1、圖3gfbcadle動(dòng)態(tài)問題所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目 .解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題. 關(guān)鍵 :動(dòng)中求靜 . 數(shù)學(xué)思想：分類思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想一、單動(dòng)點(diǎn)問題小菜一碟：如圖2，正方形abcd 的邊長為4，點(diǎn) m 在邊 dc 上，且 dm=1 ， n 為對(duì)角線ac 上任意一點(diǎn)，則dn+mn的最小值為例（ 10 年房山二模壓軸）25. （1）如圖 1，已知矩形abcd 中，點(diǎn) e 是 bc 上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)e作 efbd 于點(diǎn) f， egac 于點(diǎn) g，ch bd 于點(diǎn) h，試證明 ch=ef

2、+eg; (2) 若點(diǎn) e 在的延長線上，如圖 2，過點(diǎn) e 作 efbd 于點(diǎn) f，egac 的延長線于點(diǎn)g，chbd于點(diǎn) h， 則 ef、 eg、 h 三者之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；(3) 如圖 3， bd 是正方形 abcd 的對(duì)角線 ,l 在 bd 上， 且 bl=bc, 連結(jié) cl， 點(diǎn) e是 cl 上任一點(diǎn) , efbd于點(diǎn) f，eg bc 于點(diǎn) g，猜想 ef、eg、 bd 之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；(4) 觀察圖 1、圖 2、圖 3的特性，請(qǐng)你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個(gè)圖形，使它仍然具有ef、eg、 h 這樣的線段，并滿足（1）或（ 2）的結(jié)論，寫出相

3、關(guān)題設(shè)的條件和結(jié)論. 圖2圖1gfhdhgfdabbacece1.(2009 臨沂 25)數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形abcd 是正方形，點(diǎn)e 是邊 bc 的中點(diǎn)90aefo，且 ef 交正方形外角dcg的平行線cf 于點(diǎn) f，求證： ae=ef 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取ab 的中點(diǎn)m ，連接me ，則am=ec ，易證ameecf，所以aeef在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)e 是邊 bc 的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)e 是邊 bc 上（除 b，c 外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“ae=ef ”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確

4、嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；（2） 小華提出： 如圖 3， 點(diǎn) e 是 bc 的延長線上（除 c 點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)， 其他條件不變， 結(jié)論 “ae=ef ”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由解： （1）正確證明：在ab上取一點(diǎn)m，使amec，連接mebmbe45bme ，135ame cfq是外角平分線，45dcf ，135ecf ameecf90aebbaeq ，90aebcef ，baecefamebcf（asa ） aeef（2）正確證明：在ba的延長線上取一點(diǎn)n使ance，連接nebnbe45npce q四邊形abcd

5、是正方形，adbedaebeanaecefaneecf（asa） aeef2.（2009 年江西中考題25）如圖 1，在等腰梯形abcd 中，ad/bc，e 是 ab 的中點(diǎn)，過點(diǎn)e 作 ef/bc交 cd 于點(diǎn) f，ab4，bc6， b 60（ 1）求點(diǎn) e 到 bc 的距離；（ 2）點(diǎn) p 為線段 ef 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p 作 pmef 交 bc 于 m，過 m 作 mn/ab 交折線 adc于 n，連結(jié) pn，設(shè) epx當(dāng)點(diǎn) n 在線段 ad 上時(shí)（如圖2） ， pmn 的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出pmn 的周長；若改變，請(qǐng)說明理由；當(dāng)點(diǎn)n 在線段 dc 上時(shí)（如圖3） ，是否存在

6、點(diǎn)p，使 pmn 為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的x 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由圖 1 圖 2 圖 3 a d f c g e b 圖 1 a d f c g e b 圖 3 a d f c g e b 圖 2 a d f c g e b m a d f c g e b n 思路點(diǎn)撥1先解讀這個(gè)題目的背景圖，等腰梯形abcd 的中位線ef4，這是x 的變化范圍平行線間的距離處處相等，ad 與 ef、ef 與 bc 間的距離相等2當(dāng)點(diǎn) n 在線段 ad 上時(shí)， pmn 中 pm 和 mn 的長保持不變是顯然的，求證 pn 的長是關(guān)鍵 圖形中包含了許多的對(duì)邊平行且相等，理順線條的關(guān)系很重

7、要3分三種情況討論等腰三角形pmn，三種情況各具特殊性，靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)解題滿分解答（ 1）如圖 4，過點(diǎn) e 作 egbc 于 g在 rtbeg 中，221abbe， b60，所以160cosbebg，360sinbeeg所以點(diǎn) e 到 bc 的距離為3（ 2）因?yàn)?ad/ef/bc，e 是 ab 的中點(diǎn)，所以f 是 dc 的中點(diǎn)因此 ef 是梯形 abcd 的中位線， ef4如圖 4，當(dāng)點(diǎn) n 在線段 ad 上時(shí)， pmn 的形狀不是否發(fā)生改變過點(diǎn) n 作 nhef 于 h，設(shè) ph 與 nm 交于點(diǎn) q在矩形 egmp 中， ep gmx，pmeg3在平行四邊形bmqe 中， bmeq1

8、 x所以 bgpq1因?yàn)?pm 與 nh 平行且相等，所以ph 與 nm 互相平分， ph2pq2在 rtpnh 中， nh3，ph 2，所以 pn7在平行四邊形abmn 中， mnab4因此 pmn 的周長為37 4圖 4 圖 5 當(dāng)點(diǎn) n 在線段 dc 上時(shí)， cmn 恒為等邊三角形如圖 5，當(dāng) pmpn 時(shí)， pmc 與 pnc 關(guān)于直線pc 對(duì)稱，點(diǎn)p 在 dcb 的平分線上在 rtpcm 中， pm3， pcm30，所以mc3此時(shí) m、p 分別為 bc、ef 的中點(diǎn)， x2如圖 6，當(dāng) mpmn 時(shí)， mpmnmc3，x gm gcmc53如圖 7，當(dāng) npnm 時(shí)， nmp npm

9、 30，所以 pnm 120又因?yàn)?fnm 120，所以p 與 f 重合此時(shí) x4綜上所述，當(dāng)x2 或 4 或 53時(shí)， pmn 為等腰三角形圖 6 圖 7 圖 8 考點(diǎn)伸展第（ 2）題求等腰三角形pmn 可以這樣解：如圖 8，以 b 為原點(diǎn)，直線bc 為 x 軸建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)m 的坐標(biāo)為（ m，0） ，那么點(diǎn)p 的坐標(biāo)為（m，3） ，mnmc6m，點(diǎn) n 的坐標(biāo)為（26m，2)6(3m） 由兩點(diǎn)間的距離公式，得21922mmpn當(dāng) pmpn 時(shí)，92192mm，解得3m或6m此時(shí)2x當(dāng) mpmn 時(shí)，36m，解得36m，此時(shí)35x當(dāng) np nm 時(shí)，22)6(219mmm，解得5m，此時(shí)4

10、x二、雙動(dòng)點(diǎn)問題例：如圖 1，梯形 abcd 中， ad bc， b=90， ab=14cm,ad=18cm,bc=21cm,點(diǎn) p從 a 開始沿 ad 邊以 1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)q 從 c 開始沿 cb 向點(diǎn) b 以 2 cm/秒的速度移動(dòng)，如果p，q 分別從 a，c 同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t 秒。當(dāng) t= 時(shí)，四邊形是平行四邊形；6 當(dāng) t= 時(shí)，四邊形是等腰梯形. 8 1、 （ 2012 貴州遵義12 分）如圖， abc 是邊長為6 的等邊三角形，p是 ac邊上一動(dòng)點(diǎn)，由a向 c運(yùn)動(dòng)（與 a 、c不重合）， q是 cb延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)p同時(shí)以相同的速度由b向 cb延長線方向運(yùn)動(dòng)（q

11、不與 b重合） ，過 p作 pe ab于 e，連接 pq交 ab于 d（1）當(dāng) bqd=30 時(shí)，求ap的長；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中線段ed的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ed的長；如果變化請(qǐng)說明理由2、如圖，已知abc中，10abac厘米，8bc厘米，點(diǎn)d為ab的中點(diǎn)(1）如果點(diǎn) p 在線段 bc 上以 3cm/s 的速度由b 點(diǎn)向 c 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)， 點(diǎn) q 在線段 ca 上由 c 點(diǎn)向 a 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)若點(diǎn) q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1 秒后，bpd與cqp是否全等，請(qǐng)說明理由；若點(diǎn) q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)速度不相等， 當(dāng)點(diǎn) q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)， 能夠使bpd與cqp全

12、等？（2） 若點(diǎn) q 以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)c 出發(fā)，點(diǎn) p以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)b 同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿abc三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)p與點(diǎn) q 第一次在abc的哪條邊上相遇？解： （1）1t秒， 3 13bpcq厘米，10ab厘米，點(diǎn)d為ab的中點(diǎn)，5bd厘米又8pcbcbpbc，厘米，835pc厘米，pcbd又abac， bc， bpdcqppqvv， bpcq， 又bpdcqp，bc，則45bppccqbd，點(diǎn)p，點(diǎn)q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間433bpt秒，515443qcqvt厘米 /秒。a q c d b p （2）設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)p與點(diǎn)q第一次相遇，由題意，得1532 104xx，解得803x秒點(diǎn)p

13、共運(yùn)動(dòng)了803803厘米8022824，點(diǎn)p、點(diǎn)q在ab邊上相遇，經(jīng)過803秒點(diǎn)p與點(diǎn)q第一次在邊ab上相遇三、線動(dòng)問題例：如圖，在rtabc中，9060acbb ，2bc點(diǎn)o是ac的中點(diǎn)，過點(diǎn)o的直線l從與ac重合的位置開始，繞點(diǎn)o作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 交ab邊于點(diǎn)d過點(diǎn)c作ceab交直線l于點(diǎn)e，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為（1）當(dāng)度時(shí)，四邊形edbc是等腰梯形，此時(shí)ad的長為；當(dāng)度時(shí)，四邊形edbc是直角梯形，此時(shí)ad的長為；（2）當(dāng)90時(shí)，判斷四邊形edbc是否為菱形，并說明理由解： （1） 30，1； 60，1.5；（2）當(dāng) =900時(shí)，四邊形edbc 是菱形 . =acb=900， bc/ed.

14、ce/ab, 四邊形 edbc 是平行四邊形在 rtabc 中， acb=900， b=600,bc=2, a=300.ab=4,ac=23. ao=12ac=3.在 rtaod 中， a=300， ad=2. bd=2. bd=bc. 又四邊形edbc 是平行四邊形，四邊形edbc 是菱形4、在 abc 中， acb=90，ac=bc ，直線 mn 經(jīng)過點(diǎn) c，且 ad mn 于 d，bemn 于 e. (1)當(dāng)直線 mn 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)到圖1 的位置時(shí)，求證：adc ceb； de=ad be；(2)當(dāng)直線 mn 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)到圖2 的位置時(shí)，求證：de=ad-be ；o e c b d a l o c b a （備用圖）c b a e d 圖 1n m a b c d e m n 圖 2a c b e d n m 圖 3(3)當(dāng)直線 mn 繞點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)到圖3 的位置時(shí)，試問de、ad 、 be 具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明. 解： （1） acd= acb=90 cad+ acd=90 bce+acd=90 cad= bce ac=bc adc ceb adc ceb