1、1 / 9 2016 年普通高等學校招生全國統一考試年普通高等學校招生全國統一考試 北京理科數學 1.(2016 北京,理 1)已知集合 a=x|x|2,b=-1,0,1,2,3,則 ab=( ) a.0,1 b.0,1,2 c.-1,0,1 d.-1,0,1,2 答案 c 由|x|2,可知-2x2,即 a=x|-2xy0,則( ) a.110 b.sin x-sin y0 c.(12) (12)0 答案 c 由 xy0,得11,即11y0 及正弦函數的單調性 ,可知 sin x-sin y0 不一定成立,故選項 b 不正確;由 012y0,可知(12) (12),即(12) (12)y0,得

2、 xy0,xy不一定大于 1,故 ln x+ln y=ln xy0不一定成立,故選項 d 不正確.故選 c. 6. (2016 北京,理 6)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為 ( ) a.16 b.13 c.12 d.1 3 / 9 答案 a 由三視圖 可得,三棱錐的直觀圖如圖,則該三棱錐的體積 v=1312 1 1 1=16,故選 a. 7.(2016 北京,理 7)將函數 y=sin(2-3)圖象上的點 p(4,)向左平移 s(s0)個單位長度得到點 p.若 p位于函數 y=sin 2x的圖象上,則( ) a.t=12,s 的最小值為6 b.t=32,s 的最小值為6 c.t=

3、12,s 的最小值為3 d.t=32,s 的最小值為3 答案 a 設 p(x,y).由題意得,t=sin(2 4-3) =12,且 p的縱坐標與 p 的縱坐標相同,即 y=12.又 p在函數 y=sin 2x 的圖象上,則 sin 2x=12,故點 p的橫坐標 x=12+k或512+k(kz),由題意可得 s 的最小值為412=6. 8.(2016 北京,理 8)袋中裝有偶數個球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則( ) a.乙盒中黑球

4、不多于丙盒中黑球 b.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 c.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 d.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 答案 b 若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球都是黑球;又由于袋中有偶數個球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個球,抽到兩個紅球的次數與抽到兩個黑球的次數一定是相等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,選 b. 9.(2016 北京,理 9)設 ar,若復數(1+i)(a+i)在

5、復平面內對應的點位于實軸上,則 a= . 答案-1 解析(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)ir, a+1=0,即 a=-1. 10.(2016 北京,理 10)在(1-2x)6的展開式中,x2的系數為 .(用數字作答) 答案 60 解析二項展開式的通項 tr+1=c616-r (-2x)r=(-2)rc6xr,x2的系數 為(-2)2c62=60. 11.(2016 北京,理 11)在極坐標系中,直線 cos -3sin -1=0 與圓 =2cos 交于 a,b兩點,則|ab|= .答案 2 解析直線 cos -3sin -1=0 化為直角坐標方程 為 x-3y-1=0,圓 =2cos

6、化為直角坐標方程 為(x-1)2+y2=1,可知圓心(1,0)在直線 x-3y-1=0 上,故|ab|=2. 12.(2016 北京,理 12)已知an為等差數列,sn為其前 n項和.若 a1=6,a3+a5=0,則 s6= . 4 / 9 答案 6 解析an是等差數列 ,a3+a5=2a4=0.a4=0. a4-a1=3d=-6.d=-2. s6=6a1+15d=66+15(-2)=6. 13.(2016 北京,理 13)雙曲線2222=1(a0,b0)的漸近線為正方形 oabc的邊 oa,oc所在的直線,點b 為該雙曲線的焦點.若正方形 oabc的邊長為 2,則 a= . 答案 2 解析四

7、邊形 oabc是正方形,aob=45,不妨設直線 oa 的方程即雙曲線的一條漸近線 的方程為 y=x.=1,即 a=b.又|ob|=22,c=22.a2+b2=c2,即 a2+a2=(22)2,可得 a=2. 14.(2016 北京,理 14)設函數 f(x)=3-3, ,-2, . (1)若 a=0,則 f(x)的最大值為 ; (2)若 f(x)無最大值,則實數 a 的取值范圍是 . 答案(1)2 (2)(-,-1) 解析令 g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由 g(x)=3x2-3=0,得 x=1.可判斷當 x=1 時,函數 g(x)的極小值 為-2;當x=-1 時,函數 g(x)的極

8、大值 為 2,且 g(x)與 x軸的交點為(-3,0),(0,0),(3,0).又 g(x)與 (x)圖象的交點為 a(-1,2),o(0,0),b(1,-2),故可作出函數 g(x)與 (x)的大致圖象如圖所示. (1)當 a=0時,f(x)=3-3, 0,-2, 0,可知 f(x)的最大值是 f(-1)=2; (2)由圖象知,當 a-1 時,f(x)有最大值 f(-1)=2;當 a-1時,有 a3-3a-2a,此時 f(x)無最大值,a 的取值范圍是(-,-1). 15.(2016 北京,理 15)在abc中,a2+c2=b2+2ac. (1)求 b 的大小; (2)求2cos a+cos

9、 c 的最大值. 解(1)由余弦定理 及題設得 cos b=2+2-22=22=22. 又因為 0b,所以 b=4. (2)由(1)知 a+c=34. 5 / 9 2cos a+cos c=2cos a+cos(34-) =2cos a-22cos a+22sin a =22cos a+22sin a=cos(-4). 因為 0a34, 所以當 a=4時,2cos a+cos c取得最大值 1. 16.(2016 北京,理 16)a,b,c 三個班共有 100 名學生,為調查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間,數據如下表(單位:小時): a班 6 6.5 7 7.5

10、8 b班 6 7 8 9 10 11 12 c班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)試估計 c 班的學生人數; (2)從 a 班和 c班抽出的學生中,各隨機選取一人,a 班選出的人記為甲,c 班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率; (3)再從 a,b,c 三個班中各隨機抽取一名學生,他們該周的鍛煉時間分別是 7,9,8.25(單位:小時),這 3個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記為 1,表格中數據的平均數記為 0,試判斷 0和 1的大小.(結論不要求證明) 解(1)由題意知,抽出的 20名學生中,來自 c

11、班的學生有 8名.根據分層抽樣 方法,c 班的學生人數估計為 100820=40. (2)設事件 ai為“甲是現有樣本中 a 班的第 i個人”,i=1,2,5, 事件 cj為“乙是現有樣本中 c 班的第 j個人”,j=1,2,8. 由題意可知,p(ai)=15,i=1,2,5;p(cj)=18,j=1,2,8. p(aicj)=p(ai)p(cj)=1518=140,i=1,2,5,j=1,2,8. 設事件 e 為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”. 由題意知,e=a1c1a1c2a2c1a2c2a2c3a3c1a3c2a3c3a4c1a4c2a4c3a5c1a5c2a5c3a5c4. 因此

12、p(e)=p(a1c1)+p(a1c2)+p(a2c1)+p(a2c2)+p(a2c3)+p(a3c1)+p(a3c2)+p(a3c3)+p(a4c1)+p(a4c2)+p(a4c3)+p(a5c1)+p(a5c2)+p(a5c3)+p(a5c4)=15140=38. 6 / 9 (3)10. 17.(2016 北京,理 17) 如圖,在四棱錐 p-abcd中,平面 pad平面 abcd,papd,pa=pd,abad,ab=1,ad=2,ac=cd=5. (1)求證:pd平面 pab; (2)求直線 pb與平面 pcd 所成角的正弦值; (3)在棱 pa 上是否存在點 m,使得 bm平面 p

13、cd?若存在,求的值;若不存在,說明理由. 解(1)因為平面 pad平面 abcd,abad, 所以 ab平面 pad. 所以 abpd. 又因為 papd,所以 pd平面 pab. (2)取 ad的中點 o,連接 po,co. 因為 pa=pd,所以 poad. 又因為 po平面 pad,平面 pad平面 abcd, 所以 po平面 abcd. 因為 co平面 abcd,所以 poco. 因為 ac=cd,所以 coad. 如圖建立空間直角坐標系 o-xyz. 由題意得,a(0,1,0),b(1,1,0),c(2,0,0),d(0,-1,0),p(0,0,1). 設平面 pcd的法向量 為

14、n=(x,y,z),則 = 0, = 0,即- = 0,2- = 0. 令 z=2,則 x=1,y=-2.所以 n=(1,-2,2). 又 =(1,1,-1), 所以 cos= | |=-33. 7 / 9 所以直線 pb 與平面 pcd所成角的正弦值 為33. (3)設 m是棱 pa 上一點,則存在 0,1使得 = . 因此點 m(0,1-,), =(-1,-,). 因為 bm平面 pcd,所以 bm平面 pcd當且僅當 n=0, 即(-1,-,) (1,-2,2)=0.解得 =14. 所以在棱 pa 上存在 點 m 使得 bm平面 pcd,此時=14. 18.(2016 北京,理 18)設

15、函數 f(x)=xea-x+bx,曲線 y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程為 y=(e-1)x+4. (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的單調區間. 解(1)因為 f(x)=xea-x+bx, 所以 f(x)=(1-x)ea-x+b. 依題設,(2) = 2e + 2,(2) = e-1,即2e-2+ 2 = 2e + 2,-e-2+ = e-1, 解得 a=2,b=e. (2)由(1)知 f(x)=xe2-x+ex. 由 f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及 e2-x0 知,f(x)與 1-x+ex-1同號 . 令 g(x)=1-x+ex-1,則 g(x)=-1+ex-

16、1. 所以,當 x(-,1)時,g(x)0,g(x)在區間(1,+)上單調遞增 . 故 g(1)=1是 g(x)在區間(-,+)上的最小值 , 從而 g(x)0,x(-,+). 綜上可知,f(x)0,x(-,+). 故 f(x)的單調遞增區間為(-,+). 19.(2016 北京,理 19)已知橢圓 c:22+22=1(ab0)的離心率為32,a(a,0),b(0,b),o(0,0),oab 的面積為 1. (1)求橢圓 c 的方程; (2)設 p 是橢圓 c上一點,直線 pa與 y軸交于點 m,直線 pb與 x軸交于點 n,求證:|an| |bm|為定值. 解(1)由題意得 =32,12 =

17、 1,2= 2+ 2,解得 a=2,b=1. 所以橢圓 c的方程 為24+y2=1. (2)由(1)知,a(2,0),b(0,1). 8 / 9 設 p(x0,y0),則02+402=4. 當 x00時,直線 pa 的方程 為 y=00-2(x-2). 令 x=0,得 ym=-200-2, 從而|bm|=|1-ym|=|1 +200-2|. 直線 pb 的方程 為 y=0-10 x+1. 令 y=0,得 xn=-00-1, 從而|an|=|2-xn|=|2 +00-1|. 所以|an| |bm|=|2 +00-1| |1 +200-2| =|02+402+400-40-80+400-0-20+

18、2| =|400-40-80+800-0-20+2|=4. 當 x0=0時,y0=-1,|bm|=2,|an|=2, 所以|an| |bm|=4. 綜上,|an| |bm|為定值. 20.(2016 北京,理 20)設數列 a:a1,a2,an(n2).如果對小于 n(2nn)的每個正整數 k都有 aka1,則 g(a); (3)證明:若數列 a滿足 an-an-11(n=2,3,n),則 g(a)的元素個數不小于 an-a1. 解(1)g(a)的元素為 2和 5. (2)因為存在 an使得 ana1, 所以in*|2in,aia1. 記 m=minin*|2in,aia1, 則 m2,且對任意正整數 km,a