1、內容分析(壓軸綜合題# / 23本章主要針對圖形在運動過程中存在的不變性進行推理論證，找出特殊的 三角形的隱含條件作為輔助，解決相關角度不變性及比值和面積的相關問題， 對于復雜的綜合題，需添加輔助線，常見的輔助線有倍長中線構造全等，做高 等，視具體題目而定.知識結構模塊一：角度的不變性知識精講本節主要運用三角形的內外角之間的關系進行換算和求解動點下產生不變角的問題, 特別是外角定理的運用在本節中非常重要.例題解析【例1】 如圖，已知 MON =90°,點A、B分別在射線 OM、ON上， OAB的內角平分 線與 OBA的外角平分線所在的直線交于點C.(1) 試說明 C與 O的關系;(2

2、) 當點A、B分別在射線OM、ON上移動時，試問 C的大小是否發生變化， 若保持不變，求出 C的大?。蝗舭l生變化，求出其變化范圍.【難度】【答案】【解析】【解析】【例2】 如圖，在平面直角坐標系中， ABo是直角三角形， AOB=90°,斜邊AB與y軸交于點C.(1) 若 A= AOC ,求證： B= BOC ;(2) 延長 AB 交 X 軸于點 E,過 O 作 OD 丄 AB,且 DOB = EOB, OAE = OEA, 求 A的度數；(3) 如圖，OF平分 AOM , BCO的平分線交 FO的延長線于點 卩，當厶AOB繞O 點旋轉時(斜邊 AB與y軸正半軸始終交于點 C),在(

3、2)的條件下，試問 P的度 數是否發生變化？若不變，請求出其度數；若改變，請說明理由【難度】【答案】卅Ay3 / 23步同級年七【例3】 如圖，在平面直角坐標系中，點 A, B的坐標分別為(一1 , 0),( 3, 0),現同 時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移 1個單位，分別得到點 A，B的對應 點 C, D ,連接 AC，BD，CD .(1) 求點C, D的坐標及四邊形 ABDC的面積；(2) 在y軸上是否存在一點 P,連接PA, PB,使SPAB=S四邊形ABCD ,若存在這樣一點， 求出點P的坐標，若不存在，試說明理由.(3) 點P是線段BD上的一個動點，連接PC, PO,當

4、點P在BD上移動時(不與B, D重合)給出下列結論： DCP+ BOP的值不變， dcp+ CPO的值不變，其ZCPOZBOP中有且只有一個是正確的，請你找出這個結論并求其值.【難度】【答案】AyAy【解析】E D【例4】 如圖，在平面直角坐標系中，AB0=2 BAO, P為X軸正半軸上一動點， BC平分 ABP，PC 平分 APF，OD 平分 POE .(1) 求 BAO的度數；1(2) 求證： C=15 ° + L OAP ;2(3) P在運動中， C+ D的值是否發生變化，若發生變化，說明理由，若不變，求出其值【難度】【答案】【解析】11 / 23模塊二：旋轉問題知識精講旋轉問

5、題是七年級幾何證明的一個難點，在旋轉的過程中，找出隱含的邊角之間的關 系是解決旋轉類問題是關鍵；本節的另一個難點是考察空間想象力，找出旋轉之后圖形的位置.例題解析C【例5】 如圖，正方形OGHK繞正方形ABCD中點0旋轉，其交點為E、F ,求證：AE+CF=AB.【難度】【答案】【解析】【例6】 如圖1、圖2, AoB , CoD均是等腰直角三角形， AoB = CoD = 90(1) 在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關系 ？請說明理由.(2)若厶COD繞點O順時針旋轉一定角度后，到達圖 2的位置，請問AC與BD還相【答案】【解析】【例7】 如圖1在梯形ABCD中，AD / BC ,

6、. C =90 ,點E為CD的中點，點F在底 邊 BC 上，且.FAE =/DAE (1) 請你通過觀察、測量、猜想，得出.AEF的度數；(2) 若梯形ABCD中，AD / BC , . C不是直角，點F在底邊BC或其延長線上，如 圖2、圖3,其他條件不變，你在(1)中得出的結論是否仍然成立，若都成立，請在圖2、圖3中選擇其中一圖進行證明；若不都成立，請說明理由.【難度】圖1圖2AD圖3【答案】 【解析】【例8】 如圖，C是線段BD上一點，分別以 BC、CD為邊在BD同側作等邊 ABC和等 邊厶CDE , AD交CE于F , BE交AC于G ,則圖中可通過旋轉而相互得到的三角形對數有(A )B

7、 2對C 3對D 4對E【難度】HFG _【答案】BCD【解析】【例9】 已知：如圖，點 C為線段AB上一點， ACM、 CBN是等邊三角形. 求證：CF平分 AFB .(備注：直角邊和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等)【難度】【答案】【解析】【例10】 如圖1, E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，且 EAF = 45°.(1) 請猜測線段EF、BE、DF之間的等量關系并證明.(2) 變式：如圖2, E、F分別在四邊形 ABCD的邊BC、CD上， B+ D = 180°,1AB= AD , EAF = - BAD ,則線段BE、EF、FD的等量關系又如何？請加以

8、證明.2DA圖2【難度】【答案】【解析】【例11】請閱讀下列材料：已知：如圖1在RtA ABC中， BAC=90 ° , AB=AC ,點D、E分別為線段 BC上兩動 點，若 DAE=45 °.探究以線段 BD、DE、EC三條線段的為邊構成的三角形是什么三 角形.小智的思路是：把 AEC繞點A順時針旋轉90°,得到 ABF ,連結FD ,使問題 得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題：(1) 猜想以線段 BD、DE、EC三條線段的為邊構成的三角形是什么三角形，并對你 的猜想給予證明；(2) 當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖 2,其

9、它條件 不變，(1)中探究的結論是否發生改變 ？請說明你的猜想并給予證明.圖2【答案】【解析】【例12】 如圖，在ABC形外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE ,使.BAD =90 ,.CAE =90 ,作 AH _ BC 于 H ,延長 HA ,交 DE 于 M ,求證：DM = ME .【難度】【答案】C【解析】CCC【例13】 在等邊三角形 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別由兩點 M ,N , D為 ABC外 一點，且.MDN =60 ,. BDC =120，BD=CD .探究：當點 M , N 分別在直線 AB, AC 上移動時，BM, NC, MN之間的數量關系及 JAMN的周

10、長Q與等邊:ABC的周長L 的關系.(1)如圖(1),當點 M、N在邊 AB、AC上，且 DM=DN時，BM、NC、MN之間的 數量關系是；此時Q=.L(2)如圖(2),當點M、N在邊AB、AC上，且DM DN時，猜想(1)問的兩個結論 還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明.(3) 如圖(3),當點M、N分別在邊AB、CA的延長線上時, 含X、L的式子表示).【難度】【答案】【解析】【例14】 如圖1,在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E , AF平分.BAC ,交BD于點F (i )求證：EF 丄 AC=AB ;2(2) 點Ci從點C出發，沿著線段 CB向點B運動(不與點B重合)，同時

11、點A從點A 出發，沿著BA的延長線運動，點Ci與A的運動速度相同，當動點 C停止運動時，另 一動點A也隨之停止運動.如圖2，AFi平分.BACi ,交BD于點Fi ,過點F作1FiEi _ ACi ,垂足為Ei ,請猜想 已Fi , Al Ci與AB三者之間的數量關系，并證明你的2圖i圖2猜想.【難度】【答案】【解析】13/23步同級年七【例15】如圖，在等腰 RtA ABC與等腰 RtADBE中， BDE = ACB=90°，且 BE在AB邊上，取AE的中點F, CD的中點G,連結GF.(1) FG與DC的位置關系是,FG與DC的數量關系是;(2) 若將 BDE繞B點逆時針旋轉18

12、0°，其它條件不變，請完成下圖，并判斷(1)中的結論是否仍然成立？請證明你的結論【答案】【解析】14 / 23模塊三：構造全等類知識精講本節主要針對常規圖形，添加合適的輔助線，如截長補短、倍長中線，添加平行線等 構造全等的三角形，題目綜合性較強，考察同學們全等三角形判定和性質的綜合運用能力.例題解析的平分線CF于點F ,求證:AB的中點M ,連接ME ,則改為“點E是邊BC上(除B,圖1圖2圖3【例16】數學課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點. AEF =90 °,且 EF交正方形外角 DCGAE=EF .經過思考，小明展示了一種正確

13、的解題思路：取AM=EC ,易證 AME 也厶 ECF ,所以 AE=EF .在此基礎上，同學們作了進一步的研究：(1)小穎提出：如圖2,如果把“點E是邊BC的中點”C夕卜)的任意一點”，其它條件不變，那么結論“ AE=EF ”仍然成立，你認為小穎的觀點 正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；(2)小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上(除 C點外)的任意一點，其他條件不變，結論“ AE=EF”仍然成立.你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.【答案】【解析】【例17】已知 ABC為等邊三角形，點 D為直線BC上的一動點(點 D不與B、C重合)

14、， 以AD為邊作等邊 ADF ,且 DE / AF , EF / AD ,連接 CF .(1) 如圖1,當點D在邊BC上時，求證： BD=CF;AC=CF+CD ;(2) 如圖2,當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成 立？若不成立，請寫出 AC、CF、CD之間存在的數量關系，并說明理由；(3) 如圖3,當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系.【難度】【答案】【解析】【例18】已知如圖1 ,在 ABC中，BC邊在直線I上，AC丄BC,且AC=BC . EFP的邊FP也在直線I上，邊 EF與邊 AC重合，且

15、EF=FP.(1) 在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AP與AB所滿足的數量關系和位 m ¥方置關糸；(2) 將厶EFP沿直線I向左平移到圖14-2的位置時，EP交AC于點Q ,連結AP ,BQ.猜 想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想；(3) 將厶EFP沿直線I向左平移到圖14-3的位置時，EP的延長線交 AC的延長線于 點Q,連結AP, BQ.你認為(2)中所猜想的 BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.E AE【難度】【答案】【解析】【例19】直線CD經過 BCA的頂點C, CA=CB . E、F分別是直線

16、 CD上兩點, 且 BEC= CFA= .（1）若直線CD經過 BCA的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題： 圖 1 ,若 BCA=90 ° , =90°,則 EFIBE-AF|（填“ > ”，“ < ”或“=”號）； 如圖2,若O° < BCA<180°,若使中的結論仍然成立，則與 BCA應滿足的關系是請探究EF、與BE、AF（2）如圖3,若直線 CD經過 BCA的外部， BCA= 三條線段的數量關系，并給予證明.圖1圖2圖3 D【難度】【答案】【解析】隨堂檢測【習題1】在五邊形ABCDE中，已知AB=AE,AD .

17、求證：AD平分 CDE .【難度】【答案】【解析】BC+DE = CD， ABC + AED=180 °，連接【習題2】用兩個全等的等邊三角形 ABC和厶ACD拼成菱形ABCD.把一個含60°角的三 角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60 °角的頂點與點 A重合，兩邊分別與 AB，AC重合將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉.（1） 當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC, CD相交于點E, F時，（如圖1）,通過 觀察或測量BE, CF的長度，你能得出什么結論 ？并證明你的結論；（2） 當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD的延長線相交于點 E,F時（如圖2）, 你在（1）

18、中得到的結論還成立嗎 ？簡要說明理由.AE圖1圖2【答案】 【解析】【習題3】如圖17(1),正方形ABCD , E、F分別為BC、CD邊上一點. 若 EAF=45 °,求證：EF=BE+DF ; 若 AEF繞A點旋轉，保持 EAF=450,問厶CEF的周長是否 AEF位置的變化而變化？(2) 如圖17(2),已知正方形 ABCD的邊長為1 , BC、CD上各有一點 E、F ,如果CEF的周長為2 ,求 EAF的度數.(3) 如圖17(2),已知正方形 ABCD , F為BC中點，E為CD邊上一點，且滿足圖 17 (2) BAF= FAE ,求證：AE=BC+CE .【難度】【答案】

19、【解析】【習題4】已知：如圖，MN丄PQ,垂足為0,點A、B分別在射線上 OM、OP上，直線BE平分 PBA與 BAO的平分線相交于點 C.(1) 若 BAO=45 °,求 ACB;A、B的移動發生變化，請求出變化的范圍.(2) 若點A、B分別在射線上 OM、OP上移動，試問 ACB的大小是否會發生變化 ?如果保持不變，請說明理由；如果隨點【難度】【答案】【解析】(課后作業【作業1】等邊 ABD和等邊 CBD的邊長均為1, E是AD上異于A、D的任意一點,BE AD，F是CD上一點，滿足 AE+CF=1 ,當E、F移動時，試判斷厶 BEF的形狀.D【難度】【答案】【解析】【作業2】復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業題：“如圖，已知在 ABC 中，AB=AC, P是厶ABC內部任意一點，將 AP繞A順時針旋轉至 AQ,使 QAP= BAC,連接BQ、CP ,貝U BQ=CP小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖的分析， 證明了 ABQ ACP ,從