1、-1 - 高中數學必修 1 知識點總結 第一章集合與函數概念 一、 集合有關概念 1、 集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合， 其中每一個對象叫元素。 2、 集合的中元素的三個特性： 1. 元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性 3、 集合的表示：如我校的籃球隊員 , 太平洋，大西洋，印度洋,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5 2 集合的表示方法：列舉法與描述法。 非負整數集（即自然數集）記作：N 正整數集 N*或 N+ 整數集 Z 有理數集 Q 實數集 R 關于“屬于”的概念 集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，女口： a

2、是集合 A 的元素，就說 a 屬于集合 A 記 作 a A，相反，a 不屬于集合 A 記作 a A 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確 定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 數學式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x?R| x-32或x| x-32 4、 集合的分類： （1） .有限集 含有有限個元素的集合 （2） .無限集 含有無限個元素的集合 （3） .空集 不含任何元素的集合 例：x|x2= 5 二、 集合間的基本關系 1.“包含”關系

3、一子集 注意：有兩種可能（1） A 是 B 的一部分，；（2） A 與 B 是同一集合。 反之：集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,記作 A B 或 B A 2“相等”關系（55,且 55,則 5=5） -2 - 實例：設 A=x|x2 -仁 0 B=-1,1 “元素相同” 結論：對于兩個集合 A 與 B，如果集合 A 的任何一個元素都是集合 B 的元素，同時， 集合 B 的任何一個元素都是集合 A 的元素，我們就說集合 A 等于集合 B,即：A=B 任何一個集合是它本身的子集。A A 真子集：如果 A B,且 B 二 A 那就說集合 A 是集合 B 的真子集，記作 A B

4、(或 B 二 A) 如果 A B, B C ,那么 A C 如果 A B 同時 B A 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，記為 規定：空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、 集合的運算 1 .交集的定義：一般地，由所有屬于 A 且屬于 B 的元素所組成的集合，叫做 A,B 的交 集. 記作 A n B(讀作” A 交 B”)，即 A n B=x|x A，且 x B. 2、 并集的定義：一般地，由所有屬于集合 A 或屬于集合 B 的元素所組成的集合，叫 做 A,B 的并集。記作：A U B(讀作” A 并 B”)，即 A U B=x|x A，或 x B. 3、 交

5、集與并集的性質： A n A = A, A n = , A n B = B n A，A U A = A, A U = A ,A U B = B U A. 4、 全集與補集 (1) 補集：設 S 是一個集合，A 是 S 的一個子集(即)，由 S 中所有不屬于 A 的元 素組成的集合，叫做 S 中子集 A 的補集(或余集) (2) 全集：如果集合 S 含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看 作一個全集。通常用 U 來表示。 四、 函數的有關概念 1.函數的概念：設 A、B 是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系 f，使對于集合 A 中的任意一個數 X,在集合 B 中都有唯一確定的

6、數 f(x)和它對應，那么就稱 f: A - B 為從 集合 A 到集合 B的一個函數.記作：y=f(x)，x A .其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數的定義域；與x 的值相對應的 y 值叫做函數值，函數值的集合f(x)| x A 叫做 函數的值域.注意：如果只給出解析式 y=f(x) ，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這 個式子- 3 - 有意義的實數的集合；函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式 定義域補充 能使函數式有意義的實數 x 的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主 要依據是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小

7、于零； (3)對數式的真 數必須大于零； (4)指數、對數式的底必須大于零且不等于 1. (5)如果函數是由一些基本函 數通過四則運算結合而成的 .那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 . ( 6)指數為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義 . (又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。 ) 構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域 注意：(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域由于值域是由定義域和對應關 系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或 為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定

8、義域和對應關系完全一致，而與表示自 變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：表達式相同；定義域一致 (兩點必 須同時具備 ) (見課本 21 頁相關例 2) 值域補充 (1) 、函數的值域取決于定義域和對應法則， 不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其 定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它 是求解復雜函數值域的基礎。 3. 函數圖象知識歸納 定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x A)中的 x 為橫坐標，函數值 y 為縱坐 標的點 P(x, y)的集合 C,叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象. 集合 C 上每一點的坐

9、標(x, y)均滿足函數關系 y=f(x)，反過來，以滿足 y=f(x)的每一組有 序實數對x、y 為坐標的點(x , y),均在 C 上.即記為 C= P(x,y) | y= f(x) , x A ,圖象 C 一般的是一條光滑的連續曲線 (或直線 ),也可能是由與任意平行與 Y 軸的直線最多只有一 個交點的若干條曲線或離散點組成。 (2) 畫法 A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出 x,y 的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在 坐標系內描出相應的點 P(x, y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來. - 4 - B、圖象變換法（請參考必修 4 三角函數） 常用變換方法有三種，即平移變

10、換、伸縮變換和對稱變換 （3）作用： 1、直觀的看出函數的性質； 2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。 發現解題中的錯誤。 4了解區間的概念 1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間； （ 2）無窮區間； （ 3）區間的數軸表示 5什么叫做映射 一般地，設 A、B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則 f，使對于集合 A 中的 任意一個元素 x，在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應， 那么就稱對應 f: A- B 為從集合 A 到集合 B 的一個映射。記作“ f: A- B” 給定一個集合 A 到 B 的映射，如果 a A,b B.且元素 a 和元素 b

11、 對應，那么，我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，集合 A、B 及對應法則 f 是確定 的；對應法則有“方向性”，即強調從集合 A 到集合 B 的對應，它與從 B 到 A 的對應關 系一般是不同的；對于映射 f: A-B 來說，則應滿足：（I）集合 A 中的每一個元素， 在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（U）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中對應的象 可以是同一個；（川）不要求集合 B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。 常用的函數表示法及各自的優點: 1 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、

12、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖 形是否是函數圖象的依據； 2 解析法:必須注明函數的定義域； 3 圖象法:描點法作圖要 注意:確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征； 4 列表法:選取的自變 量要有代表性，應能反映定義域的特征 解析法:便于算出函數值。列表法:便于查出函數值。圖象法:便于量出函數值 . 補充一:分段函數 （參見課本 P24-25） 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自 變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種 不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況 （

13、1）分 段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數； （ 2）分段函數的定義域是各段定義域的 并集，值域是各段值域的并集 補充二：復合函數 - 5 - 如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),則 y=fg(x)=F(x) , (x A)稱為 f、g 的復合函數。 例如 : y=2sinx y=2cos(2x+1) 7函數單調性 1) 增函數 設函數 y=f(x)的定義域為 I，如果對于定義域 I 內的某個區間 D 內的任意兩個自變量 a, b, 當 ab時，都有 f(a)f(b)，那么就說 f(x)在區間 D 上是增函數。區間 D 稱為 y=f(x)的單調增 區間(睇清楚課本

14、單調區間的概念) 如果對于區間 D 上的任意兩個自變量的值 a, b,當 af(b)，那么就說 f(x) 在這個區間上是減函數區間 D 稱為 y=f(x)的單調減區間. 注意：1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質； 2 必須是對于區間 D 內的任意兩個自變量 a, b;當 ab 時，總有 f(a)f(b)。 2) 圖象的特點 如果函數 y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數 y=f(x)在這一區間上具有(嚴格 的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的， 減 函數的圖象從左到右是下降 的. (3) .函數單調區間與單調性的判定方法 (A) 定義

15、法：任取 a, b D，且 a1, 且n N *. 當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數.此時，a的n 次方根用符號 Va 表示.式子勺a叫做根式(radical)，這里n叫做根指數(radical exponen), a叫做被開方數(radicand). 當n是偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數 a的正的n次 方根用符號n.a表示， 負的n次方根用符號一n a表示.正的n次方根與負的n次方根可 以合并成土 na ( a0).由此可得：負數沒有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，記作 :0 =0。 2. 分數指數幕 正數的分數指數幕的意義，

16、規定: 1 1 * (a 0,m, n N , n 1) n m na 0 的正分數指數幕等于 0，0 的負分數指數幕沒有意義 指出：規定了分數指數幕的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那 么整數指數幕的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數幕. 3. 實數指數幕的運算性質 r r r -is / r s rs (1) a a 二a (a 0,r,s R) ； (2) (a ) =a (a 0,r,s R)； r _ r s (3) (ab) = a a (a 0,r,s R). (二)指數函數及其性質注意：當 n 是奇數時，：a = a， 當n是偶數時，3a =| a |= =

17、a a 0) 、a (ac0) .am (a - 0, m, n N *, n -1)， m a7 -8 - 1、指數函數的概念：一般地，函數 y=ax(a 0,且 a-1)叫做指數函數(exp onen tial function),其中 x 是自變量，函數的定義域為 R. 注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和 1. 2、指數函數的圖象和性質 a1 0a0,ax 1 x 0, ax 在第二象限內 的圖象縱坐標 都小于 1 在第二象限內 的圖象縱坐標 都大于 1 x v 0, ax v 1 x 1 圖象上升趨勢 是越來越陡 圖象上升趨勢 是越來越緩 函數值開始增 長較慢，到了

18、某一值后增長 速度極快； 函數值開始減 小極快，到了 某一值后減小 速度較慢； -9 - 注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出:-10 - (1) 在a, b上，f(x)=ax(a . 0 且 a)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a); (2) 若 x 0，則f (x) = 1 ; f (x)取遍所有正數當且僅當x三R ; (3) 對于指數函數 f(x)=ax(a .0 且 a)，總有 f(i)=a ; (4) 當 a 1 時，若 Xi : X2，則 f (Xi) ： f(X2)； 二、對數函數 (一)對數 1. 對數的概念：一般地，如果ax=N (a0,aHl)，那么數x叫做以

19、a為底 N 的對數, 記作：x=：iogaN ( a 底數，N 真數，log a N 對數式) 說明：0注意底數的限制 a0,且 a=1; ax = N log a N = x ； dogaN：； 0注意對數的書寫格式. 兩個重要對數：O1 常用對數：以 10 為底的對數lg N ; 0自然對數：以無理數 e =2.71828為底的對數的對數 in N . 對數式與指數式的互化 (二)對數的運算性質 如果 a 0，且 a=1， M 0， N 0，那么：(1) loga(M N) = log a M + log a N ; (2) log a M = log a M - log a N ; (3

20、) log a M n log a M (n R). N 注意：換底公式 logab = logc b ( a 0，且 a = 1 ; c 0，且 c=1 ; b 0). logc alog a N 二 x 二 對數式 二 對數底數 對數 J x 真數 J N ax =N -11 - 利用換底公式推導下面的結論（1） log am b loga b ； （2） log a b . m log ba （二）對數函數 1、對數函數的概念：函數y=logax（a .0,且a）叫做對數函數，其中x是自變量, 函數的定義域是（0，+x）. 注意：O 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。

21、 如：y=2log2X，log5 -都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數. 5 對數函數對底數的限制：（a 0，且a = 1）. 2、對數函數的性質: 0a1 圖象特征 a 1 0 a 1 函數圖象都在 y 軸右側 圖象關于原點和y軸不對稱 向y軸正負方向無限延伸 a A1 0 v a 0 v x c 1, log a x A 0 第二象限的圖象 縱坐標都小于 0 第二象限的圖象縱 坐標都小于 0 0cx V1,logaX 0,方程ax2 bx c=0有兩不等實根，二次函數的圖象與 x軸有兩個交點， 二次函數有兩個零點. 2) =0，方程ax2 bx弋=0有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖

22、象與x軸有 一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點. 3) 4 | 二：； A : B :- 公理 1 作用：判斷直線是否在平面內. . (2) 公理 2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面 符號表示為：A、B、C 三點不共線= 有且只有一個平面a , 使 A a、B a、Ca。 公理 2 作用：確定一個平面的依據。 (3) 公理 3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直 線。 符號表示為：PaGB =aGB =L，且 P L 公理 3 作用：判定兩個平面是否相交的依據 . . 2.1.22.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系 V 球=(-R3 3

23、 S球面 2 =4 二 R -17 - 1 空間的兩條直線有如下三種關系: 共面直線( 相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點; 平行直線：同一平面內，沒有公共點; 異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點。 2 公理 4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號表示為：設 a、b、c 是二條直線 a/ b 卜=a / c c/ b 強調：公理 4 實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。 公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據。 3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補 4 注意點： a 與 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置來

24、確定，與 0 的選擇無關，為了簡便，點 0 一般取在兩直線中的一條上； - 2 兩條異面直線所成的角(0，); 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 a 丄 b; 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。 2.1.3 2.1.3 2.1.42.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系 1、直線與平面有三種位置關系： (1) 直線在平面內 有無數個公共點 (2) 直線與平面相交一一有且只有一個公共點 (3) 直線在平面平行沒有公共點 指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外

25、，可用 a a來表示 -18 - -19 - 2.2.2.2.直線、平面平行的判定及其性質 2.2.12.2.1 直線與平面平行的判定 1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此 平面平行。 簡記為：線線平行，則線面平行。 符號表示： a - a b B 二= a / a a / b 2.2.22.2.2 平面與平面平行的判定 1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平 行。 符號表示： a匚 b 匸B a A b = p a / :- b / 2、判斷兩平面平行的方法有三種： (1) 用定義； (2) 判定定理；

26、 (3) 垂直于同一條直線的兩個平面平行。 2.2.3 2.2.3 2.2.42.2.4 直線與平面、平面與平面平行的性質 1、直線與平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平-20 - 面的交線與該直線平行 簡記為： 線面平行則線線平行。 符號表示： a /a a B - a/ b aAp = b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問題 2、兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線 平行。 符號表示： / P “ 卜 GGY = a a / b :GY =b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行 2.3 直線、平面垂

27、直的判定及其性質 2.3.12.3.1 直線與平面垂直的判定 1、定義：如果直線 L 與平面a內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 L 與平面a互相垂直, 記作 L 丄a,直線 L 叫做平面 時，它們唯一公共點 P 叫做垂足。 2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與 此平面垂直。 、亠 1 注意點： a） 定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視； b） 定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數。如圖，直線與平面垂直 -21 - 2.3.22.3.2 平面與平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的

28、圖形 面角的記法：二面角 a -l- B或a -AB- B 3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。 2.3.3 2.3.3 2.3.42.3.4 直線與平面、平面與平面垂直的性質 1、直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。 2、兩個平面垂直的性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平 面垂直。 第三章直線與方程 (1) 直線的傾斜角 定義：x 軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與 x 軸平行或 重合時，我們規定它的傾斜角為 0 度。因此，傾斜角的取值范圍是 0 0 W aV 18018

29、0 (2) 直線的斜率 定義：傾斜角不是 9090的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。 直線的斜率常用 k 表示。即k二tan：。斜率反映直線與軸的傾斜程度。 當直線 I 與 x 軸平行或重合時,a =0 , k = tan0 =0; 當直線 I 與 x 軸垂直時,a = 90 , k 不存在. 當0 ,90 時，k0; 當二三i90,180,時，k 0; 當=90時，k 不存在。 過兩點的直線的斜率公式： k = y2 _ yi (x, =x2) ( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 工 x2)2、 x2 _ x-i 梭 -i22 - 注意下面四點：（1）當洛=X2時，公

30、式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為 90 （2） k 與 Pi、P2的順序無關； （3） 以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得； （4） 求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。 （3 3）直線方程 點斜式:y-yi =k（x-Xi）直線斜率 k，且過點（冷） j 注意：當直線的斜率為 0時，k=0，直線的方程是 y=yi。 當直線的斜率為 90時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示但因 I 上 每一點的橫坐標都等于 Xi，所以它的方程是 X=Xi。 斜截式：y=kx+b，直線斜率為 k，直線在 y 軸上的截距為 b 兩點式： = 匕 （XiHx2,yiH

31、y2 ）直線兩點（Xi,% ），（X2,y2 y2% X2Xi 截矩式：X + y=i其中直線|與X軸交于點（a,0）,與y軸交于點（0,b）,即|與X軸、y軸的截距 a b 分別為a,b。 Ax + By+C=0 （A，B 不全為 0 0） 注意：各式的適用范圍 特殊的方程如: （4 4）兩直線平行與垂直 當 h : y = kix 十 bi，I2 ： y = k?x + b2 時, 注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否 平行于 x 軸的直線：y = b （b 為常數） 平行于 y 軸的直線：x = a （a 為常數） -23 - （5 5）兩條直線的交點-24 - l

32、1 : A1x B1y G =0 l2 : A?x B2y C2 = 0 相交 交點坐標即方程組 嚴x + Biy+Ci=0的一組解 Ax +B2y +C2 =0 (6(6)兩點間距離公式：設A(Xi,y)(X2,y是平面直角坐標系中的兩個點, 則| AB 匸J(X2 兒)2 +卜2 )2 (7) 點到直線距離公一點P(x, y0 )到直線 h : Ax + By + C = 0的距離 Ax +By +C| d - ._! JA2 +B2 (8(8)兩平行直線距離公式 已知兩條平行線直線h和 J 的一般式方程為li: Ax By C 0， |G -C2 I2 : Ax +By +C2 =0，貝U li 與 l2 的距離為 d = I 十 (A2 + B2 第四章圓與方程 1 1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半 徑。 2 2、圓的方程 (1) 標準方程(x-a 丫 +(y -b2 ，圓心(a,b )，半徑為; 點M(x0,y。)與圓(x-a)2 (y-b)2 =r2的位