1、10.7空間角及其求法典例精析題型一求異面直線所成的角【例1】(2012天津模擬)如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是棱bc，cc1上的點，cfab2ce，abadaa1124.(1)求異面直線ef與a1d所成角的余弦值；(2)求證：af平面a1ed；(3)求二面角a1edf的正弦值.【解析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點a為坐標原點，設ab1，依題意得d(0,2,0)，f(1,2,1)，a1(0,0,4)，e(1，0).易得(0，1)，(0,2，4)，于是cos，.所以異面直線ef與a1d所成角的余弦值為.(2)證明：易知(1,2,1)， (1，4)，(1，0)，

2、于是·0，·0.因此，afea1，afed.又ea1ede，所以af平面a1ed.(3)設平面efd的法向量u(x，y，z)，不妨令x1，可得u(1,2，1)，由(2)可知，為平面a1ed的一個法向量.于是cosu，從而sinu，.所以二面角a1edf的正弦值為.方法二：(1)設ab1，可得ad2，aa14，cf1，ce.來源:連接b1c，bc1，設b1c與bc1交于點m，易知a1db1c.由，可知efbc1，故bmc是異面直線ef與a1d所成的角.易知bmcmb1c，所以cosbmc.所以異面直線ef與a1d所成角的余弦值為.(2)證明：連接ac，設ac與de交于點n，因

3、為，所以rtdcertcba.從而cdebca.又由于cdeced90°，所以bcaced90°.故acde.又因為cc1de且cc1acc，所以de平面acf.從而afde.連接bf，同理可證b1c平面abf.從而afb1c，所以afa1d.來源:數理化網因為dea1dd，所以af平面a1ed.(3)連接a1n，fn.由(2)可知de平面acf.又nf平面acf，a1n平面acf，所以denf，dea1n.故a1nf為二面角a1edf的平面角.易知rtcnertcba，所以.又ac，所以cn.在rtcnf中，nf.在rta1an中，a1n.連接a1c1，a1f，在rta1

4、c1f中，a1f.在a1nf中，cosa1nf.所以sina1nf. 所以二面角a1edf的正弦值為.【點撥】本題主要考查異面直線所成的角，直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查利用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力.【變式訓練1】已知二面角a的大小為()，直線ab，cd，且aba，cda，若ab與cd所成的角為，則()a.0b.c.d.【解析】選d.題型二求二面角【例2】(2013北京模擬)如圖，正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直，ceac，efac，ab，ceef1.(1)求證：af平面bde；(2)求證：cf平面bde；(3)求二面角a

5、bed的大小. 【解析】(1)設ac與bd交于點g，連接eg.因為efag，且ef1，agac1.所以四邊形agef為平行四邊形. 所以afeg.因為eg平面bde，af平面bde，來源:所以af平面bde.(2)因為正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直，且ceac，所以ce平面abcd.如圖，以c為原點，建立空間直角坐標系cxyz，則c(0,0,0)，a(，0)，b(0，0)，d(，0,0)，e(0,0,1)，f(，1).所以(，1)，(0，1)，(，0,1).所以0110，1010.所以cfbe，cfde.所以cf平面bde.(3)由(2)知，(，1)是平面bde的一個法向量.

6、設平面abe的法向量n(x，y，z)，則n0，n0.所以x0，且zy.令y1，則z.所以n(0,1，).從而cosn，.因為二面角abed為銳角，所以二面角abed的大小為.【點撥】(1)本小題主要考查直線與直線；直線與平面；平面與平面的位置關系，考查空間想象力推理論證能力，運算求解能力，考查數形結合思想，化歸與轉化的思想.(2)空間的平行與垂直以及空間角是立體幾何中重點考查的內容；利用平面的法向量的夾角求二面角的平面角是向量知識在立體幾何中的應用，是求二面角常用方法.【變式訓練2】在四面體abcd中，ab1，ad2，bc3，cd2，abcdcb，則二面角abcd的大小為()a. b.c. d

7、.【解析】選b.題型三求直線與平面所成的角【例3】已知四棱錐pabcd的底面為等腰梯形，abcd，acbd，垂足為h，ph是四棱錐的高，e為ad的中點.(1)求證：pebc；(2)若apbadb60°，求直線pa與平面peh所成角的正弦值.【解析】以h為原點，ha，hb，hp分別為x，y，z軸，線段ha的長為單位長，建立空間直角坐標系如圖，則a(1,0,0)，b(0,1,0).設c(m,0,0)，p(0,0，n)(m0，n0)，則d(0，m,0)，e(，0)，來源:可得(，n)，(m，1,0)，因為·00，所以pebc.(2)由已知條件得m，n1，故c(，0,0)，d(0，0)，e(，0)，p(0,0,1).設n(x，y，z)為平面peh的法向量，因此可以取n(1，0).由(1,0，1)，可得|cos，n|.所以直線pa與平面peh所成角的正弦值為.【點撥】利用空間向量法求解問題時，適當建立空間坐標系是關鍵，建立坐標系時要抓住三條互相垂直且相交于一點的直線.【變式訓練3】過正三棱錐sabc的側棱sb與底面中心o作截面sbo，已知截面是等腰三角形，則側面與底面所成角