1、第24屆全國中學生物理競賽決賽試題2007年11月 寧波 理論部分ycdv0loxa l b一、a ，b ，c三個剛性小球靜止在光滑的水平面上它們的質量皆為m ，用不可伸長的長度皆為l的柔軟輕線相連，ab的延長線與bc的夾角 = / 3 ，如圖所示在此平面內取正交坐標系oxy ，原點o與b球所在處重合，x軸正方向和y軸正方向如圖另一質量也是m的剛性小球d位于y軸上，沿y軸負方向以速度v0（如圖）與b球發生彈性正碰，碰撞時間極短設剛碰完后，連接a ，b ，c的連線都立即斷了求碰后經多少時間，d球距a ，b ，c三球組成的系統的質心最近二、為了近距離探測太陽并讓探測器能回到地球附近，可發射一艘以橢

2、圓軌道繞太陽運行的攜帶探測器的宇宙飛船，要求其軌道與地球繞太陽的運動軌道在同一平面內，軌道的近日點到太陽的距離為0.01au（au為距離的天文單位，表示太陽和地球之間的平均距離：1au = 1.495 ×1011 m），并與地球具有相同的繞日運行周期（為簡單計，設地球以圓軌道繞太陽運動）試問從地球表面應以多大的相對于地球的發射速度u0（發射速度是指在關閉火箭發動機，停止對飛船加速時飛船的速度）發射此飛船，才能使飛船在克服地球引力作用后仍在地球繞太陽運行軌道附近（也就是說克服了地球引力作用的飛船仍可看做在地球軌道上）進入符合要求的橢圓軌道繞日運行？已知地球半徑re = 6.37 

3、15;106 m ，地面處的重力加速度g = 9.80 m / s2 ，不考慮空氣的阻力三、如圖所示，在一個豎直放置的封閉的高為h 、內壁橫截面積為s的絕熱氣缸內，有一質量為m的絕熱活塞a把缸內分成上、下兩部分活塞可在缸內貼缸壁無摩擦地上下滑動缸內頂部與a之間串聯著兩個勁度系數分別為k1和k2（k1k2）的輕質彈簧a的上方為真空；a的下方盛有一定質量的理想氣體已知系統處于平衡狀態，a所在處的高度（其下表面與缸內底部的距離）與兩彈簧總共的壓縮量相等皆為h1 = h / 4 現給電爐絲r通電流對氣體加熱，使a從高度h1開始上升，停止加熱后系統達到平衡時活塞的高度為h2 = 3h / 4 求此過程中

4、氣體吸收的熱量q 已知當體積不變時，每摩爾該氣體溫度每升高1 k吸收的熱量為3r / 2 ，r為普適氣體恒量在整個過程中假設彈簧始終遵從胡克定律h四、為了減少線路的輸電損耗，電力的遠距離輸送一般采用高電壓的交流電傳輸方式在傳輸線路上建造一系列接地的鐵塔，把若干絕緣子連成串（稱為絕緣子串，見圖甲），其上端a掛在鐵塔的橫臂上，高壓輸電線懸掛在其下端b絕緣子的結構如圖乙所示：在半徑為r1的導體球外緊包一層耐高壓的半球形陶瓷絕緣介質，介質外是一內半徑為r2的半球形導體球殼已知當導體球與導體球殼間的電壓為u時，介質中離球心o的距離為r處的場強為e = ，場強方向沿徑向ab圖甲半球形導體球殼絕緣層導體球圖

5、乙1已知絕緣子導體球殼的內半徑r2 = 4.6 cm ，陶瓷介質的擊穿強度ek = 135 kv / cm 當介質中任一點的場強e ek時，介質即被擊穿，失去絕緣性能為使絕緣子所能承受的電壓（即加在絕緣子的導體球和導體球殼間的電壓）為最大，導體球的半徑r1應取什么數值？此時，對應的交流電壓的有效值是多少？2一個鐵塔下掛有由四個絕緣子組成的絕緣子串（如圖甲），每個絕緣子的兩導體間有電容c0 每個絕緣子的下部導體（即導體球）對于鐵塔（即對地）有分布電容c1（導體球與鐵塔相當于電容器的兩個導體極板，它們之間有一定的電容，這種電容稱為分布電容）；每個絕緣子的上部導體（即導體球殼）對高壓輸電線有分布電容

6、c2 若高壓輸電線對地電壓的有效值為u0 試畫出該系統等效電路圖3若c0 = 70 pf = 7 × 1011 f ，c1 = 5 pf ，c2 = 1 pf ，試計算該系統所能承受的最大電壓（指有效值）ygpodax五、如圖所示，g為一豎直放置的細長玻璃管，以其底端o為原點，建立一直角坐標系oxy ，y軸與玻璃管的軸線重合在x軸上與原點o的距離為d處固定放置一電荷量為q的正點電荷a ，一個電荷量為q（q0）的粒子p位于管內，可沿y軸無摩擦地運動設兩電荷之間的庫侖相互作用力不受玻璃管的影響1求放在管內的帶電粒子p的質量m滿足什么條件時，可以在y0的區域內存在平衡位置2上述平衡狀態可以

7、是穩定的，也可能是不穩定的；它依賴于粒子的質量m 以y（m）表示質量為m的粒子p處于平衡位置時的y坐標當粒子p處于穩定平衡狀態時，y（m）的取值區間是_；當粒子p處于不穩定平衡狀態時，y（m）的取值區間是_（請將填空答案寫在答題紙上）3已知質量為m1的粒子p處于穩定平衡位置，其y坐標為y1 現給p沿y軸一微小擾動試證明以后的運動為簡諧運動，并求此簡諧運動的周期4已知質量為m2的粒子p的不穩定平衡位置的y坐標為y2 ，現設想把p放在坐標y3 處，然后從靜止開始釋放p求釋放后p能到達玻璃管底部的所有可能的y3（只要列出y3滿足的關系式，不必求解）p o1 o2s六、如圖所示，一半徑為r 、折射率為

8、ng的透明球體置于折射率n0 =1的空氣中，其球心位于圖中光軸的o處，左、右球面與光軸的交點為o1與o2 球體右半球面為一球面反射鏡，組成球形反射器光軸上o1點左側有一發光物點p ，p點到球面頂點o1的距離為s 由p點發出的光線滿足傍軸條件，不考慮在折射面上發生的反射1問發光物點p經此反射器，最后的像點位于何處？2當p點沿光軸以大小為v的速度由左向右勻速運動時，試問最后的像點將以怎樣的速度運動？并說明當球體的折射率ng 取何值時像點亦做勻速運動七、已知鈉原子從激發態（記做 p3 / 2）躍遷到基態（記做 s1 / 2）所發出的光譜線波長 0 =588.9965 nm 現有一團鈉原子氣，其中的鈉

9、原子做無規的熱運動（鈉原子的運動不必考慮相對論效應），被一束沿z軸負方向傳播的波長為 = 589.0080 nm 的激光照射以 表示鈉原子運動方向與z軸正方向之間的夾角（如圖所示）問在 30° 45° 角度區間內的鈉原子中速率u在什么范圍內能產生共振吸收，從s1 / 2 態激發到p3 / 2 態？并求共振吸收前后鈉原子速度（矢量）變化的大小已知鈉原子質量為m = 3.79 × 1026 kg ，普朗克常量h = 6.626069 × 1034 j s ，真空中的光速c = 2.997925 × 108 m s1 鈉原子激光束uz第24屆全國中學

10、生物理競賽決賽參考解答一、1分析剛碰后各球速度的方向由于d與b球發生彈性正碰，所以碰后d球的速度方向仍在y軸上；設其方向沿y軸正方向，大小為v 由于線不可伸長，所以在d ，b兩球相碰的過程中，a ，c兩球都將受到線給它們的沖量；又由于線是柔軟的，線對a ，c兩球均無垂直于線方向的作用力，因此剛碰后，a球的速度沿ab方向，c球的速度沿cb方向用表示b球的速度方向與x軸的夾角，則各球速度方向將如圖所示因為此時連接a ，b ，c三球的兩根線立即斷了，所以此后各球將做勻速直線運動2研究碰撞后各球速度的大小以v1 ，v2 ，v3 分別表示剛碰后a ，b ，c三球速度的大小，如圖所示因為碰撞過程中動量守恒

11、，所以沿x方向有mv1mv3 cos + mv2 cos = 0 ； （1）沿y方向有mv0 = mv mv2 sin mv3 sin （2）根據能量守恒有 mv = mv + mv + mv + mv2 （3）因為碰撞過程中線不可伸長，b ，c兩球沿bc方向的速度分量相等，a ，b兩球沿ab方向的速度分量相等，有v2 cos = v1 ， （4）v2 cos ( + ) = v3 （5）將 = / 3代入，由以上各式可解得v1 = v0 ， （6）v2 = v0 ， （7）v3 = v0 ， （8）v = v0 （9）3確定剛碰完后，a ，b ，c三球組成的系統質心的位置和速度由于碰撞時間極

12、短，剛碰后a ，b ，c三球組成的系統，其質心位置就是碰撞前質心的位置，以（xc ，yc）表示此時質心的坐標，根據質心的定義，有xc = ， （10）yc = （11）代入數據，得xc = l ， （12）yc = l （13）根據質心速度的定義，可求得碰后質心速度vc的分量為vcx = ， （14）vcy = （15）由（4）（7）和（14），（15）各式及值可得vcx = 0 ， （16）vcy = v0 （17）4討論碰后a ，b ，c三球組成的系統的質心和d球的運動剛碰后a ，b ，c三球組成的系統的質心將從坐標（xc = l / 6 ，yc = l / 6）處出發，沿y軸負方向以大小

13、為5 v0 / 12的速度做勻速直線運動；而d球則從坐標原點o出發，沿y軸正方向以大小為v0 / 4的速度做勻速直線運動a ，b ，c三球組成系統的質心與d球是平行反向運動，只要d球與c球不發生碰撞，則vc ，vd不變，質心與d球之間的距離逐漸減少到y坐標相同處時，它們相距最近用t表示所求的時間，則有vt = yc + vcy t （18）將vcy ，v ，yc的值代入，得t = （19）此時，d球與a ，b ，c三球組成系統的質心兩者相距l / 6 在求出（19）式的過程中，假設了在t = l / 4v0時間內c球未與d球發生碰撞下面說明此假設是正確的；因為v3 = v0 / 3 ，它在x方

14、向分量的大小為v0 / 6經過t時間，它沿x軸負方向經過的距離為l / 8 而c球的起始位置的x坐標為l / 2 經t時間后，c球尚未到達y軸，不會與d球相碰圖1bveprsea二、從地球表面發射宇宙飛船時，必須給飛船以足夠大的動能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合適的速度進入繞太陽運行的橢圓軌道此時，飛船離地球已足夠遠，但到太陽的距離可視為不變，仍為日地距離飛船在地球繞太陽運動的軌道上進入它的橢圓軌道，用e表示兩軌道的交點，如圖1所示圖中半徑為rse的圓a是地球繞太陽運行的軌道，太陽s位于圓心設橢圓b是飛船繞日運行的軌道，p為橢圓軌道的近日點由于飛船繞日運行的周期與地球繞日運行的周期相等，

15、根據開普勒第三定律，橢圓的半長軸a應與日地距離rse相等，即有a = rse （1）根據橢圓的性質，軌道上任一點到橢圓兩焦點的距離之和為2a ，由此可以斷定，兩軌道的交點e必為橢圓短軸的一個頂點，e與橢圓長軸和短軸的交點q（即橢圓的中心）的連線垂直于橢圓的長軸由esq ，可以求出半短軸b = （2）由（1），（2）兩式，并將a = rse = 1au ，= 0.01 au代入，得b = 0.141au （3）在飛船以橢圓軌道繞太陽運行過程中，若以太陽為參考系，飛船的角動量和機械能是守恒的設飛船在e點的速度為v ，在近日點的速度為vp ，飛船的質量為m ，太陽的質量為ms ，則有mva sin

16、= mvp ， （4）式中為速度v的方向與e ，s兩點連線間的夾角：sin = （5）由機械能守恒，得mv2 g = mv （6）因地球繞太陽運行的周期t是已知的（t = 365 d），若地球的質量為me ，則有g = me ( )2a （7）解（3）（7）式，并代入有關數據，得v = 29.8 km / s （8）（8）式給出的v是飛船在e點相對于太陽的速度的大小，即飛船在克服地球引力作用后從e點進入橢圓軌道時所必須具有的相對于太陽的速度若在e點飛船相對地球的速度為u ，因地球相對于太陽的公轉速度為ve = = 29.8 km / s ， （9）方向如圖1所示由速度合成公式，可知v = u

17、+ ve ， （10）圖2速度合成的矢量圖如圖2所示，注意到ve與垂直，有u = ， （11）代入數據，得u = 39.1 km / s （12）u是飛船在e點相對于地球的速度，但不是所要求的發射速度u0 為了求得u0 ，可以從與地心固定連接在一起的參考系來考察飛船的運動因飛船相對于地球的發射速度為u0時，飛船離地心的距離等于地球半徑re 當飛船相對于地球的速度為u時，地球引力作用可以忽略由能量守恒，有mu g = mu2 （13）地面處的重力加速度為g = g ， （14）解（13），（14）兩式，得u0 = （15）由（15）式及有關數據，得u0 = 40.7 km / s （16）如果飛

18、船在e點處以與圖示相反的方向進入橢圓軌道，則（11）式要做相應的改變此時，它應為u = ， （17）相應計算，可得另一解u = 45.0 km / s ， u0 = 46.4 km / s （18）如果飛船進入橢圓軌道的地點改在e點的對稱點處（即地球繞日軌道與飛船繞日軌道的另一個交點上），則計算過程相同，結果不變三、兩個彈簧串聯時，作為一個彈簧來看，其勁度系數k = （1）設活塞a下面有mol氣體當a的高度為h1時，氣體的壓強為p1 ，溫度為t1 由理想氣體狀態方程和平衡條件，可知p1sh1 = vrt1 ， （2）p1s = kh1 + mg （3）對氣體加熱后，當a的高度為h2時，設氣體壓

19、強為p2 ，溫度為t2 由理想氣體狀態方程和平衡條件，可知p2sh2 = vrt2 ， （4）p2s = kh2 + mg （5）在a從高度h1上升到h2的過程中，氣體內能的增量u = vr ( t2t1 ) （6）氣體對彈簧、活塞系統做的功w等于彈簧彈性勢能的增加和活塞重力勢能的增加，即w = k ( hh ) + mg (h2h1 ) （7）根據熱力學第一定律，有q =u + w （8）由以上各式及已知數據可求得q = h2 + mgh （9）四、1根據題意，當導體球與導體球殼間的電壓為u時，在距球心r（r1 r r2）處，電場強度的大小為e = （1）在r = r1 ，即導體球表面處，電

20、場強度最大以e（r1）表示此場強，有e ( r1) = （2）因為根據題意，e（r1）的最大值不得超過ek ，r2為已知，故（2）式可寫為ek = （3）或u = ek （4）由此可知，選擇適當的r1值，使(r2r1) r1最大，就可使絕緣子的耐壓u為最大不難看出，當 r1 = （5）時，u便是絕緣子能承受的電壓的最大值uk 由（4），（5）兩式得uk = ， （6）代入有關數據，得uk = 155 kv （7）當交流電壓的峰值等于uk時，絕緣介質即被擊穿這時，對應的交流電壓的有效值ue = 110 kv （8）2系統的等效電路如圖所示u0c2c2c2c2c1c1c1c1c0c0c0c03設絕

21、緣子串中間三點的電勢分別為u1 ，u2 ，u3 ，如圖所示由等效電路可知，與每個中間點相連的四塊電容極板上的電荷量代數和都應為零，即有 （9）u0c2c2c2c2c1c1c1c1c0c0c0c0u1u2u3四個絕緣子上的電壓之和應等于u0 ，即( u0u1 ) + ( u1u2 ) + ( u2u3 ) + u3 = u0 （10）設u1 = u0u1 ， u2 = u1u2 ，u3 = u2u3 ，u4 = u3 ， （11）則可由（9）式整理得代入數據，得 （12）解（12）式，可得u1 = 0.298 u0 ， u2 = 0.252 u0 ，u3 =0.228 u0 （13）由（10）（

22、12）式可得u4 =u3 = 0.222 u0 （14）以上結果表明，各個絕緣子承受的電壓不是均勻的；最靠近輸電線的絕緣子承受的電壓最大，此絕緣子最容易被擊穿當最靠近輸電線的絕緣子承受的電壓有效值u1 =ue （15）時，此絕緣子被擊穿，整個絕緣子串損壞由（8），（13）和（15）三式可知，絕緣子串承受的最大電壓u0max = = 369 kv （16）ygpmgrodxafey五、1如圖所示，位于坐標y處的帶電粒子p受到庫侖力fe為斥力，其y分量為fey = k sin = k ， （1）式中r為p到a的距離，為r與x軸的夾角可以看出，fey與y有關：當y較小時，（1）式分子中的y起主要作用

23、，fey隨y的增大而增大；當y較大時，（1）式分母中的y起主要作用，fey隨y的增大而減小可見，fey在隨y由小變大的過程中會出現一個極大值通過數值計算法，可求得fey隨y變化的情況令= y / d ，得fey = k （2）當取不同數值時，對應的( 1 +2)3 / 2的值不同經數值計算，整理出的數據如表1所示表10.1000.5000.6000.6500.7000.7070.7100.7500.800( 1 +2)3 / 20.09850.3560.3780.3820.3850.3850.3850.3840.381由表中的數據可知，當= 0.707，即y = y0 = 0.707d （3）

24、時，庫侖力的y分量有極大值，此極大值為feymax = 0.385k （4）由于帶電粒子p在豎直方向除了受到豎直向上的fey 作用外，還受到豎直向下的重力mg作用只有當重力的大小mg與庫侖力的y分量相等時，p才能平衡當p所受的重力mg大于feymax時，p不可能達到平衡故質量為m的粒子存在平衡位置的條件是mg feymax 由（4）式得m k （5）2y (m) 0.707d ；0y (m)0.707d 3根據題意，當粒子p靜止在y = y1處時，處于穩定平衡位置，故有m1g = 0 （6）設想給粒子p沿y軸的一小擾動y ，則p在y方向所受的合力為fy = fey m1g = k m1g （7

25、）由于y為一小量，可進行近似處理，忽略高階小量，有fy = k m1g = k ( 1 )m1g= k + k k m1g 注意到（6）式，得fy = y （8）因y = y1是粒子p的穩定平衡位置，故y10.707d ，2yd20 由（8）式可知，粒子p在y方向受到合力具有恢復力的性質，故在其穩定平衡位置附近的微小振動是簡諧運動；其圓頻率為= ， （9）周期為t = =2 （10）4粒子p處在重力場中，具有重力勢能；它又處在點電荷a的靜電場中，具有靜電勢能當p的坐標為y時，其重力勢能wg = m2gy ，式中取坐標原點o處的重力勢能為零；靜電勢能we = k 粒子的總勢能w = wg + w

26、e = m2gy + k （11）勢能也與p的y坐標有關：當y較小時，靜電勢能起主要作用，當y較大時，重力勢能起主要作用在p的穩定平衡位置處，勢能具有極小值；在p的不穩定平衡位置處，勢能具有極大值根據題意，y = y2處是質量為m2的粒子的不穩定平衡位置，故y = y2處，勢能具有極大值，即w ( y2 ) = wmax = m2gy2 + k （12）當粒子p的坐標為y3時，粒子的勢能為w ( y3 ) = m2gy3 + k 當y3 y2時，不論y3取何值，粒子從靜止釋放都能到達管底若y3 y2 ，粒子從靜止釋放能夠到達管底，則有w ( y3 ) w ( y2 ) 所以，y3滿足的關系式為

27、y3 y2 ； （13）或者y3 y2 且 m2gy3 + k m2gy2 + k （14）附：（1）式可表示為fey = k sin = k cos2sin ， 式中為p，a之間的連線和x軸的夾角由上式可知，帶電粒子p在 = 0 ， / 2時，fey = 0 在0 / 2區間，隨著的增大，sin是遞增函數，cos2是遞減函數在此區間內，fey必存在一個極大值feymax ；用數值法求解，可求得極大值所對應得角度0 經數個計算整理出的數據如表2所示表2 / rad0. 0100.4640.5400.5760.6110.6150.6170.6440.675cos2sin0.0290.3670.3

28、780.3830.3850.3850.3850.3840.381由表中數值可知，當 = 00.615 rad（即35.26°）時，fey取極大值feymax = k cos20sin0 = 0.385 k 帶電粒子p在豎直方向上還受到重力g的作用，其方向與fey相反故帶電粒子p受到的合力f = fey g = k cos2sin mg 當f = 0 ，即fey = g 時，p處于平衡狀態由此可見，當帶電粒子的質量m = 時，可以在y軸上找到平衡點六、1單球面折射成像公式可寫成 + = ， （1）式中s為物距，s 為像距，r為球面半徑，n和n 分別為入射光和折射光所在介質的折射率在本題

29、中，物點p經反射器的成像過程是：先經過左球面折射成像（第一次成像）；再經右球面反射成像（第二次成像）；最后再經左球面折射成像（第三次成像）（1）第一次成像令s1和s1分別表示物距和像距因s1 = s ，n = n0 = 1 ，n = ng ，r = r ，有 + = ， （2）即s1 = （3）（2）第二次成像用s2 表示物距，s2 表示像距，有 + = （4）因s2 = 2r s1 ，r = r ，由（3），（4）兩式得s2 = （5）（3）第三次成像用s3 表示物距，s3 表示像距，有 + = （6）因s3 = 2r s2 ，n0 = 1 ，r = r ，由（5），（6）兩式得s3 = （

30、7）2以 v 表示像的速度，則 （8）由于s 很小，分母中含有s的項可以略去，因而有v = （9）根據題意，p從左向右運動，速度大小為 v ，則有v = （10）由此可得，像的速度v = （11）可見，像的速度與 s 有關，一般不做勻速直線運動，而做變速直線運動當n =2 （12）時，（11）式分母括號中的頭兩項相消，v 將與 s 無關這表明像也將做勻速直線運動；而且（11）式變為 v = v ，即像的速度和p的速度大小相等七、解法一根據已知條件，射向鈉原子的激光的頻率v = （1）對運動方向與 z 軸正方向的夾角為 、速率為 u 的鈉原子，由于多普勒效應，它接收的激光頻率v = v ( 1 + cos )； （2）改用波長表示，有 = （3）發生共振吸收時，應有 = 0 ，即 = 0 （4）解（4）式，得ucos = c ； （5）代入有關數據，得ucos = 5.85 × 103 m s1 （6）由（6）式，對 =30° 的鈉原子，其速率u1 = 6.76 × 103 m s1 ；對 = 45° 的鈉原子，其速率u2 = 8.28 × 103 m s1 運動方向與 z 軸的夾角在 30°45° 區域內的原子中，能發