1、精心整理學習必備坐標平面上的直線知識點歸納一、直線的傾斜角和斜率：（1）直線的傾斜角：在平面直角坐標系中，對于一條與x 軸相交的直線，如果把x 軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。注意：規(guī)定當直線和x 軸平行或重合時，其傾斜角為0o ，所以直線的傾斜角的范圍是0o180o ；（ 2 ）直線的斜率：傾斜角不是90o 的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，ktan斜率是用來表示傾斜角不等于90 o 的直線對于x 軸的傾斜程度的。每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率（直線垂直于x 軸時，其斜率不存在 )，這就決定了我們在研究直

2、線的有關問題時，應考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會產(chǎn)生漏解。斜率計算公式：設經(jīng)過A(x1 , y1 ) 和B( x2, y2 ) 兩點的直線的斜率為k ，則當 x1x2 時， k tany1y2 ；當 x1x2 時，90o ；斜率不存在；x1x2二、直線方程的幾種形式：（1）點斜式：過已知點( x0 , y0 ) ，且斜率為 k 的直線方程：yy0k ( xx0 ) ；注意：當直線斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時方程為xx0 ； yy0k 表示： y y0k(x x0 ) 直線上除去 ( x0 , y0 ) 的圖形 。xx0精心整理學習必備（2）斜截式：若已知直線在y 軸上的截距

3、為b ，斜率為 k ，則直線方程：ykxb ；注意：正確理解“截距”這一概念，它具有方向性，有正負之分，與“距離”有區(qū)別。（3）兩點式：若已知直線經(jīng)過(x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) 兩點，且（ x1x2 , y1 y2 ），則直線的方程： yy1xx1 ；y2y1x2x1注意：不能表示與x 軸和 y 軸垂直的直線；當兩點式方程寫成如下形式( x2 x1 )( y y1 )( y2y1 )( x x1 ) 0 時，方程可以適應在于任何一條直線。（4）截距式：若已知直線在x 軸， y 軸上的截距分別是a ，b（ a0, b0 ）則直線方程：xy；a1b注意：不能表示與 x 軸垂直

4、的直線， 也不能表示與y 軸垂直的直線， 特別是不能表示過原點的直線，要謹慎使用。xx0at（ t 為參數(shù)） 其中方向向量為(a,b) ， (ab) ；（5）參數(shù)式：,a 2yy0bta 2b2b 2kb| t |； | PPo |a 2；ab2| t1t2|點 P1 , P2 對應的參數(shù)為 t1 ,t 2 ，則 | P1P2 |；a2b2xx0t cos(cos ,sin) ， t 的幾何意yy0（ t 為參數(shù)）其中方向向量為t sin義為 | PPo |；斜率為 tan；傾斜角為(0) 。（6）一般式： 任何一條直線方程均可寫成一般式：AxByC0 ；（ A, B 不同時為零） ；反之，任

5、何一個二元一次方程都表示一條直線。精心整理學習必備注意：直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，這要看系數(shù)A, B, C 是否為 0 才能確定。指出此時直線的方向向量： (B, A) ，(B, A) ，(B,A)B2A2A2B 2（單位向量）直線的法向量：( A, B) ；（與直線垂直的向量）三、兩直線的位置關系：位置關系l1 : y k1x b1l 1 : A1 x B1 y C10l 2: y k 2 x b2l 2 : A2 x B2 y C 20平行k1k2 ，且 b1b2A1B1C1A2B2C2重合k1k2 ，且 b1b2A1B1C1A2B2C

6、2相交k1k2A1B1A2B2垂直k1 k21A1 A2B1 B20設兩直線的方程分別為：l1 : yk1 xb1或 l1 : A1 x B1 yC10；當 k1k2或l 2 : y k2 x b2l 2 : A2 x B2 y C 2 0A1 B2 A2 B1 時它們相交，交點坐標為方程組y k1 x b1或A1 xB1 yC10y k 2 x b2A2 x B2 y C 20解；注意：對于平行和重合， 即它們的方向向量 （法向量） 平行；如：( A1 , B1 )( A2 , B2 )對于垂直，即它們的方向向量（法向量）垂直；如(A1, B1) ( A2, B2)0若兩直線的斜率都不存在，

7、 則兩直線 平行 ；若一條直線的斜率不存在， 另一直線的斜率為 0 ，則兩直線垂直。精心整理學習必備對于 A1 A2B1 B20 來說，無論直線的斜率存在與否，該式都成立。因此，此公式使用起來更方便斜率相等時，兩直線平行( 重合 ) ；但兩直線平行( 重合 ) 時，斜率不一定相等，因為斜率有可能不存在。四、兩直線的交角（1） l 1 到 l 2 的角：把直線l1 依逆時針方向旋轉到與l 2 重合時所轉的角；它是有向角，其范圍是0；注意： l 1 到 l 2 的角與 l 2 到 l1 的角是不一樣的；旋轉的方向是逆時針方向；繞“定點”是指兩直線的交點。（2）直線 l1 與 l 2 的夾角：是指由

8、 l1 與 l 2 相交所成的四個角的最小角( 或不大于直角的角) ，它的取值范圍是 0；2（3）設兩直線方程分別為：l 1 : y k1 x b1或 l1 : A1 x B1 yC10l 2 : y k 2 x b2l 2 : A2 x B2 y C 20若 為 l1 到 l 2 的角， tank2 k1 或 tanA1 B2A2 B1；1 k2 k1A1 A2B1 B2若 為 l1 和 l 2 的夾角，則 tank2k1 或 tanA1 B2A2 B1；1 k2k1A1 A2B1 B2當 1 k1 k2 0 或 A1 A2 B1 B20 時，90o ；注意：上述與k 有關的公式中，其前提是

9、兩直線斜率都存在，而且兩直線互不垂直；當有一條直線斜率不存在時，用數(shù)形結合法處理。 直 線 l 1 到 l 2 的 角與 l 1 和 l 2 的 夾 角：() 或2() ；2五、點到直線的距離公式：精心整理學習必備設點 P( x0 , y0 ) 和直線 l : Ax By C| Ax0By0C |0 ，點 P 到 l 的距離為： dA2B2；兩平行線| C1C2 |:A1 x B1 y C10l 2 : A2 x B2 y C20的距離為： dl 1；，A2B 2六、直線系：（1）設直線 l1 : A1 xB1 y C10， l 2: A2 xB 2 yC 2 0 ，經(jīng)過 l1 ,l 2 的交

10、點的直線方程為A1 x B1 yC1(A2 x B2 yC2 )0 （除去 l 2 ）；如： ykx1y1kx0 ，即也就是過y10 與 x0 的交點 (0,1) 除去x 0 的直線方程。注意：推廣到過曲線f1 ( x, y)0 與 f2 (x, y)0 的交點的方程為：f1 (x)f (x2 )0 ；（2）與 l : AxByC0 平行的直線為AxByC '0 ；（3）與 l : AxByC0 垂直的直線為BxAyC '0 ；七、對稱問題：（ 1）中心對稱：點關于點的對稱：該點是兩個對稱點的中點，用中點坐標公式求解，點A(a,b) 關于 C (c, d) 的對稱點( 2ca,2db)直線關于點的對稱：、在已知直線上取兩點， 利用中點公式求出它們關于已知點對稱的兩點的坐標， 再由兩點式求出直線方程；、求出一個對稱點，在利用l1 / l 2 由點斜式得出直線方程；、利用點到直線的距離相等。求出直線方程。精心整理學習必備如：求與已知直線l1 : 2x3 y60 關于點 P(1, 1) 對稱的直線 l 2 的方程。（ 2）軸對稱：點關于直線對稱：、點與對稱點的中點在已知直線上， 點與對稱點連線斜率是已知直線斜率的負倒數(shù)。、求出過該點與已知直線垂直的直線方程， 然后解方程組求出直線的交點， 在利用中點坐標公式求解。直線關于直線對稱： （設 a, b