1、1 本章結(jié)構(gòu)本章結(jié)構(gòu) 第第3章章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1 能控性能控性3.2 能觀性能觀性3.3 能控性與能觀性的對偶關(guān)系能控性與能觀性的對偶關(guān)系3.4 零極點對消與能控性和能觀性的關(guān)系零極點對消與能控性和能觀性的關(guān)系2引言引言 狀態(tài)方程反映了控制輸入對狀態(tài)的影響；輸出方程狀態(tài)方程反映了控制輸入對狀態(tài)的影響；輸出方程反映系統(tǒng)輸出對控制輸入和狀態(tài)的依賴反映系統(tǒng)輸出對控制輸入和狀態(tài)的依賴 能控性揭示系統(tǒng)輸入對狀態(tài)的制約能力；能觀性反能控性揭示系統(tǒng)輸入對狀態(tài)的制約能力；能觀性反映從外部對系統(tǒng)內(nèi)部的觀測能力；映從外部對系統(tǒng)內(nèi)部的觀測能力；能控性和能觀性能控性和能

2、觀性的概念是的概念是卡爾曼在卡爾曼在1960年年提出，成為現(xiàn)提出，成為現(xiàn)代控制理論中最重要的概念，是最優(yōu)控制設(shè)計的基礎(chǔ)。代控制理論中最重要的概念，是最優(yōu)控制設(shè)計的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間模型建立了狀態(tài)空間模型建立了輸入、狀態(tài)、輸出輸入、狀態(tài)、輸出之間的關(guān)系之間的關(guān)系xAxBuyCxDu3含義含義1: 控制作用對狀態(tài)變量的支配控制作用對狀態(tài)變量的支配 系統(tǒng)輸出能否反映狀態(tài)變量系統(tǒng)輸出能否反映狀態(tài)變量含義含義2: 可控性可控性:能否找到控制作用使任意初態(tài)能否找到控制作用使任意初態(tài) 可觀測性可觀測性:能否由輸出量的測量值能否由輸出量的測量值 引引 言言可控性。可控性。可觀測性。可觀測性。確定終態(tài)。確定終態(tài)。各

3、狀態(tài)。各狀態(tài)。4 如果系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量的運動都可由輸入如果系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量的運動都可由輸入來影響和控制來影響和控制,而由而由任意的始點任意的始點達到終點達到終點,則系統(tǒng)可則系統(tǒng)可控控(狀態(tài)可控狀態(tài)可控) 。 如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量的如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量的任意形式任意形式的運動均的運動均可由輸出完全反映可由輸出完全反映,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測的。則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測的。引引 言言5引例引例: 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述: 解解:展開展開 表明表明:狀態(tài)變量狀態(tài)變量 , 都可通過選擇輸入都可通過選擇輸入u而由始點而由始點 輸出輸出y只能反映狀態(tài)變量只能反映狀態(tài)變量 ,所以

4、所以 不不可觀測。可觀測。 xyuxxxx6021500421212116 4xyuxx1x2x2x1xuxx2522引引 言言終點終點,所以完全可控。所以完全可控。63.1 能控性能控性3.1.1 定義定義 若若線性連續(xù)定常線性連續(xù)定常系統(tǒng)：系統(tǒng)：如果存在一個無約束的輸入如果存在一個無約束的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間，能在有限時間區(qū)間 內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x(t0) = x0，轉(zhuǎn)移到指定的，轉(zhuǎn)移到指定的任意任意終端狀態(tài)終端狀態(tài)x(tf) = xf，則稱此狀態(tài)是能控的。若系，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是完全能控的，統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能

5、控的，則稱系統(tǒng)是完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的。或簡稱系統(tǒng)是能控的。 有時也稱矩陣有時也稱矩陣（A，B）是能控的。是能控的。xAxBu0 ,ft t 若系統(tǒng)存在某一個狀態(tài)若系統(tǒng)存在某一個狀態(tài)x(t0)不滿足上述條件，則不滿足上述條件，則此系統(tǒng)稱為不能控系統(tǒng)。此系統(tǒng)稱為不能控系統(tǒng)。73.1 能控性能控性3.1.1 定義定義0 ,ft t時間段內(nèi)存時間段內(nèi)存在控制輸入在控制輸入u1(),fnx tPP0( )x tP83.1.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別線性定常系統(tǒng)的能控性判別1 從從A與與B判定能控性（能控性判據(jù)）判定能控性（能控性判據(jù)）定理定理3.1-1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng) (A

6、，B)其其狀態(tài)完狀態(tài)完全能控全能控的的充要條件充要條件是其能控性矩陣是其能控性矩陣的秩為的秩為n，即，即21nMB AB A BAB rankMn3.1 能控性能控性9證明證明 定理定理3.1-1已知狀態(tài)方程的解為已知狀態(tài)方程的解為ffftttttfdetet00)()()()(0)(BuxxAA在以下討論中，不失一般性，可設(shè)初始時刻為零，即在以下討論中，不失一般性，可設(shè)初始時刻為零，即t0 = 0以及終端狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點，即以及終端狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點，即x(tf ) = 0。則有。則有ftde0)()0(BuxA利用凱萊利用凱萊-哈密爾頓（哈密爾頓（CayleyHamilton）定理）

7、定理()( )0(0)( )ffftAtA tfox texeBud3.1.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1 能控性能控性10證明證明 定理定理3.1-1利用凱萊利用凱萊-哈密爾頓（哈密爾頓（CayleyHamilton）定理）定理10)(nkkkAAe100(0)( ) ( )fntkkkxA Baud 進而得到進而得到因因tf 是固定的，所以每一個積分都代表一個確定的是固定的，所以每一個積分都代表一個確定的量，令量，令0( ) ( )ftkkaud3.1.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1 能控性能控性11證明證明 定理定理3.1-1011

8、101(0)nk2nkknxA BBABA BAB 若系統(tǒng)是能控的，那么對于任意給定的初始狀態(tài)若系統(tǒng)是能控的，那么對于任意給定的初始狀態(tài)x(0)都都應從上述方程中解出應從上述方程中解出 0， 1， n 1 1來。這就要求系來。這就要求系統(tǒng)能控性矩陣的秩為統(tǒng)能控性矩陣的秩為n，即即rank B AB A2B An 1B = n3.1.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1 能控性能控性12例例3-1 試判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。試判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。(1)(2)110001010110 xxu uxx1100410201223.1.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別線性定常系

9、統(tǒng)的能控性判別3.1 能控性能控性139414212102bAAbbScnrankSScc31（1） 該系統(tǒng)可控。該系統(tǒng)可控。 解：解： 2101112102bAAbbSc（2） 32nrankSc該系統(tǒng)不可控。該系統(tǒng)不可控。 3.1.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1 能控性能控性14例例3-2：試判斷系統(tǒng)可控性試判斷系統(tǒng)可控性。uxx1111123100202313.1.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.1 能控性能控性15rank =2t0內(nèi)，能夠內(nèi)，能夠根據(jù)輸出量根據(jù)輸出量y(t)在在t0，tf內(nèi)的測量值，內(nèi)的測量值，唯一唯一地確定系統(tǒng)在時

10、地確定系統(tǒng)在時刻刻t0的初始狀態(tài)的初始狀態(tài)x(t0)，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能觀測的，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能觀測的，或簡稱系統(tǒng)能觀測的。或簡稱系統(tǒng)能觀測的。討論線性系統(tǒng)的能觀測性。考慮零輸入時的狀態(tài)空間表達式討論線性系統(tǒng)的能觀測性。考慮零輸入時的狀態(tài)空間表達式xAxyCx223.2.1 定義定義能觀測性的概念非常重能觀測性的概念非常重要，這是由于在實際問要，這是由于在實際問題中，狀態(tài)反饋控制遇題中，狀態(tài)反饋控制遇到的困難是一些狀態(tài)變到的困難是一些狀態(tài)變量不易直接量測。因而量不易直接量測。因而在構(gòu)造控制器時，必須在構(gòu)造控制器時，必須首先估計出不可量測的首先估計出不可量測的狀態(tài)變量。在狀態(tài)變量。

11、在“系統(tǒng)綜系統(tǒng)綜合合”部分我們將指出，部分我們將指出，當且僅當系統(tǒng)是能觀測當且僅當系統(tǒng)是能觀測時，才能對系統(tǒng)狀態(tài)變時，才能對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行觀測或估計。量進行觀測或估計。3.2 能觀性能觀性231 從從A與與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）判定能觀性（能觀性判據(jù)）定理定理3.2-1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng) (A，C)其其狀態(tài)完狀態(tài)完全能觀全能觀的的充要條件充要條件是其能觀性矩陣是其能觀性矩陣1nCCANCArankNn3.2 能觀性能觀性3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別的秩為的秩為n n，即，即)(1TnTTTTTCACACNrankNnT24證明證明 定理定理

12、3.2-1已知系統(tǒng)已知系統(tǒng) (A，C)狀態(tài)方程的解為狀態(tài)方程的解為在以下討論中，不失一般性，可設(shè)初始時刻為零，即在以下討論中，不失一般性，可設(shè)初始時刻為零，即t0 = 0則有則有利用凱萊利用凱萊-哈密爾頓（哈密爾頓（CayleyHamilton）定理）定理( )(0)( )(0)AtAtx te xy tCe x00()()0( )( )( )tA t tA ttx tex teBud10)(nkkktteAA3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別1 從從A與與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）判定能觀性（能觀性判據(jù)）25證明證明 定理定理3.2-1所以所以因為一般因為一般m n

13、，此時，方程無唯一解。要使方程有唯此時，方程無唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同時刻進行觀測，得到一解，可以在不同時刻進行觀測，得到y(tǒng)(t1)，y(t2)，y(tf )，此時把方程個數(shù)擴展到，此時把方程個數(shù)擴展到n個，即個，即)0()()(10 xCAttyknkk10110111( )( )(0)( )(0)( )(0)( )( )( )(0)nnmmnmny tt Cxt CAxt CAxCCAt It It IxCA1 從從A與與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）判定能觀性（能觀性判據(jù)）3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別26證明證明 定理定理3.3-1)0()()()

14、()()()()()()()()(111021212011111021xCACACIIIIIIIIImmmmmmmmmnfnffnnfttttttttttytyty）上式表明，根據(jù)在上式表明，根據(jù)在（0，tf）時間間隔的測量值時間間隔的測量值y(t1)，y(t2)，y(tf)，能將初始狀態(tài)能將初始狀態(tài)x(0)唯一地唯一地確定下來的充要條件是確定下來的充要條件是能觀測性矩陣能觀測性矩陣N滿秩。滿秩。1 從從A與與C判定能觀性（能觀性判據(jù)）判定能觀性（能觀性判據(jù)）3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別27例例3.2-1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷其狀態(tài)能觀性。判

15、斷其狀態(tài)能觀性。)(0101)()(11)(3112)(tttttxyuxx 10102121CNCArankN = 2 = n 所以系統(tǒng)是能觀測的。所以系統(tǒng)是能觀測的。3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別28例例3.2-2: 試判斷下列系統(tǒng)的可觀測性。試判斷下列系統(tǒng)的可觀測性。 解：解：0501310112CACACVnVrank3該系統(tǒng)可觀測該系統(tǒng)可觀測。 321321321011102101110221xxxyuxxxxxx, 05V3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別29 例例3.2-3:試確定使下列系統(tǒng)可觀測的試確定使下列系統(tǒng)可觀測的a

16、,b取值。取值。 xyxbax11,01解：解：baCACV111101ababV ，系統(tǒng)可觀測。系統(tǒng)可觀測。 3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別30若若A為為對角型對角型，則系統(tǒng)，則系統(tǒng)完全可觀測完全可觀測的充要的充要條件是：條件是：輸出陣輸出陣C中沒有任何一列的元素全為零。中沒有任何一列的元素全為零。（此結(jié)論適用于特征值互不相等的情況）此結(jié)論適用于特征值互不相等的情況） 2.可觀測性對角型判據(jù)可觀測性對角型判據(jù)3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別31 321321100050007xxxxxx 32121130023xxxyy例例3.2-3

17、: 試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性。試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性。 （1 1）可觀測）可觀測2.可觀測性對角型判據(jù)可觀測性對角型判據(jù)3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別（1）7( )5( )1 ( )045( )tty ttxxx（2）（2 2）不可觀測）不可觀測32若若A為為約當型約當型，則系統(tǒng)完全可觀測的充要條件，則系統(tǒng)完全可觀測的充要條件是：是：C陣中與每個約當塊的陣中與每個約當塊的第一列第一列相對應的各列相對應的各列中，沒有一列的元素中，沒有一列的元素全為零，全為零，且矩陣且矩陣C中對應于中對應于互不相等的特征值的各列，沒有一列的元素全為互不相等的特征值的各列，沒

18、有一列的元素全為0.(如果兩個約當塊有相同的特征值如果兩個約當塊有相同的特征值, 此結(jié)論不成立此結(jié)論不成立)。 3.可觀測性約當型判據(jù)可觀測性約當型判據(jù)3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別33例例3.2-4: 試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性。試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性。 432143213001320012)1xxxxxxxx 43212111100110 xxxxyyuxxxxxx 101200120001)2321321 321011xxxy1) 1) 不可觀測不可觀測2) 2) 可觀測可觀測3.2.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性判別線性定常系統(tǒng)的能觀性判別343.3 能

19、控性與能觀性的對偶關(guān)系能控性與能觀性的對偶關(guān)系 從前面幾節(jié)的討論中可以看出控制系統(tǒng)的能控性和從前面幾節(jié)的討論中可以看出控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性，無論從定義或其判據(jù)方面都是很相似的。這能觀測性，無論從定義或其判據(jù)方面都是很相似的。這種相似關(guān)系決非偶然的巧合，而是有著內(nèi)在的必然聯(lián)系，種相似關(guān)系決非偶然的巧合，而是有著內(nèi)在的必然聯(lián)系，這種必然的聯(lián)系即為對偶性原理：這種必然的聯(lián)系即為對偶性原理：設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng) 1的狀態(tài)空間表達式為的狀態(tài)空間表達式為設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng) 2的狀態(tài)空間表達式為的狀態(tài)空間表達式為)()()()()(11111tttttCxyBuAxx )()()()()(22222tttttTTT

20、xByuCxAx 稱系統(tǒng)稱系統(tǒng) 1和系統(tǒng)和系統(tǒng) 2是互為對偶的，即是互為對偶的，即 2是是 1的對偶的對偶系統(tǒng)，反之，系統(tǒng)，反之， 1是是 2的對偶系統(tǒng)。的對偶系統(tǒng)。35nranknpnnB BA AB BA AABABB B12 控的充要條件是其狀態(tài),對于系統(tǒng)1可nranknpnnB BA AB BA AA AB BB B12 的充要條件是觀狀態(tài),對于系統(tǒng)2測可3.3 能控性與能觀性的對偶關(guān)系能控性與能觀性的對偶關(guān)系nranknqnnT TT TT TT TT TT TT TC CA AC CA AC CA AC C12 控的充要條件是其狀態(tài),對于系統(tǒng)2可nranknqnnT TT TT TT TT TC CA AC CA AC C1 的充要條件是觀狀態(tài),對于系統(tǒng)1測可36結(jié)論：結(jié)論：系統(tǒng)系統(tǒng)S1可控的充要條件恰是其對偶系統(tǒng)可控的充要條件恰是其對偶系統(tǒng)S2可可觀測的充要條件；系統(tǒng)觀測的充要條件；系統(tǒng)S1可觀測的充要條件又是其對可觀測的充要條件又是其對偶系統(tǒng)偶系統(tǒng)S2可控的充要條件。可控的充要條件。3.3 能控性與能觀性的對偶關(guān)系能控性與能觀性的對偶關(guān)系37定理定理: :SISOSISO線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)若有零、極點對消若有零、極點對消，則視狀態(tài)變量不同的選擇，系統(tǒng)或不可控，或為不可觀則視狀態(tài)變量不同的選擇，系統(tǒng)或不可控，或為不可觀測，或既不可控又