1、2018 年沈陽市高中三年級教學質量監測（一）數學（理科）一、選擇題：本大題共12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .1. 若是虛數單位，則復數的實部與虛部之積為（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】由復數的運算法則有：，則實部和虛部之積為.本題選擇 b 選項 .2. 設集合， 則（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】求解指數不等式可得：， 據此有：.觀察選項，只有c 選項符合題意.本題選擇 c 選項 .3. 命題“若， 則”的逆否命題是（）a.若，則b.若c.若，則d.若，則，則【答案】 d【解析】逆否命題同時否定條件和結論，然后將

2、條件和結論互換位置，據此可得： 命題 “若，則”的逆否命題是若，則.本題選擇 d 選項 .4. 已知一個算法的程序框圖如圖所示，當輸出的結果為0 時，輸入的實數的值為 （）20第頁a. -3b. -3 或 9c. 3 或 -9d. -9 或-3【答案】 b【解析】結合流程圖可知，該流程圖等價于計算分段函數：的函數值， 且函數值為，據此分類討論：當時，；當時，；綜上可得，輸入的實數的值為或 .本題選擇 b 選項 .5. 劉徽是一個偉大的數學家，他的杰作九章算術注和海島算經是中國最寶貴的文化遺產，他所提出的割圓術可以估算圓周率， 理論上能把的值計算到任意的精度.割圓術的第一步是求圓的內接正六邊形的

3、面積 .若在圓內隨機取一點，則此點取自該圓內接正六邊形的概率是（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】 設圓的半徑為，則圓的內接正六邊形可以分解為6 個全等的三角形，且每個三角形的邊長為， 據此可得，圓的面積為，其內接正六邊形的面積為，利用幾何概型計算公式可得：此點取自該圓內接正六邊形的概率是.本題選擇 b 選項 .點睛： 數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區域，由題意將已知條件轉化為事件a 滿足的不等式，在圖形中畫出事件a 發生的區域，據此求解幾何概型即可.6. 如圖所示，網絡紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某簡單幾何

4、體的三視圖，則該幾何體的體積為（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】結合三視圖可知該幾何體是圓錐的一半，且圓錐底面半徑，圓錐的高據此可知該幾何體的體積：.本題選擇 a 選項 .7. 設滿足約束條件，則的最大值是 （）a. -15b. -9c. 1d. 9【答案】 c【解析】繪制不等式組表示的平面區域如圖所示，觀察可得目標函數在點處取得最大值：.本題選擇 c 選項 .，點睛： 求線性目標函數z ax by(ab0的) 最值，當b 0 時，直線過可行域且在y 軸上截距最大時，z 值最大，在 y 軸截距最小時，z 值最??；當b0 時，直線過可行域且在y 軸上截距最大時，z 值最小，在y 軸上截距最

5、小時，z值最大 .8. 若 4 個人按原來站的位置重新站成一排，恰有一個人站在自己原來的位置， 則共有（）種不同的站法.a. 4b. 8c. 12d. 24【答案】 b【解析】由不對號入座的結論可知，三個人排隊，對對號入座的方法共有2 種， 據此結合乘法原理可知，滿足題意的站法共有：種.本題選擇 b 選項 .9. 函數在的單調遞增區間是（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】整理函數的解析式有：若，則，據此可知函數的單調遞增區間滿足：，即， 則函數的單調遞增區間是.本題選擇 c 選項 .10. 已知雙曲線的一條漸近線與圓相切， 則該雙曲線的離心率為（）a. 2b.c.d.【答案】 b【解析】由

6、雙曲線方程可知，雙曲線的一條漸近線為：，即：，由直線與圓的位置關系可得：，整理可得：，則：，據此有：.本題選擇 b 選項 .點睛： 雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出 a，c，代入公式；只需要根據一個條件得到關于a， b，c 的齊次式， 結合 b2 c2 a2 轉化為 a， c 的齊次式， 然后等式 (不等式)兩邊分別除以a 或 a2 轉化為關于e的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范圍 )11. 在各項都為正數的等比數列中，若，且， 則數列的前項和是（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】由等比數列

7、的性質可得：，則數列的公比：，數列的通項公式：，故：，則數列的前項和是：.本題選擇 a 選項 .點睛： 使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項， 切不可漏寫未被消去的項， 未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的12. 設函數是定義在上的偶函數 ， 且， 當時， 若在區間內關于的方程（且）有且只有4 個不同的根，則實數的取值范圍是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】由已知在上遞減，是偶函數，則在上遞增，又，即的圖象關于直線對稱，因此在上遞減，在上遞增（實際上是周期為4 的周期函數） ，方程在區間內有 4 個根，即函數與函數的圖象有 4 個交

8、點，如圖，所以且，解得，故選 d點睛：（ 1）本題考查函數零點與方程根的關系問題，解題方法把方程的根轉化為函數圖象交點，如本題中方程在上有 4 個根，轉化為函數與函數的圖象在上有 4 個交點，為此先作出函數的圖象，根據已知得出是周期為4 的周期函數，再根據偶函數的性質可以作出的圖象；（ 2）如滿足，則是其對稱軸；（ 3）如果的圖象有兩個對稱軸和，則它是周期函數，是它的一個周期.二、填空題：本大題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分.把答案填在答題紙上 .13. 已知隨機變量， 若， 則 【答案】 0.8【解析】由正態分布的性質可知，該正態分布的圖象關于直線對稱，則：，則：.14. 在推導等

9、差數列前項和的過程中， 我們使用了倒序相加的方法， 類比可求得 【答案】 44.5【解析】令，則：，兩式相加可得：,故：，即.15. 已知正三角形（為坐標原點）的頂點在拋物線上， 則的邊長是 【答案】【解析】設點a 位于第一象限，由拋物線圖形的對稱性可知，直線的方程為：， 聯立直線方程與拋物線方程可得交點坐標為：，則，結合兩點之間距離公式可得：,即的邊長是.16. 已知是直角邊為2 的等腰直角三角形，且為直角頂點 ，為平面內一點 ， 則的最小值是 【答案】 -1【解析】以a 點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則， 則，利用向量的坐標運算法則有：，據此可知，當，即點坐標為時，取得最小值

10、是.點睛： 求兩個向量的數量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數量積的幾何意義具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用三、解答題：共 70 分.解答應寫出文字說明、 證明過程或演算步驟 .第 17 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22/23 題為選考題，考生根據要求作答.17. 在中，已知內角對邊分別是， 且.（）求；（）若，的面積為， 求.【答案】 （）（）【解析】試題分析：( )由題意利用正弦定理邊化角可得，結合誘導公式和兩角和差正余弦公式可得，結合三角形的性質可得( )由題意結合面積公式可得，然后利用角c 的余弦定理得到關于c 的等式

11、，整理計算可得.試題解析：（ ）由正弦定理得又又（ ）由面積公式可得18. 如圖所示 ， 在四棱錐中， 平面平面， 底面是正方形 ，且，.（）證明：平面平面；（）求二面角的余弦值 .【答案】 （） 見解析 （）.【解析】試題分析：( )利用面面垂直的性質定理可得平面.據此有，結合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.( )取的中點為，的中點為，連接， 以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，據此可得平面的一個法向量為， 平面的一個法向量為，據此計算可得二面角的余弦值為.法 2：若以為原點，建立空間直角坐標，則面的法向量面的法向量，計算可得為鈍角，則余弦值為.試題解析：（

12、 ）證明：底面為正方形，.又平面平面， 平面.又平面， .，平面.平面， 平面平面.（ ）取的中點為，的中點為，連接易得底面，以為原點，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，不妨設正方形的邊長為2，可得，設平面的一個法向量為而，即取得設平面的一個法向量為而，則即取得由圖知所求二面角為鈍角故二面角的余弦值為.法 2：若以為原點，建立空間直角坐標，如圖， 不妨設正方形的邊長為2可得面的法向量面的法向量由圖可得為鈍角余弦值為.點睛： (1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算(2) 設 m， n 分別

13、為平面，的法向量，則二面角與<m ，n>互補或相等 .求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角19. 高中生在被問及“家，朋友聚集的地方，個人空間”三個場所中“感到最幸福的場所在哪里？”這個問題時，從中國某城市的高中生中，隨機抽取了55 人，從美國某城市的高中生中隨機抽取了45 人進行答題.中國高中生答題情況是：選擇家的占、朋友聚集的地方占、個人空間占.美國高中生答題情況是：家占、朋友聚集的地方占、個人空間占.為了考察高中生的“戀家（在家里感到最幸福）”是否與國別有關，構建了如下列聯表 .在家里最幸福在其它場所幸福合計中國高中生美國高中生合計（） 請將列聯表補充完整；試

14、判斷能否有的把握認為“戀家”與否與國別有關；（） 從中國高中生的學生中以“是否戀家”為標準采用分層抽樣的方法，隨機抽取了5 人，再從這5 人中隨機抽取2 人.若所選 2 名學生中的“戀家”人數為， 求隨機變量的分布列及期望.附：， 其中.0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828【答案】 （） 見解析 （） 見解析【解析】試題分析：( )由題意結合所給的數據寫出列聯表，據此計算可得與國別有關 .，則有的把握認為 “戀家 ”與否( )由題意可得：的可能取值為0， 1， 2，計算相應的概率值有：，據此得到分布列，計算數學期望有.試題解析：（ ）在家其他合計中

15、國223355美國93645合計3169100有的把握認為 “戀家 ”與否與國別有關.（ ）依題意得，5 個人中 2 人來自于 “在家中 ”是幸福， 3 人來自于 “在其他場所 ”是幸福，的可能取值為0， 1， 2，的分布列為013.20. 設為坐標原點 ， 動點在橢圓上， 過作軸的垂線 ， 垂足為，點滿足.（） 求點的軌跡方程；（） 過的直線與點的軌跡交于兩點 ， 過作與垂直的直線與點的軌跡交于兩點， 求證 ：為定值 .【答案】 （）（）.【解析】試題分析：( )設， 由題意可得， 則， 點在橢圓上，整理計算可得軌跡方程為.( )分類討論：當與軸重合時，.當與軸垂直時，.當與 軸不垂直也不重

16、合時，可設的方程為，聯立直線與橢圓的方程有， 結合弦長公式有，把直線與曲線橢圓聯立計算可得.則據此，結論得證.試題解析：（ ）設，易知，又因為，所以，又因為在橢圓上，所以，即.（ ）當與軸重合時，.當與 軸垂直時，.當與 軸不垂直也不重合時，可設的方程為此時設，把直線與曲線聯立，得，可得，.把直線與曲線聯立，同理可得.點睛： 求定值問題常見的方法有兩種：(1) 從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2) 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值21. 已知，.（） 求函數圖象恒過的定點坐標；（） 若恒成立 ， 求的值 ；（）在（）成立的條件下，證明：存在唯一的極小值點

17、， 且.【答案】 （）（）（） 見解析【解析】試題分析：( )因為要使參數對函數值不發生影響，所以必須保證， 據此可得函數的圖象恒過點. ( )原問題等價于恒成立 .構造函數， 分類討論有：若時，不能恒成立 .若時，在時為極小值點， 滿足題意時只需.討論可得要使函數成立，只有在時成立 .( )結合( ) 的結論有， 構造函數，結合函數的性質可得一定有 2 個零點， 分別為的一個極大值點和一個極小值點，則函數在區間上存在一個極值點，所以最小極值點在內.據此整理計算可得.試題解析：（ ）因為要使參數對函數值不發生影響，所以必須保證， 此時，所以函數的圖象恒過點.（ ）依題意得：恒成立，恒成立 .構

18、造函數，則恒過，若時， 在上遞增，不能恒成立 .若時， .時，函數單調遞減；時，函數單調遞增，在時為極小值點，要使恒成立，只需.設，則函數恒過，函數單調遞增；，函數單調遞減，在取得極大值0，要使函數成立，只有在時成立 .（ ），設，令，在單調遞減，在單調遞增，在處取得極小值可得一定有 2 個零點，分別為的一個極大值點和一個極小值點設為函數的極小值點，則， ，因為，因為，所以在區間上存在一個極值點，所以最小極值點在內.函數的極小值點的橫坐標，函數的極小值， .（二）選考題：共10 分.請考生在 22、23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .22. 選修 4-4：極坐標與參數方程設過原點的直線與圓的一個交點為，點為線段的中點 ， 以原點為極點 ，軸的正