1、2008年江蘇省高考數學試卷一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1（5分）（2008江蘇）若函數最小正周期為，則=_2（5分）（2008江蘇）若將一顆質地均勻的骰子（一種各面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具），先后拋擲兩次，則出現向上的點數之和為4的概率是_3（5分）（2008江蘇）若將復數表示為a+bi（a，br，i是虛數單位）的形式，則a+b=_4（5分）（2008江蘇）若集合a=x|（x1）23x+7，xr，則az中有_個元素5（5分）（2008江蘇）已知向量和的夾角為120°，則=_6（5分）（2008江蘇）在平面直角坐標系xoy中，設d是橫坐標與

2、縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區域，e是到原點的距離不大于1的點構成的區域，向d中隨機投一點，則所投點在e中的概率是_7（5分）（2008江蘇）某地區為了解7080歲的老人的日平均睡眠時間（單位：h），隨機選擇了50位老人進行調查，下表是這50位老人睡眠時間的頻率分布表：序號i分組（睡眠時間）組中值（gi）頻數（人數）頻率（fi）14，5）4.560.1225，6）5.5100.2036，7）6.5200.4047，8）7.5100.2058，98.540.08在上述統計數據的分析中一部分計算見算法流程圖，則輸出的s的值為_8（5分）（2008江蘇）設直線y=x+b是曲線y=lnx（x0）

3、的一條切線，則實數b的值為 _9（5分）（2008江蘇）如圖，在平面直角坐標系xoy中，設三角形abc的頂點分別為a（0，a），b（b，0），c（c，0），點p（0，p）在線段ao上的一點（異于端點），這里a，b，c，p均為非零實數，設直線bp，cp分別與邊ac，ab交于點e，f，某同學已正確求得直線oe的方程為，請你完成直線of的方程：_10（5分）（2008江蘇）將全體正整數排成一個三角形數陣：按照以上排列的規律，第n行（n3）從左向右的第3個數為_11（5分）（2008江蘇）設x，y，z為正實數，滿足x2y+3z=0，則的最小值是_12（5分）（2008江蘇）在平面直角坐標系xoy中，橢

4、圓的焦距為2c，以o為圓心，a為半徑作圓m，若過作圓m的兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為_13（5分）（2008江蘇）滿足條件ab=2，ac=bc的三角形abc的面積的最大值是_14（5分）（2008江蘇）f（x）=ax33x+1對于x1，1總有f（x）0成立，則a=_二、解答題（共12小題，滿分90分）15（15分）（2008江蘇）如圖，在平面直角坐標系xoy中，以ox軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別交單位圓于a，b兩點已知a，b兩點的橫坐標分別是，（1）求tan（+）的值；（2）求+2的值16（15分）（2008江蘇）如圖，在四面體abcd中，cb=cd，adbd，點e，f分別是ab，

5、bd的中點求證：（1）直線ef面acd；（2）平面efc面bcd17（15分）（2008江蘇）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形abcd的兩個頂點a，b及cd的中點p處ab=20km，bc=10km為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界）且與a，b等距的一點o處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道ao，bo，po記鋪設管道的總長度為ykm（1）按下列要求建立函數關系式：（i）設bao=（rad），將y表示成的函數；（ii）設op=x（km），將y表示成x的函數；（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短18（15分）（2008江蘇）

6、在平面直角坐標系xoy中，記二次函數f（x）=x2+2x+b（xr）與兩坐標軸有三個交點經過三個交點的圓記為c（1）求實數b的取值范圍；（2）求圓c的方程；（3）問圓c是否經過定點（其坐標與b的無關）？請證明你的結論19（15分）（2008江蘇）（1）設a1，a2，an是各項均不為零的n（n4）項等差數列，且公差d0，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列（i）當n=4時，求的數值；（ii）求n的所有可能值（2）求證：對于給定的正整數n（n4），存在一個各項及公差均不為零的等差數列b1，b2，bn，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列20（15分）（2008江蘇）

7、已知函數，（xr，p1，p2為常數）函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，（1）求f（x）=f1（x）對所有實數x成立的充分必要條件（用p1，p2表示）；（2）設a，b是兩個實數，滿足ab，且p1，p2（a，b）若f（a）=f（b），求證：函數f（x）在區間a，b上的單調增區間的長度之和為（閉區間m，n的長度定義為nm）21（2008江蘇）如圖，abc的外接圓的切線ae與bc的延長線相交于點e，bac的平分線與bc交于點d求證：ed2=ebec22（2008江蘇）在平面直角坐標系xoy中，設橢圓4x2+y2=1在矩陣對應的變換作用下得到曲線f，求f的方程23（2008江蘇）在平面直角坐標系x

8、oy中，點p（x，y）是橢圓上的一個動點，求s=x+y的最大值24（2008江蘇）設a，b，c為正實數，求證：25（2008江蘇）記動點p是棱長為1的正方體abcda1b1c1d1的對角線bd1上一點，記當apc為鈍角時，求的取值范圍26（2008江蘇）請先閱讀：在等式cos2x=2cos2x1（xr）的兩邊求導，得：（cos2x）=（2cos2x1），由求導法則，得（sin2x）2=4cosx（sinx），化簡得等式：sin2x=2cosxsinx（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（1+x）n=cn0+cn1x+cn2x2+cnnxn（xr，正整數n2），證明：（2）對于正整數n3

9、，求證：（i）；（ii）；（iii）2008年江蘇省高考數學試卷參考答案與試題解析一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1（5分）考點：三角函數的周期性及其求法4664233專題：計算題分析：根據三角函數的周期公式，即t=可直接得到答案解答：解：.故答案為：10點評：本小題考查三角函數的周期公式，即t=2（5分）考點：古典概型及其概率計算公式4664233專題：計算題分析：分別求出基本事件數，“點數和為4”的種數，再根據概率公式解答即可解答：解析：基本事件共6×6個，點數和為4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3個，故故填：點評：本小題考查古典概型及其概率計算公式，考

10、查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件a出現m種結果，那么事件a的概率p（a）=3（5分）考點：復數的基本概念；復數代數形式的乘除運算4664233專題：計算題分析：利用復數除法的法則：分子分母同乘以分母的共軛復數解答：解：，a=0，b=1，因此a+b=1故答案為1點評：本小題考查復數的除法運算4（5分）考點：交集及其運算4664233分析：先化簡集合a，即解一元二次不等式（x1）23x+7，再與z求交集解答：解：由（x1）23x+7得x25x60，a=（1，6），因此az=0，1，2，3，4，5，共有6個元素故答案是 6點評：本小題考查集合的運算和解一元二次

11、不等式5（5分）考點：向量的模4664233專題：計算題分析：根據向量的數量積運算公式得，化簡后把已知條件代入求值解答：解：由題意得，=，=7故答案為：7點評：本小題考查向量模的求法，即利用數量積運算公式“”進行求解6（5分）考點：古典概型及其概率計算公式4664233專題：計算題分析：本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是區域d表示邊長為4的正方形的內部（含邊界），滿足條件的事件表示單位圓及其內部，根據幾何概型概率公式得到結果解答：解析：本小題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是區域d表示邊長為4的正方形的內部（含邊界），面積是42=16，滿足條件的事件表示單位圓及其內部，面積是×

12、;12根據幾何概型概率公式得到故答案為：點評：本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到，本題是通過兩個圖形的面積之比得到概率的值本題可以以選擇和填空形式出現7（5分）考點：頻率分布表；工序流程圖（即統籌圖）4664233專題：圖表型分析：觀察算法流程圖知，此圖包含一個循環結構，即求g1f1+g2f2+g3f3+g4f4+g5f5的值，再結合直方圖中數據即可求解解答：解：由流程圖知：s=g1f1+g2f2+g3f3+g4f4+g5f5=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0

13、.08=6.42，故填：6.42點評：本題考查讀頻率分布直方圖、算法流程圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力利用圖表獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究圖表，才能作出正確的判斷和解決問題8（5分）考點：利用導數研究曲線上某點切線方程4664233專題：計算題分析：欲實數b的大小，只須求出切線方程即可，故先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，最后求出切線方程與已知直線方程對照即可解答：解：y=（lnx）=，令=得x=2，切點為（2，ln2），代入直線方程y=x+b，ln2=×2+b，b=ln21故答案為：ln21點評：本小題主要考查直線的方程、導數的幾

14、何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力屬于基礎題9（5分）考點：直線的一般式方程；歸納推理4664233專題：轉化思想分析：本題考查的知識點是類比推理，我們類比直線oe的方程為，分析a（0，a），b（b，0），c（c，0），p（0，p），我們可以類比推斷出直線of的方程為：解答：解：由截距式可得直線ab：，直線cp：，兩式相減得，顯然直線ab與cp的交點f滿足此方程，又原點o也滿足此方程，故為所求直線of的方程故答案為：點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）10（5

15、分）考點：歸納推理；等比數列的前n項和4664233專題：壓軸題；規律型分析：觀察圖例，我們可以得到每一行的數放在一起，是從一開始的連續的正整數，故n行的最后一個數，即為前n項數據的個數，故我們要判斷第n行（n3）從左向右的第3個數，可先判斷第n1行的最后一個數，然后遞推出最后一個數據解答：解：本小題考查歸納推理和等差數列求和公式前n1行共有正整數1+2+（n1）個，即個，因此第n行第3個數是全體正整數中第+3個，即為點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）11（5分）考點：基本不等式4664233分析：由

16、x2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可解答：解：x2y+3z=0，=，當且僅當x=3z時取“=”故答案為3點評：本小題考查了二元基本不等式，運用了消元的思想，是高考考查的重點內容12（5分）考點：橢圓的簡單性質4664233專題：計算題；壓軸題分析：抓住oap是等腰直角三角形，建立a，c的關系，問題迎刃而解解答：解：設切線pa、pb互相垂直，又半徑oa垂直于pa，所以oap是等腰直角三角形，故，解得，故答案為點評：本題考查了橢圓的離心率，有助于提高學生分析問題的能力13（5分）考點：三角形中的幾何計算4664233專題：計算題；壓軸題分析：設bc=x，根據面積公式用x

17、和sinb表示出三角形的面積，再根據余弦定理用x表示出sinb，代入三角形的面積表達式，進而得到關于x的三角形面積表達式，再根據x的范圍求得三角形面積的最大值解答：解：設bc=x，則ac=x，根據面積公式得sabc=abbcsinb=×2x，根據余弦定理得cosb=，代入上式得sabc=x=，由三角形三邊關系有，解得22x2+2故當x=2時，sabc取得最大值2點評：本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用當涉及最值問題時，可考慮用函數的單調性和定義域等問題14（5分）考點：利用導數求閉區間上函數的最值4664233專題：計算題；壓軸題分析：這類不等式在某個區間上恒成立的問

18、題，可轉化為求函數最值的問題，本題要分三類：x=0，x0，x0等三種情形，當x=0時，不論a取何值，f（x）0都成立；當x0時有a，可構造函數g（x）=，然后利用導數求g（x）的最大值，只需要使ag（x）max，同理可得x0時的a的范圍，從而可得a的值解答：解：若x=0，則不論a取何值，f（x）0都成立；當x0即x（0，1時，f（x）=ax33x+10可化為：a設g（x）=，則g（x）=，所以g（x）在區間（0，上單調遞增，在區間，1上單調遞減，因此g（x）max=g（）=4，從而a4；當x0即x1，0）時，f（x）=ax33x+10可化為：a，g（x）=在區間1，0）上單調遞增，因此g（x）

19、min=g（1）=4，從而a4，綜上a=4答案為：4點評：本題考查的是含參數不等式的恒成立問題，考查分類討論，轉化與化歸的思想方法，利用導數和函數的單調性求函數的最大值，最小值等知識與方法在討論時，容易漏掉x=0的情形，因此分類討論時要特別注意該問題的解答二、解答題（共12小題，滿分90分）15（15分）考點：兩角和與差的正切函數4664233分析：（1）先由已知條件得；再求sin、sin進而求出tan、tan；最后利用tan（+）=解之（2）利用第一問把tan（+2）轉化為tan（+）+求之，再根據+2的范圍確定角的值解答：解：（1）由已知條件即三角函數的定義可知，因為為銳角，則sin0，從

20、而同理可得，因此所以tan（+）=；（2）tan（+2）=tan（+）+=，又，故，所以由tan（+2）=1得點評：本題主要考查正切的和角公式與轉化思想16（15分）考點：直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定4664233專題：證明題分析：（1）根據線面平行關系的判定定理，在面acd內找一條直線和直線ef平行即可，根據中位線可知efad，ef面acd，ad面acd，滿足定理條件；（2）需在其中一個平面內找一條直線和另一個面垂直，由線面垂直推出面面垂直，根據線面垂直的判定定理可知bd面efc，而bd面bcd，滿足定理所需條件解答：證明：（1）e，f分別是ab，bd的中點ef是abd的中位線

21、，efad，ef面acd，ad面acd，直線ef面acd；（2）adbd，efad，efbd，cb=cd，f是bd的中點，cfbd又efcf=f，bd面efc，bd面bcd，面efc面bcd點評：本題主要考查線面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力17（15分）考點：在實際問題中建立三角函數模型4664233分析：（1）（i）根據題意知pq垂直平分ab，在直角三角形中由三角函數的關系可推得op，從而得出y的函數關系式，注意最后要化為最簡形式，確定自變量范圍（ii）已知op，可得出oq的表達式，由勾股定理推出oa，易得y的函數關系式（2）欲確定

22、污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短也就是最小值問題，（1）中已求出函數關系式，故可以利用導數求解最值，注意結果應與實際情況相符合解答：解：（）由條件知pq垂直平分ab，若bao=（rad），則，故，又op=1010tan，所以，所求函數關系式為若op=x（km），則oq=10x，所以oa=ob=所求函數關系式為（）選擇函數模型，令y=0得sin，因為，所以=，當時，y0，y是的減函數；當時，y0，y是的增函數，所以當=時，這時點p位于線段ab的中垂線上，在矩形區域內且距離ab邊km處點評：本小題主要考查函數最值的應用生活中的優化問題，往往涉及到函數的最值，求最值可利用單調性，也可直

23、接利用導數求最值，要掌握求最值的方法和技巧在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域，利用求函數最值的方法求解，注意結果應與實際情況相符合用導數求解實際問題中的最大（小）值時，如果函數在區間內只有一個極值點，那么根據實際意義該極值點也就是最值點18（15分）考點：二次函數的圖象；圓的標準方程4664233專題：計算題分析：（1）由題意知，由拋物線與坐標軸有三個交點可知拋物線不過原點即b不等于0，然后拋物線與x軸有兩個交點即令f（x）=0的根的判別式大于0即可求出b的范圍；（2）設出圓的一般式方程，根據拋物線與坐標軸的交點坐標可知：令y=0得到與f（

24、x）=0一樣的方程；令x=0得到方程有一個根是b即可求出圓的方程；（3）設圓的方程過定點（x0，y0），將其代入圓的方程得x02+y02+2x0y0+b（1y0）=0，因為x0，y0不依賴于b得取值，所以得到1y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0y0=0中即可求出定點的坐標解答：解：（1）令x=0，得拋物線與y軸交點是（0，b）；令f（x）=x2+2x+b=0，由題意b0且0，解得b1且b0（2）設所求圓的一般方程為x2+y2+dx+ey+f=0令y=0得x2+dx+f=0這與x2+2x+b=0是同一個方程，故d=2，f=b令x=0得y2+ey+f=0，方程有一個根為b，代入得出e=

25、b1所以圓c的方程為x2+y2+2x（b+1）y+b=0（3）圓c必過定點，證明如下：假設圓c過定點（x0，y0）（x0，y0不依賴于b），將該點的坐標代入圓c的方程，并變形為x02+y02+2x0y0+b（1y0）=0（*）為使（*）式對所有滿足b1（b0）的b都成立，必須有1y0=0，結合（*）式得x02+y02+2x0y0=0，解得經檢驗知，（2，1）均在圓c上，因此圓c過定點點評：本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法是一道綜合題19（15分）考點：等差數列的性質；等比關系的確定；等比數列的性質4664233專題：探究型；分類討論；反證法分析：（1）根據題意，對n=4，n=5

26、時數列中各項的情況逐一討論，利用反證法結合等差數列的性質進行論證，進而推廣到n4的所有情況（2）利用反證法結合等差數列的性質進行論證即可解答：解：（1）當n=4時，a1，a2，a3，a4中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項成等比數列，則推出d=0若刪去a2，則a32=a1a4，即（a1+2d）2=a1（a1+3d）化簡得a1+4d=0，得若刪去a3，則a22=a1a4，即（a1+d）2=a1（a1+3d）化簡得a1d=0，得綜上，得或當n=5時，a1，a2，a3，a4，a5中同樣不可能刪去a1，a2，a4，a5，否則出現連續三項若刪去a3，則a1a5=a2a4，即a1（a1+4d）=

27、（a1+d）（a1+3d）化簡得3d2=0，因為d0，所以a3不能刪去；當n6時，不存在這樣的等差數列事實上，在數列a1，a2，a3，an2，an1，an中，由于不能刪去首項或末項，若刪去a2，則必有a1an=a3an2，這與d0矛盾；同樣若刪去an1也有a1an=a3an2，這與d0矛盾；若刪去a3，an2中任意一個，則必有a1an=a2an1，這與d0矛盾（或者說：當n6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續的三項）綜上所述，n=4（2）假設對于某個正整數n，存在一個公差為d的n項等差數列b1，b2，bn，其中bx+1，by+1，bz+1（0xyzn1）為任意三項成等比數列，則b2y+1=

28、bx+1bz+1，即（b1+yd）2=（b1+xd）（b1+zd），化簡得（y2xz）d2=（x+z2y）b1d（*）由b1d0知，y2xz與x+z2y同時為0或同時不為0當y2xz與x+z2y同時為0時，有x=y=z與題設矛盾故y2xz與x+z2y同時不為0，所以由（*）得因為0xyzn1，且x、y、z為整數，所以上式右邊為有理數，從而為有理數于是，對于任意的正整數n（n4），只要為無理數，相應的數列就是滿足題意要求的數列例如n項數列1，滿足要求點評：本題是一道探究性題目，考查了等差數列和等比數列的通項公式，以及學生的運算能力和推理論證能力20（15分）考點：指數函數綜合題4664233專題

29、：計算題；壓軸題；分類討論分析：（1）根據題意，先證充分性：由f（x）的定義可知，f（x）=f1（x）對所有實數成立，等價于f1（x）f2（x）對所有實數x成立等價于，即對所有實數x均成立，分析容易得證；再證必要性：對所有實數x均成立等價于，即|p1p2|log32，（2）分兩種情形討論：當|p1p2|log32時，由中值定理及函數的單調性得到函數f（x）在區間a，b上的單調增區間的長度；當|p1p2|log32時，a，b是兩個實數，滿足ab，且p1，p2（a，b）若f（a）=f（b），根據圖象和函數的單調性得到函數f（x）在區間a，b上的單調增區間的長度解答：解：（1）由f（x）的定義可知，

30、f（x）=f1（x）（對所有實數x）等價于f1（x）f2（x）（對所有實數x）這又等價于，即對所有實數x均成立（*）由于|xp1|xp2|（xp1）（xp2）|=|p1p2|（xr）的最大值為|p1p2|，故（*）等價于，即|p1p2|log32，這就是所求的充分必要條件（2）分兩種情形討論（i）當|p1p2|log32時，由（1）知f（x）=f1（x）（對所有實數xa，b）則由f（a）=f（b）及ap1b易知，再由的單調性可知，函數f（x）在區間a，b上的單調增區間的長度為（參見示意圖）（ii）|p1p2|log32時，不妨設p1p2，則p2p1log32，于是當xp1時，有，從而f（x）=

31、f1（x）；當xp2時，有從而f（x）=f2（x）；當p1xp2時，及，由方程解得f1（x）與f2（x）圖象交點的橫坐標為（1）顯然，這表明x0在p1與p2之間由（1）易知綜上可知，在區間a，b上，（參見示意圖）故由函數f1（x）及f2（x）的單調性可知，f（x）在區間a，b上的單調增區間的長度之和為（x0p1）+（bp2），由于f（a）=f（b），即，得p1+p2=a+b+log32（2）故由（1）、（2）得綜合（i）（ii）可知，f（x）在區間a，b上的單調增區間的長度和為點評：考查學生理解充分必要條件的證明方法，用數形結合的數學思想解決問題的能力，以及充分必要條件的證明方法21（2008

32、江蘇）考點：與圓有關的比例線段；二階行列式與逆矩陣；簡單曲線的極坐標方程；不等式的證明4664233分析：根據已知ea是圓的切線，ac為過切點a的弦得兩個角相等，再結合角平分線條件，從而得到ead是等腰三角形，再根據切割線定理即可證得解答：證明：因為ea是圓的切線，ac為過切點a的弦，所以cae=cba又因為ad是Ðbac的平分線，所以bad=cad所以dae=dac+eac=bad+cba=ade所以，ead是等腰三角形，所以ea=ed又ea2=eceb，所以ed2=ebec點評：此題主要是運用了弦切角定理的切割線定理注意：切線長的平方應是eb和ec的乘積22（2008江蘇）考點：

33、圓的標準方程；矩陣變換的性質4664233專題：計算題分析：由題意先設橢圓上任意一點p（x0，y0），根據矩陣與變換的公式求出對應的點p（x0，y0），得到兩點的關系式，再由點p在橢圓上代入化簡解答：解：設p（x0，y0）是橢圓上任意一點，則點p（x0，y0）在矩陣a對應的變換下變為點p（x0，y0）則有，即，所以又因為點p在橢圓上，故4x02+y02=1，從而（x0）2+（y0）2=1所以，曲線f的方程是x2+y2=1點評：本題主要考查了矩陣與變換的運算，結合求軌跡方程得方法：代入法求解；是一個較綜合的題目23（2008江蘇）考點：橢圓的參數方程4664233專題：計算題；轉化思想分析：先根據橢圓的標準方程進行三角代換表示橢圓上任意一點，然后利用三