1、一、內容分布一、內容分布 7.3.1 線性變換的矩陣線性變換的矩陣 7.3.2 坐標變換坐標變換 7.3.3 矩陣獨一確定線性變換矩陣獨一確定線性變換 7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣線性變換在不同基下的矩陣-類似矩陣類似矩陣二、教學目的二、教學目的: 1熟練地求出線性變換關于給定基的矩陣，以熟練地求出線性變換關于給定基的矩陣，以及給定及給定n 階矩陣和基，求出關于這個基的矩陣為階矩陣和基，求出關于這個基的矩陣為的線性變換的線性變換 2由向量由向量關于給定基的坐標，求出關于給定基的坐標，求出()關于這關于這個基的坐標個基的坐標 3知線性變換關于某個基的矩陣，熟練地求出知線性變換關于某個基的

2、矩陣，熟練地求出關于另一個基的矩陣關于另一個基的矩陣.三、重點難點三、重點難點: 線性變換和矩陣之間的相互轉換線性變換和矩陣之間的相互轉換, 坐標變換坐標變換, 類似類似矩陣矩陣. 如今設如今設V是數域是數域F上一個上一個n維向量空間，令維向量空間，令是是V的一個線性變換，取定的一個線性變換，取定V的一個基的一個基 令令 12,n nnaaa12211111)(nnaaa22221122)(nnnnnnaaa2211)(設設 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211n 階矩陣階矩陣A 叫做線性變換叫做線性變換關于基關于基 的的矩陣矩陣. 顯然顯然,A的第的第j 列就是列就是(j

3、)關于基關于基 的坐的坐標標.上面的表達經常寫出更方便的方式上面的表達經常寫出更方便的方式: ,21n(1) (1) Annn)()(,),(),(),(21212112,n :fA練習:教材P284-習題第1題設設V 是數域是數域F上一個上一個n 維向量空間維向量空間, 是是V 的一個基的一個基, 關于這個基的坐標是關于這個基的坐標是 而而()的坐標是的坐標是 問問: 和和 之間有什么關系呢之間有什么關系呢? ,21n),(21nxxx).,(21nyyy),(21nyyy),(21nxxx設設.),(21212211nnnnxxxxxx由于由于是線性變換，所以是線性變換，所以 2 2.)(

4、,),(),()()()()(21212211nnnnxxxxxx將將1代入代入2得得 .),()(2121nnxxxA最后，等式闡明，最后，等式闡明， 的坐標所組成的坐標所組成的列是的列是 ),()(21n關于.21nxxxA綜合上面所述綜合上面所述, 我們得到坐標變換公式：我們得到坐標變換公式：定理定理7.3.1 7.3.1 令令V V是數域是數域F F上一個上一個n n 維向量空間，維向量空間，是是V V的一個線性變換，而的一個線性變換，而關于關于V V的一個基的一個基 的矩陣是的矩陣是 ,21nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211假設假設V中向量中向量關于這個基的坐

5、標是關于這個基的坐標是 ，而而()的坐標是的坐標是 ， ),(21nxxx),(21nyyy那么那么nnxxxAyyy2121332( )( ),( )237( ( )( ( )(237)63( ( )( 3,0,6,0)f xfxf xxxf xf xxxxf x232323在Fx中,1,x,x ,x 是一個基,線性變換 :其中求:關于基1,x,x ,x 的坐標.解法一:所以,關于基1,x,x ,x 的坐標為( ( )73300620f x2323解法二:易知 關于基1,x,x ,x 的矩陣為01000020A=00030000故關于基1,x,x ,x 的坐標為010000200003000

6、0例在空間例在空間 內取從原點引出的兩個彼此正交的內取從原點引出的兩個彼此正交的單位向量單位向量 作為作為 的基的基.令令是將是將 的每一向的每一向量旋轉角量旋轉角的一個旋轉的一個旋轉. 是是 的一個線性變換的一個線性變換.我我們有們有 2V21,2V2V2V .cossin,sincos212211所以所以關于基關于基 的矩陣是的矩陣是21,cossinsincos設設 ，它關于基，它關于基 的坐標是的坐標是 ,而而 的坐標是的坐標是 .那么那么 2V21,xx21, 21, yy2121cossinsincosxxyy00kkk:k 引理引理7.3.2 設設V是數域是數域F上一個上一個n

7、維向量空間，維向量空間， 是是V的一個基，那么對于的一個基，那么對于V 中恣意中恣意n個向量個向量 ，有且僅有，有且僅有 V 的一個線性變的一個線性變換換，使得，使得:,21nn,21niii, 2 , 1)(證證 設設 nnxxx2211是是V中恣意向量中恣意向量.我們如下地定義我們如下地定義V到本身的一個映到本身的一個映射射：nnxxx2211)(我們證明，我們證明，是是V的一個線性變換。設的一個線性變換。設Vyyynn2211那么那么 .)()()(222111nnnyxyxyx于是于是 ).()()()(.)()()()(22112211222111nnnnnnnyyyxxxyxyxy

8、x設設 那么那么 .Fa).()()()(221122112211axxxaaxaxaxaxaxaxannnnnn這就證明了這就證明了是是V的一個線性變換。線性變換的一個線性變換。線性變換顯然顯然滿足定理所要求的條件：滿足定理所要求的條件：niii, 2 , 1)(假設假設是是V的一個線性變換，且的一個線性變換，且 niii, 2 , 1)(那么對于恣意那么對于恣意.2211Vxxxnn),()()()()()(221122112211nnnnnnxxxxxxxxx從而從而 .定理定理7.3.3 7.3.3 設設V V 是數域是數域 F F 上一個上一個n n 維向量空間，維向量空間， 是是V

9、 V 的一個基，對于的一個基，對于V V 的每一個線的每一個線性變換性變換，令，令關于基關于基 的矩陣的矩陣A A與與它對應，這樣就得到它對應，這樣就得到V V 的全體線性變換所成的集合的全體線性變換所成的集合L LV V到到F F上全體上全體n n 階矩陣所成的集合階矩陣所成的集合 的一的一個雙射，并且假設個雙射，并且假設 , ,而而 ， 那那么么 (3) (3) (4) (4) ,21n,21n)(FMn)(,vLAB,FaaAaBAAB證證 設線性變換設線性變換關于基關于基 的矩陣是的矩陣是A。那么那么 是是 的一個映射。的一個映射。,21nA)()(FMVLn到nnnnnnaaaaaa

10、aaaA212222111211是是F上恣意一個上恣意一個n階矩陣。令階矩陣。令 ., 2 , 1,2211njaaannjjjj由引理由引理7.3.2，存在獨一的，存在獨一的 使使 )(VL., 2 , 1,)(njjj反過來，設反過來，設顯然顯然關于基關于基 的矩陣就是的矩陣就是A. 這就證這就證明了如上建立的映射是明了如上建立的映射是 的雙射的雙射. ,21n)()(FMVLn到設設 我們有我們有 ).(),(ijijbBaA.),()(,),(),(),()(,),(),(21212121BAnnnn由于由于是線性變換是線性變換, 所以所以 niiijniiijnibb11., 2 ,

11、 1),(因此因此 .),()(,),(),()(,),(),(212121ABBnnn 所以所以關于基關于基 的矩陣就是的矩陣就是AB。7式成立，至于式成立，至于6式成立，是顯然的。式成立，是顯然的。,21n推論推論7.3.4 7.3.4 設數域設數域F F上上n n 維向量空間維向量空間V V 的一個線性的一個線性變換變換關于關于V V 的一個取定的基的矩陣是的一個取定的基的矩陣是A A，那么，那么可逆必要且只需可逆必要且只需A A可逆，并且可逆，并且 關于這個基的關于這個基的矩陣就是矩陣就是 . . 11A證證 設設可逆。令可逆。令 關于所取定的基的矩陣是關于所取定的基的矩陣是B。由由7

12、， 1.1AB然而單位變換關于恣意基的矩陣都是單位矩陣然而單位變換關于恣意基的矩陣都是單位矩陣 I .所以所以AB = I . 同理同理 BA = I . 所以所以.1 AB留意到留意到5，可以看出，可以看出 同理同理 所以所以有逆，而有逆，而 .1 反過來，設反過來，設 而而A可逆。由定理可逆。由定理7.3.3，有，有 于是于是 ,A.)(1AvL使.1IAA我們需求對上面的定理我們需求對上面的定理7.3.1和定理和定理7.3.3的深化意義的深化意義加以闡明加以闡明: 1. 取定取定n 維向量空間維向量空間V的一個基之后的一個基之后, 在映射在映射: 之下之下, (作為向量空間作為向量空間)

13、A( )( )nL VMF研討一個籠統的線性變換研討一個籠統的線性變換, 就可以轉化為研討一個就可以轉化為研討一個詳細的矩陣詳細的矩陣. 也就是說也就是說, 線性變換就是矩陣線性變換就是矩陣.以后以后,可可以經過矩陣來研討線性變換以經過矩陣來研討線性變換,也可以經過線性變換也可以經過線性變換來研討矩陣來研討矩陣. 2. 我們知道我們知道, 數域數域F上一個上一個n 維向量空間維向量空間V 同構同構于于 , V上的線性變換上的線性變換 nF)(:轉化為轉化為 上一個詳細的變換上一個詳細的變換: nFnnxxxAxxx2121也就是說也就是說, 線性變換都具有上述方式線性變換都具有上述方式. (

14、) 的坐標的坐標2FL124231A 101121,1212，A),()(),(212121,21,1212212212( (),()( (),()( ()(),()( (),()T 1212 ，22211,T),(1101),(),(2121211101TATTAT12121),(),(12341ATTB設線性變換設線性變換關于基關于基 的矩陣是的矩陣是 A , 關于基關于基 的矩陣是的矩陣是 B , 由基由基 到基到基 的過渡矩陣的過渡矩陣T, 于是有于是有:,21n,21n,21n,21n定理定理7.3.5 ATTB1 1212( (), (), ()( (), (), ()nnT 12

15、121212( (),(),()(,)( (),(),()(,) .nnnnAB 1212(,)(,)nnT 12121212112(,)( (),(),()( (),(),()(,)(,)nnnnnBTATTAT 1BTAT定義：設定義：設 A，B 是數域是數域 F 上兩個上兩個 n 階矩陣階矩陣. 假設存假設存在在F上一個上一個 n 階可逆矩陣階可逆矩陣 T 使等式使等式成立，那么就說成立，那么就說B與與A類似，記作：類似，記作： . ATTB1BA n階矩陣的類似關系具有以下性質：階矩陣的類似關系具有以下性質：1. 自反性：每一個自反性：每一個n階矩陣階矩陣A都與它本人類似，都與它本人類似，由于由于2. 對稱性：假設對稱性：假設 ，那么，那么 ；由于由由于由.1AIIABA AB .)(11111BTTTB