題；又如，鼓勵學生回答如果要 解決某一問題，需要收集哪些信息等問題。但總的來說，無論是在教材還是在教學中，如何幫助學生有效 地收集和選擇信息，這方面的教學策略還比較缺乏，需要廣大

26、教師不斷研究和實踐。三、以分析問題和解決問題策略的學習為線索，鼓勵學生形成一些基本策略解決問題活動的價值不只是獲得具體問題的解，更重要的是學生在分析問題和解決問題過程屮獲得 的發(fā)展。其中重要的-點在于使學生學習-些分析問題和解決問題的圧本策略，體驗策略的多樣性，并在 此基礎上形成自己解決問題的某些策略。各套實驗教材涉及的解決問題的策略不盡相同，筆者選擇其中最 基木的三個策略：畫圖策略、列表策略和模擬操作策略加以具體闡述。需耍指出的是，這三個策略不僅僅 是解決問題的策略，也可以用來分析數(shù)量關(guān)系，并且，二者往往是結(jié)合在一起使用的。因此，木線索提及 的內(nèi)容與上一條線索冇所交叉。1.1田i圖的策略畫圖

27、策略是非常重要的一種分析問題和解決問題的策略，它是利用“圖”的自觀來對問題屮的關(guān)系和結(jié) 構(gòu)進行表達，從而幫助人們分析問題和解決問題的。借助兒何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象, 有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。同時，i田i圖乂是-個“去情境化”的過程，它把情境中的數(shù)戢關(guān)系 進行提煉，并且進行直觀表達。總的來說，畫圖的策略的作用主要體現(xiàn)在：畫圖可以幫助理解問題；畫圖 可以幫助解決問題；畫圖可以促進反思和交流；畫圖可以導致發(fā)現(xiàn)。其中，教師對于畫圖可以幫助理解問 題、分析數(shù)量關(guān)系并不陌生，以上對于畫圖策略的意義和作用加以了分析，下面對教師如何在教學中培養(yǎng)學生的“畫圖”策略提一些 教學建議。

28、第一，鼓勵學生畫圖來分析問題和解決問題，發(fā)展學生的畫圖怠識。事實上，不僅僅在解應用題上, 畫圖策略廣泛應用于小學數(shù)學的內(nèi)容領(lǐng)域屮。比如，運用畫圖可以有助于學生理解數(shù)概念、運算的道理、 正反比例的變化情況等。因此，教師應在教學中重視尋找教學契機，發(fā)展學生的畫圖意識。可以鼓勵學生 運用圖、表格、自然語言、符號等對某一概念和規(guī)律進行多重表達:在解決問題缺乏思路時鼓勵學生畫圖 分析一下；在問題解決后運用畫圖來向別人表達口己的思路。當然，畫圖是一種分析問題和解決問題的策 略，是否需要畫圖與問題的難度、悄境對學生的熟悉程度、學生的年齡特點等都冇關(guān)系。如果學生不借助 灑圖已經(jīng)可以解決問題了，教師可以鼓勵他運

29、用畫圖來表達白己的思考過程，但不必強求他必須經(jīng)過畫圖 才解決問題，更不能因為強求必須畫統(tǒng)一的圖而造成學生“會解決問題，但不會畫教師耍求的圖”的困惑。第二，重視學生自己的示意圖。在過去的教學屮往往只強調(diào)線段圖，或者不鼓勵學生自c去畫圖， 或者認為學生畫的圖比較“初等”，不如線段圖來得“簡潔和抽象”。筆者認為，畫圖本身是一種解決問題的策 略，能夠有效地解決問題就是好的辦法。而且畫圖正是借助了圖形的直觀。而“直觀”是因人而異、因年級 而異的，因此耍重視學生自己的示意圖，挖掘這些圖中的價值。英實，學生的許多示意圖在木質(zhì)上與線段 圖沒冇太大的差別。其實在低年級教材中已經(jīng)有了線段圖的雛形，如兒個小圓片、兒

30、個三角形等排成一排；到了四年級 的“路程、時間、速度”學習中人多數(shù)實驗教材就出現(xiàn)了比較規(guī)范的線段圖，如果還停留在學生示意圖的層 面，教學的梯度沒有體現(xiàn)。雖然以上對于“線段圖”的耍求不盡相同，但也存在著共識：教師應鼓勵學綸運用畫圖分析問題和解決 問題，挖掘“畫圖”的價值；如果需要學習線段圖，應使學生通過比較等方式體會到線段圖的好處；對于線 段圖不必過分苛求格式，比如量i定要標在下而、率一定要標在上而，只要清晰地表達出正確的數(shù)戢關(guān)系 就可以。并且，大部分的觀點認為畫圖是-個分析問題和解決問題的策略，既然是策略，在具體解題時就 可以用或者不用，就可以選擇用示意圖或線段圖。對于以上共識，筆者是非常贊同

31、的。確實，如果把畫圖 當成策略，那么能冇利于學生分析問題和解決問題的就是好策略，而每個人選擇的策略是可以不一樣。而 學生的示意圖和線段圖都是利用了圖形的頁觀，并且如前所述學生的很多示意圖和線段圖的結(jié)構(gòu)上無本質(zhì) 性區(qū)別，所以筆者比較傾向于上而的第-種觀點。進一步，我們不必馬上陷入觀點之爭上，而是需要思考 一些基本問題：線段圖與學生的示意圖相比到底優(yōu)勢在哪里，包括在分析問題和解決問題中的優(yōu)勢以及對 于其他內(nèi)容學習的優(yōu)勢；學生是否能通過比較體會到這種優(yōu)勢，特別是能否自發(fā)體會到。第三，重視畫圖在解決問題和反思交流川的作用。如前所述，畫圖不僅僅可以幫助學生分析問題， 它還有助于學生解決問題和反思交流。而

32、后兩者在教學屮是比較缺乏的，需要我們不斷加深對它們的理解, 并創(chuàng)造出更多更好的案例。第四，重視畫圖中學生的數(shù)學思維。學生畫圖的過程應該與數(shù)學思維的過程結(jié)合在一起，實際上根 據(jù)對題h的分析灑出圖、根據(jù)圖聯(lián)系運算的意義、運用圖來頁觀表示解決問題的思路和結(jié)果等，這些都必 然會與數(shù)學思維緊密聯(lián)系。作為教師，要把這種聯(lián)系適當凸顯出來，比如鼓勵學生表達自己圖的意思，是 根據(jù)什么畫出此圖的；鼓勵學生借助圖冇條理地表達口己的思路等?？偠灾?，畫圖是一種非常重要的分析問題和解決問題的策略，但在它的教學中也確實存在著不少 需耍進一步研究的問題。比如，學生是否選擇畫圖來解決問題，與題冃的難度、呈現(xiàn)形式以及學生的年齡

33、 特點冇關(guān)，那么，影響學生選擇這一策略的因素冇哪些呢？在教學川不難發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)彖，許多學生遇到解 決不了的問題時，并不主動選擇畫圖策略，而當老師要求畫圖后往往能正確畫圖解決問題，也就是學生會 i田i但缺乏i田i圖意識，如何看待這一問題呢？教師也會發(fā)現(xiàn),如果我們鼓勵學生i田i自己的示意圖，學生的圖 是非常富有個性的，但這些圖中哪些可以真正有效地解決問題，需要我們細致研究。再如，前面提到的線 段圖教學屮的問題。總之，如何使學生體會到畫圖的價值，并比在需要時覺想到畫圖解決問題，并能畫 圖冇效地解決問題，是我們今后需要不斷思考的問題。2. 列表的策略在小學教材中，列表策略的作用主要體現(xiàn)在兩個方面。第一方

34、血，學生通過列表枚舉出符合條件的一些結(jié)果，然后通過驗證從中選擇中最終的答案。比如, 對于“雞兔同籠"的問題，教材大多選擇了列表的策略，鼓勵學生進行枚舉，學生通過枚舉每一種情況并進 行檢驗，得到問題的最終答案。如果頭和腿的數(shù)h較多的情況，學生也可以在列舉屮發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律從而進 行調(diào)整，如“發(fā)現(xiàn)腿數(shù)還差得很多，多增加些兔子”；乂如可以從-半開始枚舉（從假設有一半是雞開始）。 這不僅使學生學習了解決問題的重要策略，還可以培養(yǎng)學生對數(shù)的感覺和估計的能力，使學生經(jīng)歷建立假 設、檢驗假設的過程，發(fā)展學生口己進行判斷的能力。隨著對這個問題的不斷討論，越來越多的老師認識 到枚舉方法的垂要性。正如張景中

35、先生提到的8： “小學數(shù)學里冇很多應用題，解題的思想方法常常是因題 而異。可不可以引導學生探索一下，用一個思想來解各種各樣的題h呢？試商的思想，瓦實有普遍意義，可 以用來求解許多不同類型的問題，包括應用問題，只要問題小的條件數(shù)據(jù)和解答z間有確定性的關(guān)系。第二方面，學生可以將問題中的信息用表格的形式加以整理，往往既起到整理信息的作用，也有助 于學生探索出解決問題的思路?？刺K教版教材中的一個例子（如圖12）:借助表格疫理了條件和問題，并 且學生通過觀察表格會冇助于思考出解決問題的思路，也為正比例的學習奠定了經(jīng)驗。進一步，通過整理 信息，并進行適當?shù)赝评?，有時就能解決問題。看北師大新世紀版教材中的一

36、個例子（如圖13）:學生通 過表格整理提供的信息,并進行進一步的推理，就能解決最終問題了。3. 模擬操作的策略模擬操作是借助實際操作或模擬操作分析問題和解決問題的策略。一方面，如前面提到的通過模擬“相 遇問題"屮的情境，幫助學牛理解題意和分析問題。另一方面，學生町以通過操作解決問題。對于小學屮到底冇哪些基木的分析問題和解決問題的策略，目前還存在著不同認識，以上筆者只是 列出最基木的三種策略。同時，這三種策略在實際解決問題時往往是結(jié)合在一起使用的。對于分析問題和解決問題策略的教學，這里提出兩點建議。第一，教學中要重視對學生分析問題和 解決問題策略的指導，適時地將“隱性”的策略“顯性化”。例如，在具體求解問題前，教師可以鼓勵學生思考 需耍運用哪些策略；在解決問題的過程中，教師可以根據(jù)具體情況，適時使學生注意是否耍調(diào)整策略；在 解決問題之后，教師耍鼓勵學生反思自己所使用的策略，并組織全班交流；在適當時候，教師可以總結(jié)一 些分析和解決問題的策略，讓學生收集使用這些策略的典型實例?？傊?，教師要將分析問題和解決問題的 策略作為重耍的目標，冇意識地加以指導和教學。第二，學生所采用的策略，在老師的眼屮也許冇優(yōu)劣之分，但在孩子的思考過程中并沒冇好壞z別, 都反映出學生對問題的理解和所作出的努力。只要解題過程及答案具有合理性，就值得肯定。這為樹立學 生的