1、1 / 10 絕密 啟用前 2017 年普通高等學校招生全國統一考試年普通高等學校招生全國統一考試 文科數學 注意事項: 1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。 2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。 3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題:本題共 12 小題,每小題 5 分,共 60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。 1.(2017 全國 3,文 1)已知集合 a=1,2,3,4,b=2,4,6,8

2、,則 ab中元素的個數為( ) a.1 b.2 c.3 d.4 解析由題意可得 ab=2,4,則 ab中有 2 個元素.故選 b. 答案 b 2.(2017 全國 3,文 2)復平面內表示復數 z=i(-2+i)的點位于( ) a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 解析由題意可得 z=-1-2i,在復平面內對應點(-1,-2),則該點位于第三象限.故選 c. 答案 c 3.(2017 全國 3,文 3)某城市為了解游客人數的變化規律,提高旅游服務質量,收集并整理了 2014 年 1月至 2016 年 12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數據,繪制了下面的折線圖. 根據該折線

3、圖,下列結論錯誤的是( ) a.月接待游客量逐月增加 b.年接待游客量逐年增加 c.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 d.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相對于 7月至 12月,波動性更小,變化比較平穩 解析由題圖可知 2014年 8月到 9 月的月接待游客量在減少,故 a錯誤. 答案 a 4.(2017 全國 3,文 4)已知 sin -cos =43,則 sin 2=( ) 2 / 10 a.-79 b.-29 c.29 d.79 解析 sin 2=2sin cos =(sin-cos)2-1-1=-79.故選 a. 答案 a 5.(2017 全國 3,文 5)設 x,y滿足

4、約束條件3 + 2-6 0, 0, 0,則 z=x-y的取值范圍是( ) a.-3,0 b.-3,2 c.0,2 d.0,3 解析畫出不等式組表示的可行域,如圖.結合目標函數的幾何意義可得目標函數在點 a(0,3)處取得最小值 z=0-3=-3,在點 b(2,0)處取得最大值 z=2-0=2.故選 b. 答案 b 6.(2017 全國 3,文 6)函數 f(x)=15sin(x+3)+cos(x-6)的最大值為( ) a.65 b.1 c.35 d.15 解析因為 cos(-6)=cos2-( +3)=sin( +3),所以 f(x)=15sin( +3)+sin( +3) =65sin( +

5、3),故函數 f(x)的最大值為65.故選 a. 答案 a 7.(2017 全國 3,文 7)函數 y=1+x+sin2的部分圖像大致為( ) 3 / 10 解析當 x=1時,y=1+1+sin 1=2+sin 12,故排除 a,c;當 x+時,y+,故排除 b,滿足條件的只有 d,故選 d. 答案 d 8. (2017 全國 3,文 8)執行右面的程序框圖,為使輸出 s的值小于 91,則輸入的正整數 n的最小值為( ) a.5 b.4 c.3 d.2 解析程序運行過程如下表所示: s m t 初始狀態 0 100 1 第 1 次循環結束 100 -10 2 第 2 次循環結束 90 1 3

6、此時 s=90b0)的左、右頂點分別為 a1,a2,且以線段 a1a2為直徑的圓與直線 bx-ay+2ab=0 相切,則 c的離心率為( ) a.63 b.33 c.23 d.13 解析以線段 a1a2為直徑的圓的方程是 x2+y2=a2. 因為直線 bx-ay+2ab=0與圓 x2+y2=a2相切, 所以圓心到該直線的距離 d=22+2=a, 整理,得 a2=3b2,即 a2=3(a2-c2), 所以22=23,從而 e=63.故選 a. 答案 a 12.(2017 全國 3,文 12)已知函數 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則 a=( ) a.-12 b.13

7、 c.12 d.1 解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2-x-1+e-(2-x)+1 =x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1) =x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=f(x),即直線 x=1為 f(x)圖像的對稱軸. f(x)有唯一零點,f(x)的零點只能為 1, 即 f(1)=12-2 1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得 a=12. 答案 c 5 / 10 二、填空題:本題共 4小題,每小題 5分,共 20分。 13.(2017 全國 3,文 13)已知向量 a=(-2,3),b=(3,

8、m),且 ab,則 m= . 解析ab,a b=(-2,3) (3,m)=-2 3+3m=0,解得 m=2. 答案 2 14.(2017 全國 3,文 14)雙曲線2229=1(a0)的一條漸近線方程為 y=35x,則 a= . 解析由雙曲線的標準方程可得其漸近線方程為 y=3x.由題意得3=35,解得 a=5. 答案 5 15.(2017 全國 3,文 15)abc的內角 a,b,c的對邊分別為 a,b,c.已知 c=60,b=6,c=3,則a= . 解析由正弦定理得sin=sin, 即 sin b=sin=6323=22. 因為 bc,所以 b 0,則滿足 f(x)+f(x-12)1 的

9、x 的取值范圍是 . 解析由題意得當 x12時,2x+2-121 恒成立,即 x12;當 01 恒成立,即 01,解得 x-14,即-14x0. 綜上,x 的取值范圍是(-14, + ). 答案(-14, + ) 三、解答題:共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題,每個試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題,考生根據要求作答。 (一)必考題:共 60 分。 17.(2017 全國 3,文 17)(12分) 設數列an滿足 a1+3a2+(2n-1)an=2n. (1)求an的通項公式; (2)求數列2+1的前 n項和. 解(1)因為 a1+3a2

10、+(2n-1)an=2n,故當 n2時,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1). 兩式相減得(2n-1)an=2. 所以 an=22-1(n2). 6 / 10 又由題設可得 a1=2, 從而an的通項公式為 an=22-1. (2)記2+1的前 n項和為 sn. 由(1)知2+1=2(2+1)(2-1)=12-112+1. 則 sn=1113+1315+12-112+1=22+1. 18.(12分)(2017 全國 3,文 18)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶 4元,售價每瓶 6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶 2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,

11、每天需求量與當天最高氣溫(單位:)有關.如果最高氣溫不低于 25,需求量為 500 瓶;如果最高氣溫位于區間20,25),需求量為 300瓶;如果最高氣溫低于 20,需求量為 200 瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據,得下面的頻數分布表: 最高氣溫 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天數 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率. (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過 300瓶的概率; (2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為 y(單位:元),當六月份這種酸奶一天

12、的進貨量為 450瓶時,寫出 y的所有可能值,并估計 y 大于零的概率. 解(1)這種酸奶一天的需求量不超過 300瓶,當且僅當最高氣溫低于 25,由表格數據知,最高氣溫低于25 的頻率為2+16+3690=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過 300瓶的概率的估計值為 0.6. (2)當這種酸奶一天的進貨量為 450瓶時, 若最高氣溫不低于 25, 則 y=6 450-4 450=900; 若最高氣溫位于區間20,25), 則 y=6 300+2(450-300)-4 450=300; 若最高氣溫低于 20, 則 y=6 200+2(450-200)-4 450=-100. 所以,y 的所

13、有可能值為 900,300,-100. y 大于零當且僅當最高氣溫不低于 20,由表格數據知,最高氣溫不低于 20 的頻率為36+25+7+490=0.8, 因此 y 大于零的概率的估計值為 0.8. 19.(12分) 7 / 10 (2017 全國 3,文 19)如圖,四面體 abcd中,abc 是正三角形,ad=cd. (1)證明:acbd; (2)已知acd是直角三角形,ab=bd,若 e 為棱 bd上與 d 不重合的點,且 aeec,求四面體 abce與四面體 acde的體積比. 解(1)取 ac 的中點 o,連接 do,bo. 因為 ad=cd,所以 acdo. 又由于abc是正三角

14、形,所以 acbo. 從而 ac平面 dob,故 acbd. (2)連接 eo. 由(1)及題設知adc=90,所以 do=ao. 在 rtaob中,bo2+ao2=ab2. 又 ab=bd,所以 bo2+do2=bo2+ao2=ab2=bd2,故dob=90. 由題設知aec為直角三角形,所以 eo=12ac. 又abc是正三角形,且 ab=bd,所以 eo=12bd. 故 e 為 bd 的中點,從而 e到平面 abc 的距離為 d 到平面 abc的距離的12,四面體 abce的體積為四面體 abcd的體積的12,即四面體 abce 與四面體 acde 的體積之比為 11. 20.(12分)

15、(2017 全國 3,文 20)在直角坐標系 xoy 中,曲線 y=x2+mx-2與 x軸交于 a,b 兩點,點 c的坐標為(0,1).當 m 變化時,解答下列問題: (1)能否出現 acbc的情況?說明理由; (2)證明過 a,b,c 三點的圓在 y軸上截得的弦長為定值. 解(1)不能出現 acbc 的情況,理由如下: 設 a(x1,0),b(x2,0), 8 / 10 則 x1,x2滿足 x2+mx-2=0,所以 x1x2=-2. 又 c 的坐標為(0,1),故 ac的斜率與 bc 的斜率之積為-11-12=-12, 所以不能出現 acbc的情況. (2)bc 的中點坐標為(22,12),

16、可得 bc 的中垂線方程為 y-12=x2(-22). 由(1)可得 x1+x2=-m, 所以 ab 的中垂線方程為 x=-2. 聯立 = -2,-12= 2(-22), 又22+mx2-2=0,可得 = -2, = -12. 所以過 a,b,c 三點的圓的圓心坐標為(-2,-12),半徑 r=2+92. 故圓在 y軸上截得的弦長為 22-(2)2=3, 即過 a,b,c三點的圓在 y軸上截得的弦長為定值. 21.(12分)(2017 全國 3,文 21) 已知函數 f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)討論 f(x)的單調性; (2)當 a0,故 f(x)在(0,+)單調遞增.

17、 若 a0; 當 x(-12, + )時,f(x)0. 故 f(x)在(0,-12)單調遞增,在(-12, + )單調遞減. (2)由(1)知,當 a0; 當 x(1,+)時,g(x)0時,g(x)0. 從而當 a0 時,ln(-12) +12+10, 即 f(x)-34-2. (二)選考題:共 10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。 22.(10分)(2017 全國 3,文 22)選修 44:坐標系與參數方程 在直角坐標系 xoy 中,直線 l1的參數方程為 = 2 + , = ,(t為參數),直線 l2的參數方程為 = -2 + , =,(m為

18、參數).設 l1與 l2的交點為 p,當 k變化時,p的軌跡為曲線 c. (1)寫出 c的普通方程; (2)以坐標原點為極點,x 軸正半軸為極軸建立極坐標系,設 l3:(cos +sin )-2=0,m 為 l3與 c 的交點,求 m的極徑. 解(1)消去參數 t得 l1的普通方程 l1:y=k(x-2); 消去參數 m得 l2的普通方程 l2:y=1(x+2). 設 p(x,y),由題設得 = (-2), =1( + 2). 消去 k 得 x2-y2=4(y0). 所以 c的普通方程為 x2-y2=4(y0). (2)c的極坐標方程為 2(cos2-sin2)=4(02,). 聯立2(cos2-sin2) = 4,(cos + sin)-2 = 0 得 cos -sin =2(cos +sin ). 故 tan =-13,從而 cos2=910,sin2=110. 代入 2(cos2-sin2)=4得 2=5, 所以交點 m 的極徑為5. 23.(10分)(2017 全國 3,文