1、第五章 線性參數的最小二乘處理習 題5-1研究鉑-銥米尺基準器的膨脹系數時得出，在不同溫度下該米尺基準器的長度的修正值可用下述公式表示：x+ty+t2z=L式中x表示在0時米尺基標準器的修正值（微米）；y和z為溫度系數；t為溫度（）；L為t基準器的長度的修正值（微米）。經研究得在不同溫度下米尺基準器長度的修正值如下表：i12345t17.2500.5515.36310.45914.277L160.285.7047.6141.49124.2567891017.80622.10324.63328.98634.417154.87192.64214.57252.09299.84求未知參量x，y，z的最

2、可依賴值。5-2對未知量x，y，z，組合測量的結果如下： x=0 y=0 z=0x-y=0.92,-y+x=1.35-x+z=1.00試求x，y，z的最可依賴值及其標準誤差。5-3由等精度測定方程為：x+37y+1369z=36.3x+32y+1024z=41.4 x+27y+729z=47.5 x+2y+484z=54.7 x+17y+289z=63.2 x+12y+144z=72.9 x+7y+49z=83.7試用矩陣最小二乘法求x，y，z的最可依賴值及其精度。5-4交流電路的電抗x=L，在角頻率1=3時，測得x為x1=0.82=2時，測得x為x2=0.23=1時，測得x為x3=-0.3試

3、求：(i) L，C及其方差；(ii) =3時（=0.1）電抗值及其方差。5-5試求下列方程給出的x，y的最大或然值及其標準誤差。2x+y=5.1 x-y=1.14x-y=7.4x+4y=5.95-6測得一直線上四段長度AB、BC、CD、DE分別為24.1，35.8，30.3和33.8厘米，但已知AD準確長90厘米和BE準確長100厘米。試求AB，BC，CD，DE的最大或然值。5-7由方程組3x+y=2.9x-2y=0.92x-3y=1.9試求x，y的最大或然值及其標準誤差。5-8由下面的不等精度的測定方程組，求x1，x2的最可信賴值及其標準誤差。x1=0權： P1=8x2=0 P2=10x1+

4、2x2=0.25 P3=1x1-3x2=0.92 P4=55-9由下面的不等精度的測定方程組，試用矩陣最小二乘法求x，y的最大或然值及其標準誤差。x-3y=-5.6權： P1=14x+y=8.1 P2=22x-y=0.5 P3=35-10由下面的測定方程組，試求x，y的最可依賴值及其標準誤差。2x+y=5.1 權：P1=1x-y=1.1 P2=34x-y=7.2 P3=25-11試求滿足下列方程的x，y，z及其標準誤差（假設它們是等權的）。x+y+z=4.012x-y+z=1.04x+3y-2z=5.02 3x+y=4.975-12由座標點(1，0) (3，1) 和 (-1，2)到某點的距離分

5、別為3.1，2.2和3.2。試求該點座標位置的最大或然值及其標準誤差。5-13對某一角度值，分兩個測回進行測定，其權等于測定次數，測定值如下。試求該角度的最可信賴及其標準誤差。第一測回第二測回piaipiai734°56334º5540134°54234º5530134º5520134º550234°55134º5570134º5510134º55505-14某平面三角形三個角被測出為A=48º510，B=60º2524，C=70º427，令假設這種測量（i）各次權

6、相等；（ii）各次權分別為1、2、3；試求A、B、C的最大或然值。5-15數N系時間t的函數N=x1+ x2t+ x3t2測定后的N的值如下。測定是在異權情況下進行的，試求x1，x2，x3的最可信賴值。i123456789ti1.51.10.70.3-0.1-0.5-1.0-1.5-2.0Ni6.203.452.001.802.404.558.8515.7024.40Pi0.7070.5005-16硝酸鈉在100份水內的溶解度與溫度的關系，測定為溫度0°4°10°15°21°29°36°51°68°溶解度

7、66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1上述關系可用直線67.5+0.87t表示(式中t為溫度)。試用最小二乘法來檢證。5-17由下列測定的方程組，求X、Y最可信賴及其或然誤差。 X+Y=37.0 權：P1=5 2X+Y=61.9 P2=43X+Y=86.7 P3=4X+2Y=49.2 P4=4X+3Y=60.6 P5=32X+3Y=86.7 P6=23X+2Y=98.4 P7=35-18由下列測定方程組，求X、Y最可信賴及其標準誤差。 2X+4Y+8Z=0.16122.200X+4.840Y+10.648Z=0.19863.200X+10.240Y+32.

8、768Z=0.50982.600X+6.760Y+17.576Z=0.28963X+9Y+27Z=0.41815-19假設有三個某種量規，其值分別為Y1、Y2、Y3?，F在將它們直接地或間接地與數值已知為N的標準量規比較，比較的方案為下述三種（三種組合）：（i）每一個量規各與標準量規比較二次；（ii）第一個量規（Y1）與標準量規比較二次，第二個量規（Y2）與第一個量規比較二次，第三個量規（Y3）與第二量規比較二次；（iii）每一個量規各與標準量比較一次，然后它們相互按不同的組合比較一次；上述三種測量方案得到的條件方程式如下表所示：（1）（2）（3）Y1N=X1Y1N=X1Y1N=X1Y1N=X2

9、Y1N=X2Y2N=X2Y2N=X3Y2Y1=X3Y3N=X3Y2N=X4Y2Y1=X4Y2Y1=X4Y3N=X5Y3Y2=X5Y3Y1=X5Y3N=X6Y3Y2=X6Y3Y2=X6試研究采用那一種測量方案能夠獲得最好的結果。（提示：可以比較不同測量方案下未知數的權）。典型題解5-1 由測量方程 試求、的最小二乘法處理及其相應精度。解：方法一：列出誤差方程組：分別對求偏導，并令它們的結果為0，即， 由上式可解得結果： 方法二：直接列表計算給出正規方程常數項和系數 1319132.98.72.921-214-20.90.9-1.832-349-61.93.8-5.7-1414-5-13.4-4.

10、6可得正規方程將的結果代入分別求得：得，由題已知，得由不定乘數的方程組得得方法二：按矩陣形式計算，由誤差方程 上式可以表示為即； ； 可得式中 所以即解得，將最佳估計值代入誤差方程可得， 將計算得到的數據代入式中為求出估計量的標準差，首先求出不定常數 。由已知，不定常數的系數與正規方程的系數相同，因而是矩陣中各元素，即則可得估計量的標準差為5-2 已知誤差方程為 試給出的最小二乘法處理及其相應精度。解:根據矩陣形式，誤差方程可以表示為即； ；可得式中 得即解得 將最佳估計值代入誤差方程可得 得可得為求出估計量的標準差，首先求出不定乘數，不定乘數的系數與正規方程的系數相同，因而是矩陣中各元素，即

11、則于是估計量的標準差， 5-3 測力計示值與測量時的溫度的對應值獨立測得如下表所示。/15182124273043.6143.6343.6843.7143.7443.78設無誤差，值隨的變化呈線性關系，試給出線性方程中系數和的最小二乘估計及其相應精度。解：方法一：列出誤差方程式，令為待估計量，則誤差方程可寫成為為計算方便，將數據列表如下：11522543.61654.1521832443.63785.3432144143.68917.2842457643.711049.0452772943.741180.9863090043.781313.41353195262.155900.19 根據誤差方

12、程，列出正規方程： 將表中計算出的相應系數值代入上面的正規方程得解得即將代入誤差方程得：將代入上式，可得殘余誤差為：NNNNNN可得： 可得標準差為，N由上面所給的正規方程的系數，可列出求解不定乘數的方程組分別解得估計量的標準差為 方法二：直接利用矩陣求解，誤差方程可寫成即； ；可得式中所以將最佳估計值代入誤差方程得可計算為求出估計量的標準差,需要求出不定乘數的系數，而不定乘數的系數與正規方程的系數相同，因而是矩陣中各元素，即則可得估計量的標準差為 5-4 研究米尺基準器的線膨脹系數，得出在不同溫度時該基準器的長度修正值可用公式表示。式中為時米尺基準器的修正值（單位為）：和為溫度系數；為溫度。

13、在不同溫度時米尺基準器的修正值如下表所示：/0.5515.36310.45914.27717.80622.10324.63328.98634.4175.7047.6191.49124.25154.87192.64214.57252.09299.84試求的最小二乘法處理及其相應精度。解：利用矩陣形式誤差方程可以表示為即；可得式中 所以即解得將最佳估計值代入誤差方程可得 可計算再由則可得估計量的標準差為5-5 不等精度測量的方程組如下：， ；， ；， 試求、的最小二乘法處理及其相應精度。解：方法一：列出誤差方程 現用表格計算出正規方程常數項和系數， 11311935.65.616.82412322

14、88.164.816.2321312360.531.54514162.231.5根據誤差方程，列出正規方程解得 由殘余誤差方程得 于是可得標準差為 由已經計算出來的正規方程的系數，及不定乘數的方程組得可得估計量的標準差為方法二：直接利用矩陣計算； ； 由另得則將最佳估計值代入誤差方程，得可計算由已知，不定常數的系數與正規方程的系數相同，因而是矩陣中各元素，即則可得估計量的標準差為5-6 已知不等精度測量的單位權標準差，正規方程為 試給出的最小二乘法處理及其相應精度。解：由正規方程可解得最小二乘法處理結果為由正規方程的系數，可求解不定常數分別解得估計量的標準差為5-7 將下面的非線性誤差方程組化成線性的形式，并給出未知參數的二乘法處理及其相應精度。 解：由前面三個線性的誤差方程可解得的近似估計值利用矩陣形式求解：； ； ； 可得 式中所以，取得近似值，令可將誤差方程線性化，現分別對測量方程求偏導 則誤差方程化成線性方程組，； ； ；可得式中所以解得，則將的最佳估計值代入誤差方程計算可得，可得，再由，則，可得估計量的標準差為，5-8 今有兩個電容器，分別測其電容，然后又將其串聯和并聯測量，測得如下結果： 試求電容器電容量的最可信賴值及其精度。 解：前面三個方程為線性方程組，同時取，為待估計量的近似值， ，為估計量與所取近似值的偏差