1、第六章第六章 積積 分分 法法6.1 不定積分的基本積分法不定積分的基本積分法定積分定積分 計算計算 badxxf)(歸結(jié)為歸結(jié)為原函數(shù)計算原函數(shù)計算歸結(jié)為歸結(jié)為不定積分不定積分 的計算的計算 dxxf)(問題問題:不定積分如何計算不定積分如何計算 ?10 不定積分的運(yùn)算性質(zhì)不定積分的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) ( 線性運(yùn)算性質(zhì)線性運(yùn)算性質(zhì) )不定積分運(yùn)算是線性運(yùn)算不定積分運(yùn)算是線性運(yùn)算 , 即有即有 dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()(2121利用基本不定積分公式計算不定積分利用基本不定積分公式計算不定積分基本思想基本思想:利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì) , 將問題分解將

2、問題分解為一些可利用基本積分公式計算的問題為一些可利用基本積分公式計算的問題例例求求 dxxx3362)(解解由于由于8126261312136 xxxx)(原積分原積分 dxxxx)(3161618126 dxxdxxdxdxx3161618126cxxxx 3265672385612676cxxxx 32656712572676例例計算計算 dxxxx422111解解 dxxx)(221111 dxxdxx221111cxxx arcsin)ln(21原積分原積分 dxxxxx2222111120 湊微分法湊微分法復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)微分法:dxxxfxdxfxFd)( )()()()(

3、 如果如果, )()( xfxF 將此微分式兩邊進(jìn)行不定積分得將此微分式兩邊進(jìn)行不定積分得 cxFxdF)()( )()()( )(xdxfdxxxf 則有則有所以有以下不定積分的湊微分公式所以有以下不定積分的湊微分公式: )()()( )(xdxfdxxxf )()(xuduuf (1)說明說明:(1) 公式公式 (1) 的意義在于通過湊微分把計算的意義在于通過湊微分把計算 dxxxf)( )( 的問題轉(zhuǎn)化為積分的問題轉(zhuǎn)化為積分 duuf)(的計算的計算(2) 公式公式 (1) 也稱為也稱為不定積分的第一換元法不定積分的第一換元法例例計算計算 dxx99503解解 dxx99503 5035

4、035099xdx503 xu duu9950cx 10050321cu 10010050例例計算計算 dxxx112sin解解 )(sinsinxdxdxxx11112xu1 udusincu coscx 1cos例例計算計算 dxxex212解解 )(212212xdex212xu dueuceu dxxex212 )(221221xdex )(22212xdexcex 212例例計算計算 dxax221解解原積分原積分 dxaxax)(1 dxaxaxa)(1121caxaxa )ln(ln21caxaxa ln21例例計算計算 dxxsin1解解 xxd21cos)(cosxucos

5、12uducuu 1121ln dxxx2sinsin dxxsin1 duuu)(111121cxx 1121coscosln例例計算計算 dxchx1解解)(122 xshxchcshx )arctan( xshshxd21)( dxchx1dxxchchx 2例例計算計算 dxxxx)ln(ln41解解原積分原積分 )(ln)ln(lnxdxx41xuln duuu)(41 )()(42121uud2uv 2121vdvcu )arctan(221cx )arctan(ln221cv arctan21例例計算計算 dxxx5252316)ln(解解原積分原積分 )()ln(5252523

6、1216xdxx52 xu duuu63121ln )(lnlnudu63121 )ln(lnudu3131616cu 673171)ln(cx 67523171)ln(例例計算計算 dxxxx2242sincos)tanarctan(解解 原積分原積分 dxxxx)tan(cos)tanarctan(22412)tan()tan()tanarctan( xdxx2212212xutan2 uduu 2121arctan)(arctanarctanuud 21) arctan (uv vvd 21cv 241cx 2241)tanarctan(三角函數(shù)的積分法三角函數(shù)的積分法例例計算計算 xd

7、xtan解解 dxxxxdxcossintancx cosln)(coscosxdx 1例例計算計算 xdx5sin解解原積分原積分 xdxx sinsin4 )(cos)cos(xdx221xucos duu221)( duuu)(4221cxxx 535132coscoscos )(cossinxxd4cuuu )(535132一般地可計算一般地可計算: xdxn 12cos )(sin)sin(xdxn21xusin duun)(21同理可計算積分同理可計算積分: xdxn 12sin xdxxncoscos2解解例例計算計算, cos xdx2 xdx2sincxx )sin(2212

8、1 dxxxdx2212cossincxx )sin(22121一般地一般地 , 反復(fù)利用半角公式可計算反復(fù)利用半角公式可計算:, cos xdxn2 xdxn2sin xdx2cos dxx221cos dxx)cos(2121 dxx)cos(2121例例計算計算 cos xdx4解解原積分原積分 dxx2221)cos( xdxxx2412412cos)sin( dxxx)coscos(2221412 dxxxx24141241cos)sin(cxxxx )sin()sin(44181241解解例例計算計算 sincos xdxx ) ( 原積分原積分 )sin()sin( dxxx 2

9、1 c)cos()cos( xx 1121 c)cos()cos( xx 1121同樣方法可計算積分同樣方法可計算積分:, sinsin xdxx coscos xdxx dxnmxxNMx2型積分的計算方法型積分的計算方法:(1) 判別式判別式 的情形的情形042 nm此時此時222)(mxnmxx dxnmxxNMx2 )()()(22222mxdmxMmNmxM2mxu duuHMu2)(MmNH2 duuHduuM211(2) 判別式判別式 的情形的情形042 nm)()(442222mnmxnmxx 222Rmx )()(4422mnR dxnmxxNMx2 dxRmxNMx222)

10、( )()()(222222mxdRmxMmNmxM2mxu duRuHMu22 duRuHduRuuM22221 2222111)(RuduRduRu 22222221RuRudduRuu)(cRu )ln(2221cRuR )arctan(1)()(RudRuR 2111(3) 判別式判別式 的情形的情形042 nm此時此時 )(212xxxxnmxx 21xxBxxA nmxxNMx 2)(21xxxxNMx dxnmxxNMx2 dxxxBdxxxA2111綜上所述可知綜上所述可知: 形如形如 的積分總的積分總 dxnmxxNMx2可按上述方法計算可按上述方法計算 例例計算計算 dxx

11、xx5472解解因為因為)(15542 xxxx) (0 即即設(shè)設(shè)5472 xxx15 xBxA)()()(15515472 xxxBxAxxx 751BABA12 BA , )()()(155 xxBAxBA dxxdxxdxxxx115254721 cxx 152lnlncxx 152)(ln例例計算計算 dxxxx262342解解此時判別式此時判別式 0 dxxxx262342 )()()( 12511142xdxx1 xu duuu25142 duuu25142 2525422ududuuu 2225155125252)()( )(uuduudcuu )arctan()ln(55125

12、22cxxx )arctan()ln(51512622230 不定積分的換元法不定積分的換元法湊微分法湊微分法 (第一換元法第一換元法) )()()( )(tdtfdtttf dxxf)(3)(tx 將上式反過來寫將上式反過來寫 dxxf)()(tx dtttftdtf)( )()()( )()(xtdttg1 (4)這就是這就是不定積分的換元法不定積分的換元法( 第二換元法第二換元法)定理定理 (不定積分的第二換元法不定積分的第二換元法) 說明說明:設(shè)設(shè) f (x) , 均連續(xù)均連續(xù) ,)( , )(ttx 且反函數(shù)且反函數(shù) )(xt1 存在且連續(xù)存在且連續(xù) , 若已知若已知 ctGdttt

13、f)()( )( 則則 cxGdxxf)()(1 (4)換元法換元法 (4) 把積分把積分 的計算轉(zhuǎn)化為的計算轉(zhuǎn)化為 dxxf)(積分積分 的計算的計算 . dttg )(與換元法與換元法 (3) 不同的是不同的是 ,換元法換元法 (4) 中的中的 x = (t)具有更大地靈活性具有更大地靈活性 例例計算計算 dxxa22解解 dxxa22taxsin )cos()sin( dttataa22 cos tdta22 cos dtta2212 c)sin( tta22122txa22xa , sinaxt , cosaxat22 dxxa22 c)1(arcsin22 222xaxaaxa c2

14、1arcsin2 222xaxaxa例例計算計算 dxax221解解令令 , sectax 則則, tansecdtttadx taaxtan2 2 dxax221 tantansec dttatta sec tdt cos dtt1 ttddttt221sinsin coscostusin 21udu11121cuu lntxa22ax 由于由于xat cosxaxt22 sin所以有所以有 dxax2211222221caxxaxx lncaxxcaaxx 221222221ln)(ln11121ctt sinsinln例例計算計算 dxxxx138692解解原積分原積分 )( dxxx1

15、39132令令 2313 ttx0 , sec, tansecdtttdx txtan)(39132 原積分原積分 secsectan tdttt332 tan)(sec2 cttdtt1 tan tdt2t13 x39132 )( x由于由于133 xtcos913312 )(tanxt133 xtarccos dxxxx138692cxxx 133869312arccos例例計算計算 dxax22解解 dxax22ashtx )()( dtachtashta22 tdtcha22 dttcha2212)(2212tchtch ctshta )(22122注意到注意到 , ashtx ach

16、txa 22 taechtshtaxax )(22axaxt22 ln又又222222axaxshtchttsh 所以所以cxaxaxax 2222222ln dxax22ctshta )(22122例例計算計算 )( 1nxxdx解解令令 (倒數(shù)變換倒數(shù)變換) , tx1 dttdx21 )( 1nxxdx )( 11112nttdtt 11nntdtt )( 111nnttdnc ln ntn11c ln nxn111例例計算計算 dxxx 421解解 dttdx21 令令 , tx1 dxxx 421dtttt)(2421111 dttt 12)(112122 tdtcx 2321131

17、)(ct 232131)(40 分部積分法分部積分法在微分公式在微分公式)()()()()()(xdfxgxdgxfxgxfd 兩邊積分有兩邊積分有 )()()()()()(xdfxgxdgxfxgxfd即即 )()()()()()(xdfxgxgxfxdgxf(2)式式 (2) 稱為不定積分的稱為不定積分的分部積分公式分部積分公式 說明說明:分部積分公式分部積分公式 的意義在于把積分的意義在于把積分 )()(xdgxf的計算問題轉(zhuǎn)化為積分的計算問題轉(zhuǎn)化為積分 的計算問題的計算問題 )()(xdfxg例例計算計算 cosdxxx 解解 cosdxxx ) (sin xdx sinsindxxx

18、x cxxx cossin例例計算計算 dxexx 2解解 xxdexdxex22 )(dxxeexxx22 dxxeexxx22 xxxdeex22 )(dxexeexxxx22 dxexeexxxx222cexeexxxx 222cexxx )(222解解 lndxx lndxxxxx1 cxxx ln 例例 )ln()(dxxx 4322計算計算例例計算計算 lndxx 解解原積分原積分 )()ln(43422 xxdxdxxxxxxxx 44324432222)()ln()(dxxxxxxx )()ln()(4624432222dxxxxxxx 4644322222)ln()(dxxx

19、 422dxxx 44422dxx)( 4412dxxx 4142dxxx 2211)(dxxx 2211)()()(221122xdxx cxx )arctan(22所以有所以有cxxxxxx )arctan()ln()(2126443222 )ln()(dxxx4322例例 ln xdxx23計算計算解解原積分原積分 )(ln 4241xxd )lnln( dxxxxx324241 lnln xdxxxx3242141 )(lnln 4248141xxdxx )ln(ln dxxxxxx34248141 clnln 44243218141xxxxx例例 arcsindxxxx 21計算計算

20、解解原積分原積分 )(arcsin 21xxd )arcsin( dxxxxx222111 arcsincxxx 21例例0, , sin xdxex計算計算解解 sin xdxeIx sin xxde 1 )cossin( dxexxexx 1 cossin xxxdexe 21 )sincos(sin dxexxexexxx 21 sincossin dxexxexexxx 2221 cossin IxexeIxx2221 )cossin( 212221cxxeIx )cossin( cxxeIx 221說明說明:此例表明此例表明: 通過分部積分有時可獲得所求通過分部積分有時可獲得所求積分

21、滿足的方程積分滿足的方程 , 解此方程求得積分解此方程求得積分 例例 )sin(ln dxx計算計算解解 )sin(ln dxxI )cos(ln)sin(ln dxxxxxx1 )cos(ln)sin(ln dxxxx )sin(ln()cos(ln)sin(ln dxxxxxxxx1 )sin(ln)cos(ln)sin(ln dxxxxxx )cos(ln)sin(lnIxxxx )cos(ln)sin(ln12cxxxI 所以有所以有 )cos(ln)sin(lncxxxI 2即即例例NnaxdxInn , )(22計算計算解解 )()( 1222222nnnaxdxxnaxxIdx

22、)()( 122222222nnaxaaxnaxx 1222222222nnnaxdxnaaxdxnaxx)()()(122222 nnnInanIaxx)(所以有所以有, , )(212122122221 nInanaxxnaInnn又又 caxaaxdxI)arctan(1221故可根據(jù)上式推得故可根據(jù)上式推得 , , 32II說明說明:此例表明此例表明: 通過分部積分有時可獲得遞推通過分部積分有時可獲得遞推式式 , 通過遞推式獲得解通過遞推式獲得解 高等數(shù)學(xué)研究性小課題高等數(shù)學(xué)研究性小課題:從微分公式獲得積分公式的方法及其應(yīng)用從微分公式獲得積分公式的方法及其應(yīng)用50 有理函數(shù)積分法有理函

23、數(shù)積分法如果如果 m n ,則則)( , )()()()(nlxQxPxrxRnl dxxQxPdxxrxxRnl)()()()d( ( r(x)為多項式為多項式 )(Q , )(xxPnm其中其中 分別為分別為 m , n 次實系數(shù)多項式次實系數(shù)多項式有理函數(shù)有理函數(shù):, )()()(xQxPxRnm 當(dāng)當(dāng) m n 時時 , 稱為稱為有理真分式有理真分式 )()()(xQxPxRnm 于是討論有理函數(shù)的積分于是討論有理函數(shù)的積分 , 只需討論只需討論 dxxR)( 有理真分式的積分有理真分式的積分 xxQxPnld)()(關(guān)于有理真分式關(guān)于有理真分式 有以下有以下部分分式部分分式)()()(

24、xQxPxRnl 分解定理分解定理 定理定理設(shè)設(shè) , )( )()()(nmxQxPxRnm 如果如果, )()( )()()( srxxqpxxbxaxaxQn 220其中其中 是正整數(shù)是正整數(shù) , , , , , , 各二項式無實根各二項式無實根 ,則則 R(x) 有以下唯一的有以下唯一的部分分式分解部分分式分解:)()()(xQxPxRnm )()(axAaxAaxAa22101 qpxxNxMbxBbxBbxB211221 )()( srxxSxRqpxxNxMqpxxNxM21122222 )()()()( srxxSxRsrxxSxR22222其中其中221122112121SRS

25、RNMNMBBAA, ; , , , ; , , ; , ,都為實的常數(shù)都為實的常數(shù) 從定理可知從定理可知:計算計算 將面臨以下四種類型的積分將面臨以下四種類型的積分: xxQxPnmd)()( dxax1(1)( )(11 kdxaxk(2)(3) xqpxxNMxd2(4) xqpxxNMxkd)(2由于由于)()(42222pqpxqpxx )( )(0422222 pqaapx xqpxxNMxkd)(2 xapxNMxkd)(222 dxapxMpNdxapxpxMkk)()()()(222222222pxt dtatMpNdtattMkk)()()(222212湊微分求解湊微分求解

26、遞推公式求解遞推公式求解例例 )(dxxxx 221122計算計算解解先進(jìn)行部分分式分解先進(jìn)行部分分式分解 ,設(shè)設(shè)2222211221111122)()( xCxBxCxBxAxxx)()()(1112221122 xxCxBxAx)(122 xCxB2211311412xBCBAxBCxBA)()()( 212211CCAxBCBC )(比較等式兩邊有比較等式兩邊有01 BA011 BC02211 BCBA2221 BBCC221 CCA解得解得:11111 CBA , , 0222 CB , 222221211111122)()( xxxxxxxx所以有所以有 )(dxxxx 221122

27、 )( dxxxdxxxdxx222121111221131141222xBCBAxBCxBAx)()()(212211CCAxBCBC )( )()( ln 2222211111xxdxdxdxxxx arctan)( ln 1111211222xxxxdx carctan1)ln( ln 1121122xxxx例例 dxxxxx 13223計算計算解解由于由于2113223 )(xxxxx所以所以121132223 xxxxxx dxxxxx 13223 )( 1212xdxdxxdxxxxx) ( 1111212cxxxx 11212lnlncxxxx 11212ln60 可化為有理函數(shù)

28、的積分可化為有理函數(shù)的積分(1) 三角有理函數(shù)的積分三角有理函數(shù)的積分例例 )cos)(sin(cossindxxxxx 121計算計算解解因為因為222xxxcossinsin 2222xxsectan 2xttan 212tt 1222 xxcoscos22222xxxcoscossin 21222xxtantan 1222 xsec12122 xtan即令即令2xttan ( 萬能變換萬能變換 ) 之后之后 , 有有, sin212ttx , cos2211ttx , dttdx212 ) arctan(tx2 )cos)(sin(cossindxxxxx 121所以有所以有 )(dtttttttttt22222221211112211121 22211112ttt dttttt 122 )( 1122ttttdtcxxx )tanln(tantan 12222說明說明: 對于三角有理式對于三角有理式 dxxxR) cos , sin ( 總可通過總可通過 “ 萬能變換萬能變換” 化為有理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分 dtttt