1、導數的計算一、考點熱點回顧教學目標：1使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數yc、yx、2yx、1yx的導數公式；2掌握并能運用這四個公式正確求函數的導數教學重點：四種常見函數yc、yx、2yx、1yx的導數公式；教學難點：四種常見函數yc、yx、2yx、1yx的導數公式幾個常見函數的導數探究 1函數( )yf xc的導數根據導數定義，因為()( )0yf xxf xccxxx所以00limlim 00 xxyyx函數導數yc0y0y表示函數yc圖像（圖3.2-1 ）上每一點處的切線的斜率都為0若yc表示路程關于時間的函數，則0y可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止

2、狀態探究 2函數( )yf xx的導數因為()( )1yf xxf xxxxxxx所以00limlim11xxyyx函數導數yx1y1y表示函數yx圖像（圖 3.2-2 ）上每一點處的切線的斜率都為1若yx表示路程關于時間的函數，則1y可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動探究 3函數2( )yfxx的導數因為22()( )()yf xxfxxxxxxx2222()2xx xxxxxx所以00limlim(2)2xxyyxxxx函數導數2yx2yx2yx表示函數2yx圖像（圖3.2-3 ）上點( , )x y處的切線的斜率都為2x，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化另一方面，從導數作為函數

3、在一點的瞬時變化率來看，表明：當0 x時，隨著x的增加，函數2yx減少得越來越慢； 當0 x時， 隨著x的增加，函數2yx增加得越來越快 若2yx表示路程關于時間的函數，則2yx可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻x的瞬時速度為2x探究 4函數1( )yf xx的導數因為11()( )yf xxf xxxxxxx2()1()xxxx xxxxxx所以220011limlim()xxyyxxxxx函數導數1yx21yx探究 5函數( )yf xx的導數因為()( )yf xxf xxxxxxx()()()xxxxxxxxxx()()xxxxxxx所以0011limlim2xxyyxxxxx函數導

4、數yx12yx（2）推廣：若*( )()nyf xxnq，則1( )nfxnx函數導數yc0yyx1y2yx2yx1yx21yxyx12yx*( )()nyf xxnq1nynx函數導數yc0y*( )()nyf xxnq1nynxsinyxcosyxcosyxsinyx( )xyf xaln(0)xyaa a( )xyf xexye( )logaf xx1( )log( )(01)lnaf xxfxaaxa且( )lnfxx1( )fxx二、典型例題1下列各式正確的是( )a. (sin ) cos (為常數 )b. (cos x) sin xc. (sin x) cos xd. (x5)

5、15x6【答案】 c 【解析】由導數運算法則易得，注意a選項中的為常數，所以 (sin ) 0. 選 c2下列求導運算正確的是（）a. 1(2 ) =2xxxb. 2211()2xxxxc. (3)3xxeed. 2cossin()coscosxxxxxx【答案】 c 【解析】由題意結合導函數的運算法則和導數計算公式可得：22ln2xx，22112xxxx，33xxee，2cossincoscosxxxxxx. 本題選擇 c 選項 . 3已知3ln3xfx，則fx等于 ( )a. 3xb. 13 ln33xc. 33 ln3xxd. 3 ln3x【答案】 d 【解析】由題意結合導數的運算法則有

6、：3ln3 3 ln303 ln3xxxfx.本題選擇 d 選項 .4函數21fxx的導函數為（）a. 1fxxb. 21fxxc. 2fxxd. 22fxx【答案】 d 【解析】因為22121fxxxx，所以22fxx，應選答案d。5已知函數36,1xfxxg xe，則這兩個函數的導函數分別為 ( )a. 263,xfxxgxeb. 23,1xfxxgxec. 23,xfxxgxed. 263,1xfxxgxe【答案】 c 【解析】由導函數的運算法則可得若函數36,1xfxxg xe，則這兩個函數的導函數分別為23,xfxxgxe .本題選擇 c 選項 .6已知函數f(x)x3的切線的斜率等

7、于3，則切線有 () a1 條b2 條c3 條d不確定解析： 選 b f(x)3x23，解得 x 1.切點有兩個，即可得切線有2條7曲線 y ex在點 a(0,1)處的切線斜率為() a1 b2 ce d.1e解析： 選 a由條件得yex，根據導數的幾何意義，可得ky |x0e01. 8已知 f(x) 3x53，則 f(22)() a10 b 5x23c5 d 10 解析： 選 d f(x) 5x53， f(22) 522323 10，故選 d. 9已知 f(x)x，若 f (1) 2，則 的值等于 () a2 b 2 c3 d 3 解析： 選 a若 2，則 f(x)x2， f(x)2x，f(

8、1)2 (1) 2 適合條件故應選a. 10. 曲線 y13x3在 x 1 處切線的傾斜角為() a1 b4c.4d.54解析： 選 c yx2， y|x11，切線的傾斜角滿足 tan 1， 0 ， 4. 11求下列函數的導數：(1)y x8； (2)y4x；(3)ylog3x；(4)y sin x2；(5)ye2. 解： (1)y(x8)8x81 8x7. (2)y (4x) 4xln 4. (3)y (log3x)1xln 3. (4)y (cos x) sin x. (5)y (e2)0. 三、課堂練習1曲線 y ln x 在點 m(e,1)處的切線的斜率是_，切線方程為_解析： y(l

9、n x) 1x， y|xe1e. 切線方程為y11e(xe)，即 xey0. 答案：1exey 0 2已知 f(x)a2(a 為常數 )，g(x)ln x，若 2xf(x)1g(x)1，則 x_. 解析： 因為 f(x) 0，g(x)1x，所以 2xf(x)1g(x)2x1x 1. 解得 x1 或 x12，因為 x0，所以 x1. 答案： 1 3設坐標平面上的拋物線c：y x2，過第一象限的點(a，a2)作拋物線c 的切線 l，則直線l 與 y軸的交點 q 的坐標為 _解析： 顯然點 (a，a2)為拋物線c：yx2上的點， y 2x，直線 l 的方程為ya22a(xa)令 x0，得 y a2，

10、直線l 與 y 軸的交點的坐標為(0， a2)答案： (0， a2) 4已知 p(1,1)，q(2,4)是曲線 y x2上的兩點，(1)求過點 p， q 的曲線 yx2的切線方程(2)求與直線pq 平行的曲線yx2的切線方程解： (1)因為 y 2x，p(1,1)，q(2,4)都是曲線y x2上的點過 p 點的切線的斜率k1y|x1 2，過 q 點的切線的斜率k2y|x24，過 p 點的切線方程：y1 2(x1)，即 2xy 10. 過 q 點的切線方程：y4 4(x2)，即 4xy 40. (2)因為 y 2x，直線 pq 的斜率 k41211，切線的斜率ky|xx02x01，所以 x012

11、，所以切點m12，14，與 pq 平行的切線方程為：y14x12，即 4x4y10. 5質點沿直線運動的路程s 與時間 t 的關系是s5t，則質點在t4 時的速度為 () a.12523b.110523c.25523d.110523解析： 選 b s15t45.當 t4 時，s151544110523. 6直線 y12xb 是曲線 yln x(x0)的一條切線，則實數b 的值為 () a2 bln 21 cln 21 dln 2 解析： 選 c yln x 的導數 y 1x，令1x12，得 x 2，切點為 (2，ln 2)代入直線 y12xb，得 bln 21. 7在曲線f(x)1x上切線的傾

12、斜角為34的點的坐標為() a(1,1) b(1， 1) c(1,1) d(1,1)或(1， 1) 解析： 選 d因為 f(x)1x，所以 f (x)1x2，因為切線的傾斜角為34 ，所以切線斜率為1，即 f (x)1x2 1，所以 x 1，則當 x1 時， f(1)1；當 x 1 時， f(1) 1，則點坐標為 (1,1)或(1， 1)8 設曲線 yxn1(nn*)在點 (1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn， 則 x1 x2 xn的值為 () a. 1nb.1n1c.nn1d1 解析： 選 b對 y xn1(n n*)求導得 y (n1)xn. 令 x 1，得在點 (1,1)處的切線

13、的斜率kn1，在點 (1,1)處的切線方程為y1(n1)(xn1)令 y0，得 xnnn 1，x1 x2 xn122334n 1nnn11n1， 故選 b. 9與直線2xy40 平行且與曲線yln x 相切的直線方程是_解析： 直線 2xy40 的斜率為k2，又 y(ln x)1x，1x2，解得 x12. 切點的坐標為12， ln 2 . 故切線方程為yln 22 x12. 即 2xy1ln 2 0. 答案： 2xy1ln 2 0 10若曲線 yx在點 p(a，a)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數 a 的值是_解析： y12 x，切線方程為ya12a(xa)，令 x0，得 ya

14、2，令 y 0，得 x a，由題意知12a2 a2， a4. 答案： 4 11已知曲線方程為yf(x) x2，求過點b(3,5)且與曲線相切的直線方程解： 設切點 p 的坐標為 (x0，x20)yx2， y2x， kf(x0)2x0，切線方程為yx202x0(xx0)將點 b(3,5)代入上式，得5x202x0(3 x0)，即 x206x050， (x01)(x05)0，x01 或 x05，切點坐標為(1,1)或(5,25)，故所求切線方程為y12(x1)或 y2510(x 5)，即 2xy10 或 10 xy250. 12求證：雙曲線xya2上任意一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于

15、常數證明： 設 p(x0， y0)為雙曲線xya2上任一點ya2xa2x2. 過點 p 的切線方程為yy0a2x20(xx0)令 x0，得 y2a2x0；令 y0，得 x2x0. 則切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為s122a2x0 |2x0| 2a2. 即雙曲線 xya2上任意一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為常數2a2. 導數的運算法則導數運算法則1( )( )( )( )f xg xfxg x2( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x32( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )fxfx g xf x g xg xg xg x（

16、一）導數的加減法運算法則：1)()(xgxf2cxf)(3、導數的加法與減法法則1導數的加法與減法法則的推導令)()()(xvxuxfy，)()()()(xvxuxxvxxuy)()()()(xvxxvxuxxuvu 來源 :高 考試題庫 xvxuxy，所以xyx0lim0limx（xvxu）0limxxvxux0lim)()(xvxu即vuvuy)(說明：對推導方法有興趣的同學來說，了解足夠了，不要求掌握。2導數的加法與減法法則兩個函數的和（差）的導數，等于這兩個函數的導數的和（差），即vuvu)(，和（差）函數求導法則由兩個可以推廣到n個。（二）導數的乘除法運算法則1)()(xgxf； 2

17、)()(xgxf；3)(xkf；1導數的乘法、除法法則的推導：令)()()(xvxuxfy，)()()()(xvxuxxvxxuy)()()()(xxvxuxxvxxu)()()()(xvxuxxvxu)()()(xxvxxuxxuxyxxvxxvxu)()()()()()(limlim00 xxvxxuxxuxyxx?xxvxxvxux?)()(lim)(0)()()()(xvxuxvxu即vuvuuvy)(同理可得：2vvuvuvuy說明：對推導方法有興趣的同學來說，了解足夠了，不要求掌握。2導數的乘法、除法法則：兩個函數積的導數，等于第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二

18、個函數的導數的和，即vuvuuv)(。若c為常數，則cucucu)(uc0uc。由以上兩個法則可知：)()()()(xvbxuaxbvxau，ba,為常數。兩個函數商的導數，等于分子的導數與分母的積減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方。即2vvuvuvuy二、典型例題1設2sinxyex則y等于 ( )a. 2cosxexb. 2sinxexc. 2sinxexd. 2cossinxexx【答案】 d 【解析】由2sinxyex，得222cossinxxxxxyesinxesinxe sinxe cosxexx.故選 d.2函數21fxx的導函數為（）a. 1fxxb. 21fxxc.

19、2fxxd. 22fxx【答案】 d 【解析】因為22121fxxxx，所以22fxx，應選答案d。3若xfxxe，則fx_【答案】1xx e【解析】結合函數的解析式和導函數的運算法則有：1xxxxxfxxex eexex e. 4解下列導數問題：（）已知22332fxxx，求1f（）已知2sinxfxx，求fx【答案】(1)119f (2)222 sincossinxxxxx【解析】試題分析： （1）根據題干對函數求導將1 代入導函數即可； （2）根據三角函數求導公式和分式型的求導公式計算即可.解析：（）因為22332fxxx，所以21889fxxx，所以119f（）q2sinxfxx，根據

20、導函數的計算公式可得fx222 sincossinxxxxx5求下列函數的導數（1）； （2）【答案】（ 1）（2）【解析】（ 1）（2）因為，所以考點：求函數的導數6求下列函數的導數：（1）1sin14fxxx；（2）21xxfxx.【答案】（ 1）4cos4sin4 cosfxxxxx； （2）212 ln21xfxx.【解析】試題分析：直接利用導數的乘除法則及基本初等函數的求導公式求解.試題解析：（ 1）1sin 141 sin14fxxxxx1414444cosxxsinxcosxsinxxcosx（2）2122 ln211xxxfxxx.三、課后練習1已知函數f(x)ax2 c，且

21、f(1) 2，則 a 的值為 () a1b.2 c 1 d0 解析： 選 a f(x)ax2c， f(x) 2ax，又 f(1)2a， 2a 2， a1. 2函數 y (x 1)2(x1)在 x1 處的導數等于 () a1 b2 c3 d4 解析： 選 dy(x 1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1) (x1)(x1)23x22x 1，y|x1 4. 3曲線 f(x)xln x 在點 x1 處的切線方程為() ay2x 2 by 2x2 cyx1 dy x1 解析： 選 c f(x)ln x 1， f(1)1，又 f(1)0，在點x1 處曲線 f(x)的切線方程為yx 1. 4. 已知物體

22、的運動方程為st23t(t 是時間， s 是位移 )，則物體在時刻t2 時的速度為 () a.194b.174c.154d.134解析： 選 d s2t3t2， s|t2 434134. 5設曲線yaxln(x1)在點 (0,0)處的切線方程為y2x，則 a() a0 b1 c2 d3 解析： 選 dya1x1，由題意得y|x0 2，即 a12，所以 a3. 6曲線 y x3 x3 在點 (1,3)處的切線方程為_解析： y3x21， y|x1312 12. 切線方程為y32(x1)，即 2x y10. 答案： 2xy10 7已知曲線y121x與 y2x3x22x 在 x x0處切線的斜率的乘

23、積為3，則 x0 _. 解析： 由題知 y11x2，y23x2 2x2，所以兩曲線在xx0處切線的斜率分別為1x20，3x202x02，所以3x202x02x203，所以 x01. 答案： 1 8已知函數f(x)f4cos xsin x，則 f4的值為 _解析： f(x) f4sin x cos x，f4 f42222，得 f421. f(x)(21)cos xsin x. f41. 答案： 1 9求下列函數的導數：(2)yex 1ex 1；(3)yxcos xxsin x；解：(2)y ex1 ex 1 ex1 ex1 ex12 2exex12. (3)y xcos x xsin x xco

24、s xxsin x xsin x21sin xxsin x xcos x 1cos xxsin x2xcos xxsin xsin xcos x1x sin x2. 10偶函數f(x)ax4bx3 cx2dxe 的圖象過點p(0,1)，且在 x1 處的切線方程為yx2，求 f(x)的解析式解： f(x)的圖象過點p(0,1)， e 1. 又 f(x)為偶函數，f(x)f(x)故 ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2 dxe. b 0，d0.f(x)ax4cx21. 函數 f(x)在 x1 處的切線方程為yx2，切點為 (1， 1) ac1 1. f(x)|x14a 2c， 4a2c1.

25、a52，c92. 函數 f(x)的解析式為f(x)52x492x21. 1若函數f(x)ax4bx2c 滿足 f(1)2，則 f(1)等于 () a 1b 2 c2 d0 解析： 選 b f(x)4ax3 2bx 為奇函數， f(1) f(1) 2. 2曲線 y xex1在點 (1,1)處切線的斜率等于() a2e be c2 d1 解析： 選 c函數的導數為f(x)ex1xex1(1x)ex1，當 x1 時， f(1)2，即曲線yxex1在點 (1,1)處切線的斜率kf(1)2，故選 c. 3已知函數f(x)的導函數為f(x)，且滿足 f(x)2xf(e)ln x，則 f(e)() ae1b

26、 1 c e1d e 解析： 選 c f(x)2xf(e)ln x，f(x) 2f(e)1x，f(e) 2f(e)1e，解得 f(e)1e，故選 c. 4若 f(x) x2 2x4ln x，則 f(x) 0的解集為 () a(0， ) b(1,0)(2， ) c(2， ) d(1,0) 解析： 選 c f(x)x22x 4ln x，f(x) 2x24x0，整理得x1 x2x0，解得 1x0 或 x2，又因為 f(x)的定義域為 (0， )，所以 x2. 5已知直線y2x1 與曲線 yln(xa)相切，則a 的值為 _解析： yln(xa)， y1x a，設切點為 (x0，y0)，則 y02x01，y0ln( x0a)，且1x0a2，解之得 a12ln 2. 答案：12ln 2 6曲線 yx2x1在點 (