1、.二次函數學問點總結及相關典型題目第一部分 基礎學問.頁腳1. 定義：一般地，假如 y = ax 2+ bx + c(a, b, c 是常數， a ¹ 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數.2. 二次函數 y = ax 2 的性質（1） 拋物線 y = ax 2 的頂點是坐標原點，對稱軸是 y 軸.（2） 函數 y = ax 2 的圖像與a 的符號關系.當a > 0 時Û 拋物線開口向上Û 頂點為其最低點；當a < 0時Û 拋物線開口向下Û 頂點為其最高點.（3） 頂點是坐標原點，對稱軸是 y 軸的拋物線的解析式形式為 y = a

2、x 2（a ¹ 0）.3. 二次函數 y = ax 2 + bx + c 的圖像是對稱軸平行于（包括重合） y 軸的拋物線.4. 二次函數 y = ax 2+ bx + c 用配方法可化成：y = a(x - h)2+ k 的形式，其中h = -b ，k = 4ac - b 2 .2a4a5. 二次函數由特別到一般，可分為以下幾種形式： y = ax 2 ； y = ax 2+ k ； y = a(x - h)2 ；y = a(x - h)2+ k ； y = ax 2 + bx + c .6. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. a 的符號打算拋物線的開口方向：當a >

3、 0 時，開口向上；當a < 0時，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、外形相同.平行于 y 軸（或重合）的直線記作 x = h .特別地， y 軸記作直線 x = 0.7. 頂點打算拋物線的位置.幾個不同的二次函數，假如二次項系數 a 相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法æb ö24ac - b2b4ac - b 2（1） 公式法： y = ax 2+ bx + c = aç x +è÷+2a ø，頂點是（-，），對稱軸是直4a2a4a線 x = - b .2a

4、（2） 配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y = a(x - h)2對稱軸是直線 x = h .+ k 的形式，得到頂點為( h , k )，（3） 運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.9. 拋物線 y = ax 2+ bx + c 中， a, b, c 的作用（1） a 打算開口方向及開口大小，這與 y = ax 2 中的a 完全一樣.（2） b 和a 共同打算拋物線對稱軸的位置.由于拋物線 y = ax 2 + bx +

5、 c 的對稱軸是直線x = - b，故： b = 0 時，對稱軸為 y 軸； b> 0 （即a 、b 同號）時，對稱軸在 y 軸左側；2aa b < 0 （即a 、b 異號）時，對稱軸在 y 軸右側.a（3） c 的大小打算拋物線 y = ax 2 + bx + c 與 y 軸交點的位置.當 x = 0時， y = c ，拋物線 y = ax 2+ bx + c 與 y 軸有且只有一個交點（0， c ）： c = 0 ，拋物線經過原點; c > 0 ,與 y 軸交于正半軸； c < 0 ,與 y 軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在

6、y 軸右側，則10. 幾種特別的二次函數的圖像特征如下：b < 0 .a函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標y = ax 2x = 0（ y 軸）（0,0）y = ax 2 + kx = 0（ y 軸）(0,k )y = a(x - h)2y = a(x - h)2 + ky = ax 2 + bx + c當 a > 0 時開口向上當 a < 0時開口向下x = h( h ,0)x = h( h , k )x = -2ab(- b4ac - b 2，2a4a)11. 用待定系數法求二次函數的解析式（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知圖像上三點或三對x 、

7、y 的值，通常選擇一般式.（2） 頂點式： y = a(x - h)2+ k .已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.（3） 交點式：已知圖像與x 軸的交點坐標 x 、 x12，通常選用交點式： y = a(x - x1)(x - x ).212. 直線與拋物線的交點（1） y 軸與拋物線 y = ax 2+ bx + c 得交點為(0, c ).（2） 與 y 軸平行的直線 x = h 與拋物線 y = ax 2+ bx + c 有且只有一個交點( h , ah 2+ bh + c ).（3） 拋物線與 x 軸的交點二次函數 y = ax 2+ bx + c 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫

8、坐標 x 、 x，是對應一元二次方程12ax 2 + bx + c = 0 的兩個實數根.拋物線與 x 軸的交點狀況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點Û d > 0 Û 拋物線與 x 軸相交；有一個交點（頂點在x 軸上） Û d = 0 Û 拋物線與 x 軸相切；沒有交點Û d < 0 Û 拋物線與 x 軸相離.（4） 平行于 x 軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有 0 個交點、1 個交點、2 個交點.當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k ，則橫坐標是ax 2+ bx + c = k

9、 的兩個實數根.（5） 一次函數 y = kx + n(k ¹ 0)的圖像l 與二次函數 y = ax 2y = kx + n+ bx + c(a ¹ 0)的圖像g 的交點，由方程組y = ax2 + bx + c的解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時Û l 與g 有兩個交點; 方程組只有一組解時Û l 與g 只有一個交點；方程組無解時Û l 與g 沒有交點.（6） 拋物線與 x 軸兩交點之間的距離：若拋物線 y = ax 2+ bx + c 與 x 軸兩交點為 a(x ，0)，b(x1，0)，2由于 x 、 x 是方程ax 212+ bx

10、+ c = 0 的兩個根，故b2 - 4acdx + x= - b , x × x= cab = x1- x =212a12a(x - x )212(x - x )2 - 4x x121 2æç-÷-b ö2èa ø4ca=其次aa部分 典型習題.拋物線yx22x2 的頂點坐標是（ d ）a.（2，2）b.（1，2）c.（1，3）d.（1，3）.已知二次函數 y = ax 2 + bx + c 的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ c ）.ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0ab0，c0aefbdc第,題圖第 4 題圖.

11、二次函數 yax2bxc 的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ） aa0，b0，c0ba0，b0，c0ca0，b0，c0da0，b0，c0.如圖，已知dabc 中，bc=8，bc 上的高h = 4 ，d 為 bc 上一點， ef / / bc ，交 ab 于點 e，交 ac 于點 f（ef 不過a、b），設e 到 bc 的距離為 x ，則ddef 的面積 y 關于 x 的函數的圖象大致為（ ）4o244o244o24abcdy4o24xef4 - x=Þ ef = 8 - 2x, y = -x2 + 4x84.拋物線 y = x2 - 2x - 3 與 x 軸分別交于a、b 兩點，

12、則ab 的長為4.頁腳6. 已知二次函數 ykx2(2k1)x1 與 x 軸交點的橫坐標為 x 、 x12（ x x12），則對于下列結論：當x2 時，y1；當 xx2時，y0；方程kx2(2k1) x -10 有兩個不相等的實數根 x 、 x ；1214k 2 x - 1， x 1 ； x x ，其中全部正確的結論是 （只需填寫序號）1221k7. 已知直線 y = -2x + b(b ¹ 0)與 x 軸交于點 a ， 與 y 軸交于點 b ； 一拋物線的解析式為y = x 2 - (b + 10)x + c .（1） 若該拋物線過點b，且它的頂點p 在直線 y = -2x + b

13、 上，試確定這條拋物線的解析式；（2） 過點b 作直線bcab 交 x 軸交于點c，若拋物線的對稱軸恰好過c 點，試確定直線 y = -2x + b 的解析式.解：（1） y = x 2- 10 或 y = x 2- 4x - 6.將（0，b)代 入 ， 得 c = b . 頂 點 坐 標 為 (b +10 , - b2 +16b +100) ， 由 題 意 得24-2´ b +10 + b = - b2 +16b +100 ，解得b= -10, b= -6 .2412（2） y = -2x - 28. 有一個運算裝置，當輸入值為 x 時，其輸出值為 y ，且 y 是 x 的二次函數

14、，已知輸入值為- 2 ,0,1時, 相應的輸出值分別為 5, - 3 , - 4 （1） 求此二次函數的解析式；（2） 在所給的坐標系中畫出這個二次函數的圖象,并依據圖象寫出當輸出值 y 為正數時輸入值 x 的取值圍.解：（1）設所求二次函數的解析式為 y = ax 2 + bx + c ,yoxïïïìa(-2)2 + b(-2) + c = 5ìc = -3ìa = 1îî則ía × 02 + b × 0 + c = -3,即í2a - b = 4,解得íb =

15、 -2îïa + b + c = -4ïa + b = -1ïc = -3故所求的解析式為: y = x 2 - 2x - 3 .（2)函數圖象如圖所示.由圖象可得，當輸出值 y 為正數時，輸入值 x 的取值圍是 x < -1 或 x > 3 9.某生物愛好小組在四天的試驗爭辯中發覺：駱駝 的 體溫會隨外部環境溫度的變化而變化，而且在這四 天 中每晝夜的體溫變化狀況相同他們將一頭駱駝前 兩 晝夜的體溫變化狀況繪制成下圖請依據圖象回答：第一天中，在什么時間圍這頭駱駝的體溫是第 9 題上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時間?第三天 12 時

16、這頭駱駝的體溫是多少?愛好小組又在爭辯中發覺，圖中 10 時到 22 時的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式第三天 12 時這頭駱駝的體溫是 39 y = - 1 x 2 + 2x + 24(10 £ x £ 22)16.頁腳解：第一天中，從 4 時到 16 時這頭駱駝的體溫是上升的它的體溫從最低上升到最高需要12 小時.410. 已知拋物線 y = ax2 + (+ 3a)x + 4 與 x 軸交于a、3b 兩點，與y 軸交于點c是否存在實數a，使得abc 為直角三角形若存在，懇求出a 的值；若不存在，請說明理由 解：依題意，得點c 的坐標為（0，4）設點a、b 的坐標分別

17、為（ x14，0），（ x2，0），4由ax2 + (+ 3a)x + 4 = 0 ，解得 x = -3， x= -3123a 點 a、b 的坐標分別為（-3，0），（ -ao2 + oc244，0）3aab =| -3a+ 3 |， ac = 5 ，bo2 + oc2| - 4 |2 +423abc =4164168ab2=| -+ 3 |2 =3a9a216- 2´ 3´+ 9 =3a9a2-+ 9 ，aac 2= 25 ， bc 2=+16 9a2當 ab2= ac 2 + bc 2 時，acb90°由 ab2= ac 2 + bc 2 ，得 16 - 8

18、+ 9 = 25 + ( 16+16) 9a2a9a21解得 a = -4116625400 當a = -時，點b 的坐標為（，0）， ab2=， ac 2= 25 ， bc2 =于是 ab24399= ac 2 + bc 2 1 當a = -時，abc 為直角三角形4當 ac 2 = ab2 + bc 2 時，abc90°16816由 ac 2 = ab2 + bc 2 ，得25 = (-+ 9) + (+ 16)解得 a = 4 99a 2a9a 2444當a =時， -93a=4 = -3 ，點b（-3，0）與點a 重合，不合題意3´9當 bc 2= ac 2 + a

19、b2 時，bac90°.頁腳由 bc 2= ac 2 + ab2 ，得.16+ 16 = 25 + ( 16- 8 + 9)解得 a =4不合題意99a 29a 2a綜合、，當a = - 1 時，abc 為直角三角形411. 已知拋物線yx2mxm2.5（1） 若拋物線與x 軸的兩個交點a、b 分別在原點的兩側，并且ab，試求m 的值；（2） 設 c 為拋物線與 y 軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點m、n，并且 mnc 的面積等于27，試求m 的值.解: (1)（x ，0）,b(x ，0) . 則 x ，x 是方程 x2mxm20 的兩根.1212x x m , x

20、83;x =m2 0 即 m2 ;1212又 abx1 x =,（x +x ）2 - 4x x52121 2m24m3=0 .ycmxon解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值為 1 .（2）m(a，b)，則n(a，b) .m、n 是拋物線上的兩點,ìï-a2 + ma - m + 2 = b,ï íî-a2 - ma - m + 2 = -b.得：2a22m40 . a2m2 .當 m2 時，才存在滿足條件中的兩點m、n.2 - m a = ±.2 - m這時 m、n 到 y 軸的距離均為,又點 c 坐標為（0，2m）,而

21、s= 27 ,2 - mm n c12× ×（2m）×2解得m=7 .=27 .（1）求拋物線與x 軸的另一個交點b 的坐標；（2）d 是拋物線與 y 軸的交點，c 是拋物線上的一點，且以 ab 為 底 的 梯 形abcd 的面積為 9，求此拋物線的解析式；.頁腳12. 已知：拋物線 yax 24axt 與 x 軸的一個交點為a（1，0）.（3）e 是其次象限到x 軸、y 軸的距離的比為 52 的點，假如點e 在（2）中的拋物線上，且它與點a 在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點 p，使ape 的周長最小?若存在，求出點 p 的坐標；若不存在，

22、請說明理由解法一：（1） 依題意，拋物線的對稱軸為x2 拋物線與x 軸的一個交點為a（1，0）， 由拋物線的對稱性，可得拋物線與x 軸的另一個交點b 的坐標為（3，0）（2） 拋物線 yax24axt 與 x 軸的一個交點為a（1， 0）， a(1)24a(1)t0 t3ayax 24ax3a d（0，3a） 梯形 abcd 中，abcd，且點c 在拋物線 yax 24ax3a上，c（4，3a） ab2，cd41梯形abcd 的面積為 9，( ab + cd)× od9 21 (24) 3a9 2a±1所求拋物線的解析式為 yx24x3 或 y - x 2 - 4ax -

23、3（3）設點e 坐標為（ x ， y ）.依題意， x 0 ， y 0 ，0000且yx0 52y x50200設點e 在拋物線 yx24x3 上， y x 24x 3 .頁腳000ì5ìx¢- 1 ，ï y x ,ìx - 6，ï 02解方程組í 020得í 015； í5ïî y x24x 3î y ï y¢ 0000ïî 04 點 e 與點a 在對稱軸x2 的同側， 點 e 坐標為（ - 1 ， 5 ）24設在拋物線的對稱軸x2

24、上存在一點p，使ape 的周長最小 ae 長為定值， 要使ape 的周長最小，只須pape 最小 點 a 關于對稱軸x2 的對稱點是b（3，0）， 由幾何學問可知，p 是直線be 與對稱軸x2 的交點設過點e、b 的直線的解析式為 ymxn ，ì15ìm 1 ,ï-mn ,ï2 í24解得í3ïïî3mn0.ïn .î2 直線be 的解析式為 y11 x 3 把 x2 代入上式，得 y 1 222 點 p 坐標為（2， ）2設點e 在拋物線 y- x2- 4x - 3 上，y - x

25、2- 4x- 3 000ì5ï y x ,3解方程組í 020ï消去 y0，得x 20+x 30 20î y - x2 - 4x- 3.000 0 . 此方程無實數根綜上，在拋物線的對稱軸上存在點p（2， 解法二：1），使ape 的周長最小2（1） 拋物線 yax24axt 與 x 軸的一個交點為a（1，0）， a(1)24a(1)t0 t3ayax 24ax3a 令 y0，即ax24ax3a0 解得 x 1， x 3 12 拋物線與x 軸的另一個交點b 的坐標為（3，0）（2）由 yax 24ax3a ，得d（0，3a） 梯形abcd 中，a

26、bcd，且點c 在拋物線yax 24ax3a 上， c（4，3a） ab2，cd4 梯形abcd 的面積為 9，3a3 a±11 ( abcd) × od9 解得od32 所求拋物線的解析式為 yx24x3 或 yx 24x3 （3）同解法一得，p 是直線be 與對稱軸x2 的交點由 pfeq，可得bfbqeq pf1pf5 524pf 1 2點 p 坐標為（2， ）12以下同解法一 如圖，過點e 作eqx 軸于點q設對稱軸與x 軸的交點為f13. 已知二次函數的圖象如圖所示（1） 求二次函數的解析式及拋物線頂點m 的坐標（2） 若點n 為線段bm 上的一點，過點n 作 x

27、 軸的垂線，垂足為點q當點n 在線段bm 上運動時（點n 不與點 b，點 m 重合），設 nq 的長為 l，四邊形 nqac 的面積為 s，求 s 與 t 之間的函數關系式及自變量t的取值圍；的坐標；若不存在，請說明理由；（4）將oac 補成矩形，使oac 的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過程）解：（1）設拋物線的解析式 y = a(x + 1)(x - 2)，（3） 在對稱軸右側的拋物線上是否存在點p，使pac 為直角三角形?若存在，求出全部符合條件的點p - 2 = a ´1´ (-2) a

28、= 1 y = x 2 - x - 2 æ 1 ，- 9 ö其頂點m 的坐標是ç÷ 24èø（2）設線段bm 所在的直線的解析式為 y = kx + b ，點n 的坐標為n（t，h），ì0 = 2k + b，3ï ï91解得k =， b = -3 í-=k + b.2î423 線段bm 所在的直線的解析式為 y =311t - 3 ，其中 < t < 2 s =´1´2 + 1 (2+ 2 t - 3)t = 3 t 2- 12222342 h =x -

29、 3 2t +1311 s 與 t 間的函數關系式是s =t 2 -t +1，自變量t 的取值圍是 < t < 2 422（3） 存在符合條件的點p，且坐標是 pæ 57 öç， ÷ ， pæ 35 öç，-÷ 1 è 24 ø2 è 24 ø設點p 的坐標為p (m，n) ，則n = m2 - m - 2 pa2 = (m + 1)2 + n2 ， pc 2 = m2 + (n + 2)2，ac 2 = 5 分以下幾種狀況爭辯：i） 若pac90°，則

30、 pc 2= pa2 + ac 2 ìïn = m 2 í- m - 2，ïîm 2 + (n + 2)25= (m + 1)2 + n 2 + 5.p æ 57 ö解得： m =， m122= -1（舍去） 點ç， ÷ 1è 24 øii） 若pca90°，則 pa2ìïn = m2 - m - 2， í= pc 2 + ac 2 ïî(m +1)2 + n2= m2 + (n + 2)2 + 5.m= 3，m= 0p &#

31、230; 3 ， 5 ö解得：32（舍去） 點4ç÷ 42 è 2øiii） 由圖象觀看得，當點p 在對稱軸右側時， pa > ac ，所以邊ac 的對角apc 不行能是直角（4） 以點o，點a（或點o，點c）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊oa（或邊oc）的對邊上，如圖a，此時未知頂點坐標是點d（1，2），以點a，點c 為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊ac 的對邊上，如圖b，此時未知頂點æ- 12 öæ 48 ö坐標是e ç， ÷ ，f ç，-

32、47; è55 øè 55 ø圖 a圖 b14. 已知二次函數 yax22 的圖象經過點（1，1）求這個二次函數的解析式，并推斷該函數圖象與x軸的交點的個數解：依據題意，得a21. a1 這個二次函數解析式是 yx2 - 2 由于這個二次函數圖象的開口向上，頂點坐標是（0，2），所以該函數圖象與 x 軸有兩個交點 15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分在大橋截面111000 的比例圖上，跨度ab5 cm，拱高oc0.9 cm，線段 de 表示大橋拱橋長，deab，如圖（1）在比例圖上，以直線 ab 為 x 軸，拋物線的對稱軸為y 軸，以 1 cm

33、作為數軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖（2）（1） 求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數解析式，寫出函數定義域；2（2）假如de 與ab 的距離om0.45 cm，求盧浦大橋拱實際橋長（備用數據：» 1.4 ，計算結果精確到 1 米）解：（1）由于頂點 c 在 y 軸上，所以設以這部分拋物線為圖象的函數解析式為9yax2 10由于點a（ - 5 ，0）（或 b（ 5 ，0）在拋物線上， 所以0a × (- 5)2 9，得a 18 2218955210125因此所求函數解析式為 yx 2 (-£ x £)1251022991895（2） 由于點

34、d、e 的縱坐標為， 所以=x2，得 x±2 2020125104所以點d 的坐標為（ 52 ， 95），點 e 的坐標為（2 ， 9 ）4202所以 de 52(- 52) 5420442因此盧浦大橋拱實際橋長為52 ´11000 ´ 0.012752» 385 （米）（1） a、c 的符號之間有何關系?（2） 假如線段oc 的長度是線段oa、ob 長度的比例中項，試證216. 已知在平面直角坐標系，o 為坐標原點，a、b 是 x 軸正半軸上的兩點，點a 在點 b 的左側，如圖二次函數 yax2bxc （a0）的圖象經過點a、b，與y 軸相交于點ca、c 互為倒數；（3） 在（2）的條件下，假如b4， ab4.3，求 a、c 的值.頁腳解:（1）a、c 同號 或當a0 時，c0；當a0 時，c0（2） 證明