1、一九八四年一、 選擇題1 若|-a|-a，則（a）a0； （b）a0； （c）a-1； （d）-1a0；（e）以上結(jié)論都不對。答（ ）2 以線段a=16，b=13，c=10，d=6為邊，且使ac作四邊形，這樣的四邊形（a）能作一個；（b）能作二個；（c）能作三個；（d）能作無數(shù)多個；（e）不能作。答（ ）3 周長相同的正三角形、正方形、正六邊形的面積分別是s3，s4，s6，則（a）s3s4s6（b）s6s4s3（c）s6s3s4（d）s3s6s4（e）s4s6s3答（ ）4 如圖，直線l1和l2上點的坐標(biāo)（x，y）滿足關(guān)系式（a）|x|+|y|=0；（b）|x|+=1；（c）x2-|y|=1；

2、（d）|x|+|y|=0；（e）x-|y|=0 l1 y l2 45° 45° o x5 方程x2+1984513x+3154891=0（a）沒有實數(shù)根；（b）有整數(shù)根；（c）有正數(shù)根；（d）兩根的倒數(shù)和小于-1；（e）以上結(jié)論都不對。答（ ）6 abc的三條外角平分線相交成一個lmn，則lmn（a）一定是直角三角形；（b）一定是鈍角三角形；（c）一定是銳角三角形；（d）不一定是銳角三角形；（e）一定不是銳角三角形。答（ ）7 已知方程2x2+kx-2k+1=0的兩實根的平方和為29/4，則k的值為（a）3；（b）-11；（c）3或-11；（d）11；（e）以上結(jié)論都不對。

3、答（ ）8 一個兩位數(shù)，交換它的十位數(shù)字與個位數(shù)字所得的兩位數(shù)是原來數(shù)的7/4倍，則這樣的兩位數(shù)有（a）1個；（b）2個；（c）4個；（d）無數(shù)多個；（e）0個。答（ ）9 半徑為13和半徑為5的兩個圓相交，圓心距為12，則這兩圓公共弦長為（a）3；（b）65/6；（c）4；（d）10；（e）以上結(jié)論都不對。答（ ）10 下列哪一個數(shù)一定不是某個自然數(shù)的平方（其中n為自然數(shù)）（a）3n2-3n+3；（b）4n2+4n+4；（c）5n2-5n-5；（d）7n2-7n+7；（e）11n2+11n-11。答（ ）二、 試推導(dǎo)出一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式。三、 已知：a=6lg

4、p+lgq，其中p、q為質(zhì)數(shù)，且滿足q-p=29。 求證：3a4。四、 已知：如圖，ab=bc=ca=ad，ahcd于h，cpbc交ah于p。求證：abc的面積s=ap·bd。 a p d h b c五、 在銳角abc中，ac=1，ab=c，abc的外接圓半徑長r1。求證： cosaccosa+sina。六、 有兩種重量（設(shè)分別為p與q，且pq）的球五個，涂紅、白、黑三種顏色，其中，兩個紅球重量不同；兩個白球重量也不同；一個黑球不知它的重量是p還是q。由于從外形上不能確定球的輕重，請你用一臺無砝碼的天平（只能比較輕重，不能稱出具體重量）稱兩次，將5個球的輕重都區(qū)分出來。試敘述你的稱球

5、辦法，并說明理由。提示：用天平稱球比較重量的結(jié)果，可用等號或不等號表示。一選擇題1（a）若a0，則|-a|0，-a0，因此，|-a|-a成立。 102（e） c假設(shè)能作，如圖1所示，在abc中， 13 b 6 d三邊之長分別為6，6，13，此時兩邊 a b 6 c之和小于第三邊，故不能作。 圖13（b）設(shè)相同的周長為12l（l0），則它們的面積分別是s3=1/2×4l×4l×sin60°=4l2， s4=4l×4l=9 l2， s6=6l2， s6s4s34（d）由已給圖像可得x=y，x=-y，即|x|=|y|。 |x|-|y|=0。5（e）由

6、判別式0，否定（a）；由不是完全平方數(shù)及求根公式否定（b）；由各項系數(shù)都是正數(shù)否定（c）；由，否定（d）。6（c） l a n如圖2，l，m，n是abc外角平分線的交點，則lab=1/2（b+c），lba=1/2（a+c）， lab+lba=1/2（b+c）+1/2（a+c） b c 1/2=（a+b+2c）=90°+1/2c90° m故l90°，即為銳角。 圖2同理m，n也為銳角。亦即lmn為銳角三角形。7（a）由于方程有兩實根，則 =k2-4·2（-2k+1）0。 由兩根平方和為29/4，則 x21+x22=29/4 由，有 k2+16k-80，解得

7、k-8-6或k-8+6 由，有x21+x22=（x1+x2）2- 2x1x2=，即為 k2+8k-33=0。 解得k=3或k=-11。但k=-11不符合的范圍，所以k=3為所求。8（c）設(shè)原數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則7/4（10a+b）=10b+a，即2a=b。 1a，b9， a=1，2，3，4。則b=2，4，6，8。故符合條件的數(shù)是12，24，36，48共四個。9（d）設(shè)大圓半徑（兩圓交點到圓心）與連心線的夾角的，顯然90°，于是從而公共弦長為2·13·sin=2·13·=1010（b）3n2-3n+3=3（n2-n+1），若令n2-

8、n+1=3，這樣當(dāng)n=2時，3n2-3n+3是3的平方。同理當(dāng)n=3時5n2-5n-5是5的平方； n=3時7n2-7n+7是7的平方； n=3時11n2+11n-11是11的平方。由此可否定（a）、（c）、（d）、（e），故應(yīng)選（b）。一、 ax2+bx+c=0（a0） 方程兩邊可以都除以a，得兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，得當(dāng)b2-4ac0時，得二、 證明 q-p=29， p，q為一奇一偶。又 p，q為質(zhì)數(shù)， p=2，q=31。因此 a=6lg2+lg31=lg（26×31）=lg1984。大于1000的四位數(shù)的對數(shù)的首數(shù)為3，尾數(shù)是小于1的正小數(shù)。lg1984的首數(shù)為3，尾數(shù)

9、是小于1的正小數(shù)。故得 3a4。三、 證法1 如圖3，作aebc交bc于e，則e是bc的中點又h是cd的中點，連eh，則有ehbd。hec=dbc。 ahcd，aebc， a，h，c，e四點共圓。hac=hec=dbc。又eac=ehc=bdc=30°，pca=90°-60°=30°， a pca=bdc， 從而acpbdc。 p d得 ap·bd=bc·ac。 b e c h sabc=bc·ac·sin60°=ap·bd。 圖3證法2 如圖4，設(shè)bd與ah交于q，則由ac=ad，ahcd，得

10、acq=adq， ab=ad， aadq=abq，abq=acq。 p q因此 a，b，c，q四點共圓。 b h daqb=acb=60°， dqh=60°， 又 qhd= 90°， cbdc=90°-60°=30°。 圖4acp=90°-60°=30°，acp=bdc 又 apc=90°+pch， bcd=90°+pch， apc=bcd。 由、得apcbcd。 即 bc2=ac·bc=ap·bd。 sabc=bc2sabc=ap·bd。四、 證明 如圖

11、5，由余弦定理，得bc2=ac2+ab2-2ab·accosa=12+c2-2ccosa，又由正弦定理，得bc2=4r2sin2a，于是12+c2-2ccosa=4r2sin2a。r1，又r是正數(shù)， r21。從而12+c2-2ccosa=4r2sin2a4r2sin2a， a 即c2-（2cosa）c+1-4r2sin2a0。 d解得 cosa- sinaccosa+ sina。過c作cdab于d， b 圖5 cabc是銳角三角形，則d在ab上，從而ab=cad=ac cosa= cosacosaccosa+ sina。五、 分別用x1和x2表示兩個紅球重量，y1和y2表示兩個白球重

12、量，z表示黑球重量。將x1+z與x2+ y1通過天平進行比較（第一次稱），結(jié)果可分三種情況：情況1 x1+z=x2+ y1因為 x1x2 所以zy1。解法1 將z與y1用天平進行比較（第二次稱）：當(dāng)zy1，得z=p，y1=q，y2=p，x1=q，x2=p；當(dāng)zy1，得z=q，y1=p，y2=q，x1=p，x2=q。解法2 也可以將z與x1進行比較：z=x1（不可能）當(dāng)zx1，得z=p，x1=q，x2=p ，y1=q，y2=p；當(dāng)zx1，得z=q，x1=p，x2=q ，y1=p，y2=q。情況2 x1+zx2+ y1此時必有 x1x2即 x1=q，x2=p（否則有x1+zp+qx2+ y1并且zy1（否則有x1+z=p+q=x2+ y1）現(xiàn)將z與y2進行比較（第二次稱）：當(dāng)zy2，得z=p，y1=p，y2=q；當(dāng)zy2，只能z=q，y1=q，y2=p；當(dāng)z=y2，從zy1，只能z=p，y1=q，y2=p。解法3 也可以將x1+x2與y1+z進行比較（第二次稱）：當(dāng)