1、i、建立空間直角坐標系的幾種方法 構建原則: 遵循對稱性，盡可能多的讓點落在坐標軸上。作法: 充分利用圖形中的垂直關系或構造垂直關系來建立空間直角坐標系.類型舉例如下:(一)用共頂點的互相垂直的三條棱構建直角坐標系例 1 1 已知直四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AAi= 2 2 ,底面ABCD是直角梯形，/A為直角，AB II CD,AB= 4 4 ,AD= 2 2 ,DC= i i，求異面直線BCi與DC所成角的余弦值.解析：如圖 i i，以D為坐標原點，分別以DA、DC、DDi所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則Ci(0,i i,2 2 )、B(2 2,4 4, o), BC

2、= ( -2, -3,2)，CD = (0, -i,0).設云與CD所成的角為.，BCiCD(二)利用線面垂直關系構建直角坐標系 例 2 2 如圖 2 2，在三棱柱ABCAiBiCi中，AB丄側面BBiCiC,E為棱CCi上異于C、Ci的一點，EA丄EBi已知AB = .2,BBi= 2 2 ,BC= i i，/BCCi= 求二3面角AEBiAi的平面角的正切值.解析：如圖 2 2,以B為原點，分別以BBi、BA所在直線為y軸、z軸，過B點垂直于平面ABi的直線為x軸建立空間直角坐標系.由于BC二i,BBi-2，AB-2，/BCCi-3，空間直角坐標系與空間向量3；i72,2_a,0八2丿即a

3、=或a=3(舍去)故丄,0.2 2 12 2TJ T由已知有EA _ EB1,BA,- EB1，故二面角AEB1A1的平面角因MBA = (0,0八2),EA二(三)利用面面垂直關系構建直角坐標系例 3 3 如圖 3 3，在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側面三角形，平面VAD丄底面ABCD.(1)證明AB丄平面VAD；(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.AB=(0,2 2, 0),VA=(1 1, 0,3).1VA =(0,2,0)附,0,-. 3) =0，得AB丄VA.又AB丄AD,從而AB與平面VAD內兩條相交直線VA、AD都垂直,B(0, 0, 0) A(0, 0

4、,. 2)、Bi(O,2 2, 0)、C障3 /設a,0I22丿I2丿在三棱柱ABCAiBiCi中，有且由EA丄EB1，得EAEB =0,13a：22解析：(1 1 )取AD的中點O為原點，建立如圖 3 3 所示的空間直角坐標系.設AD= 2 2，則A(1 1，0,0)、D(1 1,0,0)、B(1 1,2 2,0)、V(0, 0,3),=3a(a _2)4=a2-2a3-0, Ia -4=0 ,二的大小為向量BA1與EA的夾角.故COST-E嬴BX弋，即屛冷由AB3 AB丄平面VAD；(2(2)設E為DV的中點，貝U E肖，珂2,2 mEB丄DV.又EA丄DV，因此/AEB是所求二面角的平面

5、角.誼詣占i,o,V3)=o,cos：EA EB21故所求二面角的余弦值為7(四) 利用正棱錐的中心與高所在直線構建直角坐標系例 4 4 已知正四棱錐VABCD中，E為VC中點，正四棱錐底面邊長為 2 2a,高為h.(1) 求/DEB的余弦值；(2) 若BE丄VC，求/DEB的余弦值.解析：(1 1 )如圖 4 4，以V在平面AC的射影O為坐標原點建立空間直角坐標系，其中 O Ox IIBC,(o,0 0,h)DE二a 3 h.2 2a2cos(BEDE)=時!_ =BE DE-6a2h210a2h2即cos/DEB_ -6a2h210a2h22，2弓4(2)因為E是VC的中點，又BE丄VC,

6、5所以BEVC= 0，即i3a, - ,h丨(_a,a,-h) = 0,v 22 2r32a2h2.- a0， h = 2a.2 2 2引入空間向量坐標運算，使解立體幾何問題避免了傳統方法進行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標系進行向量運算，而如何建立恰當的坐標系，成為用向量解題的關鍵步驟之一下面以高考考題為例，剖析建立空 間直角坐標系的三條途徑.(五)利用圖形中的對稱關系建立坐標系圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關系(如正三棱柱、正四棱柱等)，利用自身對稱性可建 立空間直角坐標系.例 5 5 已知兩個正四棱錐PABCD與QABCD的高都為 2 2，AB= 4 4 .(1 1

7、 )證明：PQ丄平面ABCD；(2 2 )求異面直線AQ與PB所成的角；(3 3 )求點P到面QAD的距離.簡解：(1 1 )略；(2 2 )由題設知，ABCD是正方形，且AC丄BD由(1 1 )，PQ丄平面ABCD，故可分別以直線CA, DB，QP為x，y，z軸建立空間直角坐標系(如圖 1 1)，易得所求異面直線所成的角是arccos1.3(3)由(2)知，點D(0, 2J20,AD =(2貶2屁0) PQ=(0,0, 4)設n=(x,y-z)是平面QAD的一個PLh d =-n這時cos：.2 2-6ah2 210a h即cosZDEB -一1.3忌=(-2衛,0, - 2),PB = (

8、0,2,2, - 2)，cos：AQ, PBAQ PB法向量，則晝0得12xnUAD=0,x y=0.Z取x得n=(1,6點評：利用圖形所具備的對稱性，建立空間直角坐標系后，相關點與向量的坐標應容易得岀第（ 可用“等體積法”求距離.3 3）問也7向量法解立體幾何（一）知識點向量的數量積和坐標運算a is- fa,b是兩個非零向量，它們的夾角為二，則數| a | | b | cos叫做a與b的數量積（或內積），記作a b， 即a b=|a| |b| co.其幾何意義是a的長度與b在a的方向上的投影的乘積. .其坐標運算是：I!-若a =（xi, yi,zj,b =（X2, y2, Z2），則1a

9、 b=乂必2y1y2ZjZ2；2iai= Xi2y乙2,ibi= X22y Z；3a b = x1x2y1y2X1X2yiy2Z1Z2222222Xi亠yi亠ziX2亠y2亠Z2（二）例題講解題型：求角度相關i.i.異面直線m,n所成的角 分別在直線m,n上取定向量a,b,則異面直線m,n所成的角二等于向量a,b所成的角或其補角（如圖 i i 所示），口| a b |貝U cos.|a| |b|2.2.直線L與平面所成的角在L上取定AB，求平面的法向量n（如圖 2 2 所示），再求COST二則為所求的角. .向，如圖 3 3 所示），則cos：a,b -82方法一：構造二面角-丨-：的兩個半平

10、面、：的法向量ni、n29證明：設CD為公垂線段，取CA二a, DB二bCD二CA AB BD.CD n =(CA AB BD) n.|CD n|=| AB n| AB n |n|設直線m,n所成的角為 二，顯然cos|a b.|a| |b|2.2.平面外一點p到平面的距離若二面角_丨-1是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量n1、n2的夾角的補角，即COST=njn2- r-hrI ni| | n2| 若二面角-丨-1是“銳角型”的如圖 3 3 乙所示，那么其大小等于兩法向量嚴n 2夾角，即cos-|ni|山2|方法二：在二面角的棱I上確定兩個點A、B，過A、B分別在平面:-岀與

11、丨垂直的向量n1、n2（如圖 4 4 所示），則二面角，-1 -的大小等于向量一小n-n2的夾角，即cos-In-| -| n2|題型：求距離相關1.1.異面直線m、n的距離分別在直線m、n上取定向量a, b,求與向量m、n上各取一個定點A、B，則異面直線射影長，即d = 3|n|10求平面的法向量n，在面內任取一定點A，點p到平面的距離d等于AP在n上的射影長，即| AP n |n|11三、法向量 例題解析題型：求空間角1 1、運用法向量求直線和平面所成角I設平面a的法向量為n= = ( X,X, y,y, 1)1)，則直線 ABAB 和平面a所成的角e的正弦值為31sinsine= = c

12、os(cos( - -0) )22 2、運用法向量求二面角設二面角的兩個面的法向量為，則二穂或*二暮是所求角。這時要借助圖形來判斷所求角為T T銳角還是鈍角，來決定 n1, rt是所求，還是n- -ri|, n2是所求角。題型：求空間距離1 1、求兩條異面直線間的距離略證：如圖，EFEF 為 a a、b b 的公垂線段,a a 為過 F F 與 a a 平行的直線,在 a a、b b 上任取一點 A A、B B ,過 A A 作 AAAA 仏EFEF，交 a a于 A A:= =|cos|cos| = =12則AA?/ n，T 呻所以/BAA= （或其補角）T 4異面直線 a a、b b 的距

13、離 d d =AB=AB coscos / BAABAA= =1 AB *n|* *|n|#4T T *其中，n n 的坐標可利用 a a、b b 上的任一向量a,b（或圖中的AE,BF），及n的定義得解方程組可得n。2 2、求點到面的距離求 A A 點到平面a的距離，設平面a的法向量法為n =（X, y,1），在a內任取一點 B B，則 A A 點到平面a的距離：T 4d d =L=LAn|,|n|n n 的坐標由 n n 與平面a內的兩個不共線向量的垂直關系，得到方程組（類似于前面所述，若方程組無解，則4法向量與XOY平面平行，此時可改設n =（1,y,0），下同）。3 3、求直線到與直線平行的平面的距離4求直線 a a 到平面a的距離，設平面a的法向量法為n = （x, y,1），在直線 a a 上任取一點 A A，在平面a內任取一點 B B，則直線