1、二次根式的有關概念及性質一、二次根式的有關概念：1.二次根式：式子(a 0)叫做二次根式。2.最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式；（ 1）被開方數的因數是整數，因式是整式；（ 2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。如不是最簡二次根式，因被開方數中含有 4 是可開得盡方的因數，又如，.都不是最簡二次根式，而， 5，都是最簡二次根式。3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。如,就是同類二次根式，因為=2，=3，它們與的被開方數均為2。4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，

2、則說這兩個代數式互為有理化因式。如與， a+與 a-，-與+，互為有理化因式。二、二次根式的性質：1. (a 0)是一個非負數 , 即0。2.非負數的算術平方根再平方仍得這個數，即：()2=a(a ；0)3.某數的平方的算術平方根等于某數的絕對值，即=|a|=4.非負數的積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積，即=·（a0,b 0）。5.非負數的商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根，即=（ a0,b>0）。三、例題：例1.x 為何值時，下列各式在實數范圍內才有意義：（ 1）（2）（3）（4）+（5）（6）+分析：這是一組考察二次根式基本概念的問題，要弄

3、清每一個數學表達式的含義，根據分式和根式成立的條件去解，即要考慮到分式的分母不能為 0 并且偶次根號下被開方數要大于或等于零。解：（ 1） 6- x0, x6時原式有意義。（ 2） x2 0, x2+3>0, x 取任意實數原式都有意義。（ 3）當 x<3 且 x-3 時，原式有意義。（ 4）當 -x<時，原式有意義。（ 5）當 x0且 x1時，原式有意義。（ 6） x=2當 x=2 時，原式有意義。例 2.寫出下列各等式成立的條件：（ 1）=-3x（ 2）=-mn（ 3）=1+2a（ 4）=·（ 5）-=7分析：本題考察算術平方根的概念及二次根式的性質。解：（ 1

4、）=|3x|=-3x, -3x0, 3x0, x0.（ 2）=|mn|=-mn, mn0, 成立，隱含 m0, m0且 n0.（ 3）=|2a+1|=1+2a 1+2a0, a-.（ 4）由題意得 x= ±1.（5）-=-=|x+5|-|2-x|=7 只有 |x+5|=x+5, |2-x|=x-2時才成立， x2.例 3.化簡下列各式：（ 1）（ 2） a2(m<0)（ 3）+|2-x|+（ 2<x<3)（ 4）（ 5） (x-y)+（ 6）(y<0)（ 7）+分析：在二次根式化簡的題目中，若有已知條件或隱含條件，則根據已知或隱含條件化簡，若沒有已知條件或隱含

5、條件時，則必須加以討論，特別是對于開方后式中有兩個絕對值以上的題目，要采取零點分段的方法逐一加以考慮。解：（ 1） >3,=|3- |= -3.（ 2） m<0, 要使有意義，則a<0, a2=a2=a2·=-=-a.（ 3） 2<x<3, 原式 =+|2-x|+=|2-x|+|2-x|+|x-3|=x-2+x-2+3-x=x-1.（ 4）=|3x-1|=在這里我們分3x- 10或 3x-1<0 兩種情況進行了討論。（ 5） (x-y)+有意義，y-x>0原式 =(x-y) ·+=+|x-y|=+y-x=-+y-x.（ 6） y&l

6、t;0,原式 =2|xy|=-2|x|y當 x0時 , 原式 =-2xy,當 x<0 時 , 原式 =2xy。（7）+=+=|4-x|+|x+1|若 |4-x|=0, 則 x=4 。若 |x+1|=0 則 x=-1 ，則本題需要將x 的取值分成三段，即分x-1, -1<x<4, x4三段來進行討論。當 x-1 時，原式 =4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x. 當 -1<x<4 時 , 原式 =4-x+x+1=5.當 x4時，原式 =x-4+x+1=2x-3.例 4.把根號外的因式移至根號內：（ 1） 2（ 2） -5（ 3） m(m0)（ 4） x(x 0)（ 5） a分析：本題需逆用性質=·（ a0,b 只0)能將根號外的正因式移至根號內。解：（1）2=·=。（2）-5=-·=-。（ 3） m0, m=·=。（ 4） x(x 0) x=-·=-。（ 5）成立，隱含a<0, a ·=-·=-=-。例 5.（ 1）已知： y-1=,求： x+2y 的值。（ 2）若+|x-2y|=0, 求： x2+y 2 的值。分析：（ 1）觀察已知條件，等式右邊有兩個根式，要使兩個根式有意義，則 x=2 ， y=1, 從而可求出 x+2y 的值。（ 1）解：