1、第六節 解析函數與調和函數的關系 一、一、解析函數與調和函數解析函數與調和函數二、由調和函數求解析函數三、小結與思考機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 2一、解析函數與調和函數一、解析函數與調和函數1. 兩者的關系兩者的關系 ,)( 內內的的一一個個解解析析函函數數為為設設Divuzfw . , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 從而從而根據解析函數高階導數定理根據解析函數高階導數定理, 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 3 , 數數具具有有任任意意階

2、階的的連連續續偏偏導導與與 vu, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu從而從而, 0 2222 yvxv同理同理機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 4定義定義. ),( 0, , ),( 2222內的調和函數內的調和函數為區域為區域那末稱那末稱并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續偏導數有二階連續偏導數內具內具在區域在區域如果二元實變函數如果二元實變函數DyxyxDyx 拉普拉斯拉普拉斯另外另外2222yx 是一種運算符號，稱為是一種運算符號，稱為拉普拉斯算子拉普拉斯算子.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 52. 共軛調和

3、函數的定義共軛調和函數的定義 定理定理 函數函數 f (z) = u + iv 在區域在區域 D 內解析的充分必內解析的充分必要條件是要條件是v(x, y)是是u(x, y)的共軛調和函數的共軛調和函數.定義定義設設u(x, y), v(x, y)都是區域都是區域 D內的調和函數，內的調和函數，若若 u(x, y), v(x, y) 滿足滿足C-R方程，方程，則稱則稱v(x, y)是是u(x, y)的的共軛調和函數共軛調和函數.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 61. 偏積分法偏積分法 利用利用CR方程求得它的共軛調和函數方程求得它的共軛調和函數 v, 從而構從而構成

4、一個解析函數成一個解析函數u+vi. 這種方法稱為這種方法稱為偏積分法偏積分法.解解例例1 . ),( , 3),( 23數數和和由由它它們們構構成成的的解解析析函函共共軛軛調調和和函函數數并并求求其其為為調調和和函函數數證證明明yxvxyxyxu ,6 xyyu 因為因為,6 22xyu ,33 22yxxu ,6 22xxu 二、由調和函數求解析函數二、由調和函數求解析函數機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 7, 0 2222 yuxu于是于是 . ),( 為調和函數為調和函數故故yxu,33 22yxxuyv 因為因為 yyxyxvd)33(),(22),(332

5、xyyx ),(6xxyxv yuxv 又因為又因為xy6 )(6xxy 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 8,)( Cx 故故,3),(32cyyxyxv 得一個解析函數得一個解析函數)3(3)(3223Cyyxixyxivuzf .3iCz 答案答案課后練習課后練習. , 236),( 3223并求其共軛調和函數并求其共軛調和函數調和函數調和函數為為證明證明yxyyxxyxu .263),(3322cxyxyyxyxv ) (為任意常數為任意常數C機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 92. 不定積分法不定積分法. , ),( ),( 不不定

6、定積積分分法法求求解解析析函函數數的的方方法法稱稱為為用用不不定定積積分分或或已已知知調調和和函函數數yxvyxu不定積分法的實施過程不定積分法的實施過程: , )( )( 仍為解析函數仍為解析函數的導數的導數解析函數解析函數zfivuzf xxivuzf )( 且且yxiuu xyivv , 來表示來表示用用與與把把zivviuuxyyx ),()(zUiuuzfyx ),()(zVivvzfxy 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 10將上兩式積分將上兩式積分, 得得,d)()(czzUzf ,d)()(czzVzf , )( zfu求求適用于已知實部適用于已知實部

7、 , )( zfv 求求適用于已知虛部適用于已知虛部機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 11例例2 2).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的的并求并求為解析函數為解析函數使使再求再求為調和函數為調和函數使使值值求求 解解根據調和函數的定義可得根據調和函數的定義可得, 1 k,2 xxu 因為因為, 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu yxiuuzUzf )()( 因為因為kyix22 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 12kyix22 yix22 ,2z zzzfd2)( 根據不定積分法根據不定積

8、分法,2cz , 1)( if由由 , 0 c得得所求解析函數為所求解析函數為.2)(222zxyiyxzf 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 13用不定積分法求解解析函數用不定積分法求解解析函數 yxiuuzUzf )()()2(322yxyixi ,32iz zizzfd3)(2,13ciz .3),( 23yxyyxu 實部實部答案答案 ) ( 為任意實常數為任意實常數c).()( 3czizf 故故)(zf練習：練習：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 14例例3 3 解解.)( ),(2)4)( 22ivuzfyxyxyxyxvu 試

9、確定解析函數試確定解析函數已知已知, 2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx兩邊同時求導數兩邊同時求導數, 2)24)()4(22 yxyxyxyxvuyy , , xvyuyvxu 且且所以上面兩式分別相加減可得所以上面兩式分別相加減可得機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 15, 23322 yxvy,6xyvx xyivvzf )(xyiyx623322 , 232 z zzzfd)23()(2.23czz ) ( 為任意實常數為任意實常數c機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 16三、小結與思考三、小結與思考 本節我們學習了調和函數的概念、解析函數本節我們學習了調和函數的概念、解析函數與調和函數的關系以及共軛調和函數的概念與調和函數的關系以及共軛調和函數的概念.應應注意注意的是的是: 1. 任意兩個調和函數任意兩個調和函數u與與v所構成的所構成的函數函數u+iv不一定是解析函數不一定是解析函數. 2. 滿足柯西滿足柯西黎曼方程黎曼方程ux= vy, vx= uy,的的v稱為稱為u的共軛調和函數的共軛調和函數, u與與v注意的是地位不能顛倒注意的是地位不能顛倒.放映結束，按放映結束，按EscEsc退出退出. .作業：作業：P48 17 (1) (3)機