1、與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題一問題的引入：在學(xué)習(xí)了作軸對稱圖形之后，人教版八年級上冊P42，有這樣一個問題在這個問題中，利用軸對稱，將折線轉(zhuǎn)化為直線，再根據(jù)“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，等相關(guān)的知識，得到最短線段，這一類問題也是當(dāng)今中考的熱點題型。通常會以：直線、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等為載體。本文試圖對這一類問題進(jìn)行分類，在每一類中有若干題型，且給出了基本的解答。若掌握了下面列舉的題型，讓學(xué)生能夠明白與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題在這些載體中的表現(xiàn)形式，則能收到舉一反三，事倍功半的效果。二數(shù)學(xué)模型：1.如圖，直線l 和 l 的異側(cè)兩點A 、 B，在

2、直線l 上求作一點P，使 PA+PB 最小。2.如圖，直線l 和 l 的同側(cè)兩點A 、 B，在直線l 上求作一點P，使 PA+PB 最小。1/273.如圖，點P 是 MON 內(nèi)的一點，分別在OM ， ON 上作點 A ， B 。使 PAB 的周長最小為方便歸類，將以上三種情況統(tǒng)稱為“兩邊之和大于第三邊型”4.如圖，點 P， Q 為 MON 內(nèi)的兩點，分別在 OM ， ON 上作點 A ，B 。使四邊形 PAQB 的周長最小。為方便歸類，將這種情況稱為“兩點之間線段最短型”5.如圖，點 A 是 MON 外的一點，在射線 ON 上作點 P，使 PA 與點 P 到射線 OM 的距離之和最小6.如圖，

3、點 A 是 MON 內(nèi)的一點，在射線 ON 上作點 P，使 PA 與點 P 到射線 OM 的距離之和最小2/27為方便歸類，將以上兩種情況，稱為“垂線段最短型”三 .兩邊之和大于第三邊型(一 )直線類1 如圖， A 、 B 兩個小集鎮(zhèn)在河流 CD 的同側(cè)，分別到河的距離為AC 10 千 M，BD30千 M ，且 CD 30 千 M ，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A 、 B 兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千 M3 萬，請你在河流CD 上選擇水廠的位置 M ，使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？作點 B 關(guān)于直線 CD 的對稱點 B'，連接 AB' ，交BCD于點 MA則 A

4、M+BM = AM+B'M = AB'，水廠建在 M 點時，費用最小CM如右圖，在直角 AB'E 中，DAE = AC+CE = 10+30 = 40EB' = 30EB'所以： AB' = 50總費用為： 50× 3 = 150 萬2 如圖， C 為線段 BD 上一動點，分別過點 B、D 作 AB BD，EDBD，連接AC、EC。已知 AB=5，DE=1，BD=8，設(shè) CD=x.(1) 用含 x 的代數(shù)式表示 ACCE的長；(2) 請問點 C 滿足什么條件時， AC CE的值最小 ?(3) 根據(jù) (2) 中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)

5、式x2+4+(12-x) 2+9的最小值A(chǔ)5xE1B8-xCDFE'( 1)AC =(8-x) 2 + 25 ， CE =x2 + 1則 AC+CE =(8-x) 2 + 25+x2 + 1(2)A 、C、E 三點共線時 AC+CE最小連接 AE，交 BD于點 C，則 AE就是 AC+CE的最小值最小值是 10(3) 如右圖， AE的長就是這個代數(shù)式的最小值在直角 AEF中,AF = 5 EF = 123/27根據(jù)勾股定理AE = 13A3xDB12-xC2FE3 求代數(shù)式 x2 + 1 + (4-x) 2+ 4 （ 0 x 4）的最小值如右圖， AE 的長就是這個代數(shù)式的最小值A(chǔ)在直

6、角 AEF 中2AF=3 EF=4xD則 AE=5B4-xC1所以，這個代數(shù)式的最小值是5FE(二 )角類4 兩條公路OA 、OB 相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設(shè)為點P，如在兩條公路上各設(shè)置一個加油站，請你設(shè)計一個方案，把兩個加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短.分析 這是一個實際問題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過分析，我們知道此題是求運(yùn)油車所走路程最短，OA 與 OB 相交，點P 在 AOB 內(nèi)部，通常我們會想到軸對稱，分別做點 P 關(guān)于直線 OA 和 OB 的對稱點 P1 、P2 ，連結(jié) P1P2 分別交 OA 、 O

7、B 于 C、 D，C、 D 兩點就是使運(yùn)油車所走路程最短，而建加油站的地點，那么是不是最短的呢？我們可以用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行說明 .解：分別做點 P 關(guān)于直線 OA 和 OB 的對稱點P1、P2，連結(jié) P1P2 分別交 OA 、OB 于 C、D ，則 C、 D 就是建加油站的位置 .若取異于 C、D 兩點的點，則由三角形的三邊關(guān)系，可知在C、 D 兩點建加油站運(yùn)油車所走的路程最短 .點評：在這里沒有詳細(xì)說明為什么在C、D 兩點P1A建加油站運(yùn)油車所走的路程最短，請同學(xué)們思考弄明白。QP5 如圖 AOB = 45°， P 是 AOB 內(nèi)一點， PO =10，4/27ORBP2Q、 P

8、 分別是 OA 、OB 上的動點，求PQR 周長的最小值分別作點 P 關(guān)于 OA 、OB 的對稱點P1、 P2，連接 P1P2，交 OA 、 OB 于點 Q，R，連接 OP1， OP2，則 OP=OP1=OP2=10 且 P1OP2 = 90°由勾股定理得 P1P2 = 10 2(三 )三角形類6 如圖，等腰 Rt ABC 的直角邊長為2， E 是斜邊 AB 的中點， P 是 AC 邊上的一動點，則 PB+PE 的最小值為即在 AC 上作一點 P，使 PB+PE 最小作點 B 關(guān)于 AC 的對稱點 B' ，連接 B'E ，交AC 于點 P，則 B'E = PB

9、'+PE = PB+PEEB'E 的長就是 PB+PE 的最小值P在直角 B'EF 中， EF = 1， B'F = 3根據(jù)勾股定理， B'E = 10B'F7 如圖，在 ABC 中， AC BC 2， ACB 90°，D 是動點，則 EC ED 的最小值為 _ 。即是在直線AB 上作一點E，使 EC+ED 最小作點 C 關(guān)于直線 AB 的對稱點 C'，連接 DC' 交 AB 于點 E，則線段 DC'的長就是 EC+ED 的最小值。在直角 DBC' 中DB=1 ， BC=2 ，根據(jù)勾股定理可得，DC

10、9;=5BC 邊的中點， E 是 AB 邊上一'E8等腰 ABC 中， A = 20 °， AB = AC = 20 ，M、N 分別是 AB 、 AC 上的點，求 BN+MN+MC 的最小值分別作點 C、B 關(guān)于 AB 、 AC 的對稱點 C、 B，連接 CB 交 AB 、AC 于點 M 、 N，則 BN+MN+MC = BN+MN+MC = B C， BN+MN+MC 的最小值就是 BC的值 BAC = BAC ， CAB = CAB BAC = 60°AC = AC ， AB = AB ，AC = ABAC = AB AB C是等邊三角形C'B C= 2

11、0DAMNB'BC9 如圖，在等邊 ABC 中， AB = 6， AD BC， E 是 AC 上的一點， M 是 AD 上的一點，且 AE = 2 ，求 EM+EC 的最小值5/27AAEEMHMBDCBDC因為點 C 關(guān)于直線AD 的對稱點是點B，所以連接 BE，交 AD 于點 M ，則 ME+MD最小，過點 B 作 BHAC 于點 H，則 EH=AH AE=3 2=1，BH= BC2-CH2= 62-32=3 3在直角 BHE 中， BE =BH2+HE2=(3 3)2+12=2 7(四 )正方形類10 如圖，正方形ABCD 的邊長為8， M 在 DC 上，且 DM 2，N 是 A

12、C 上的一動點， DNMN 的最小值為 _。即在直線 AC 上求一點N，使 DN+MN最小故作點 D 關(guān)于 AC 的對稱點 B，連接 BM ，交 AC 于點 N。則 DN BN 線段的長就是DN 的最小值在直角中，則故 DN 的最小值是ADNMBC11 如圖所示，正方形 ABCD 的面積為12， ABE 是等邊三角形，點E 在正方形 ABCD內(nèi)，在對角線AC 上有一點 P，使 PD PE 的和最小，則這個最小值為（）A2 3B2 6C3D 6AD即在 AC 上求一點 P，使 PE+PD 的值最小點 D 關(guān)于直線 AC 的對稱點是點 B，連接 BE 交 AC 于點 P，則 BE = PB+PE

13、= PD+PE ， BE 的長就是 PD+PE 的最小值EBE=AB=23PBC12 在邊長為2 的正方形 ABCD 中，點 Q 為 BC 邊的中點，點 P 為對角線 AC 上一動點，連接 PB 、PQ，則 PBQ 周長的最小值為 _（結(jié)果不取近似值）.即在 AC 上求一點P，使 PB+PQ 的值最小因為點 B 關(guān)于 AC 的對稱點是D 點，所以連接DQ ，與 AC 的交點ADP6/27BQCP 就是滿足條件的點DQ = PD+PQ = PB+PQ故 DQ 的長就是 PB+PQ 的最小值在直角 CDQ 中， CQ = 1 ，CD = 2根據(jù)勾股定理，得，DQ=513 如圖，四邊形ABCD 是正

14、方形，AB = 10cm ， E 為邊 BC 的中點， P 為 BD 上的一個動點，求 PC+PE 的最小值；AD連接 AE ，交 BD 于點 P，則 AE 就是 PE+PC 的最小值在直角 ABE 中，求得 AE 的長為 5 5(五)矩形類BEC14 如圖，若四邊形ABCD 是矩形，AB = 10cm ，BC = 20cm ， E 為邊 BC 上的一個動點，P 為 BD 上的一個動點，求PC+PE 的最小值；作點 C 關(guān)于 BD 的對稱點C'，過點 C'，作 C'B BC ，交BD 于點 P，則 C'E 就是PE+PC 的最小值C'直角 BCD 中，

15、CH = 20 錯誤！未定義書簽。5A直角 BCH 中， BH = 85BCC' 的面積為： BH × CH = 160H所以 C'E× BC = 2× 160則CE'=16PBE(六 )菱形類15 如圖，若四邊形 ABCD 是菱形， AB=10cm ， ABC=45 °， E 為邊 BC 上的一個動點， P 為 BD 上的一個動點，求 PC+PE 的最小值；DC點 C 關(guān)于 BD 的對稱點是點 A ，過點 A 作 AEBC ，交 BD 于點 P，則 AE 就是 PE+PC 的最小值B在等腰 EAB 中，求得 AE 的長為 5 2

16、(七 )直角梯形類16 已知直角梯形ABCD 中， AD BC， AB BC， AD=2 ，BC=DC=5，點 P 在 BC 上移動，則當(dāng) PA+PD 取最小值時，APD 中邊 AP 上的高為（）A、 217B、 417C、 817 D、3171717APEAC DBPDC7/27A'作點 A 關(guān)于 BC 的對稱點A' ，連接 A'D ，交 BC 于點 P則 A'D = PA'+PD = PA+PDA'D 的長就是PA+PD 的最小值SAPD = 4在直角 ABP 中， AB = 4 ，BP = 1根據(jù)勾股定理，得AP=174817所以 AP 上

17、的高為： 2×=(八 )圓類CD 上找17 已知 O 的直徑 CD 為 4， AOD 的度數(shù)為60°，點 B 是 AD 的中點，在直徑一點 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值A(chǔ)即是在直線 CD 上作一點 P，使 PA+PB 的值最小作點 A 關(guān)于 CD 的對稱點 A' ，連接 A'B ，交 CD 于點BP，則 A'B 的長就是 PA+PB 的最小值C連接 OA' ， OB，則 A'OB=90 °，DOPOA'=OB=4根據(jù)勾股定理，A'B = 4218 如圖， MN 是半徑為1 的 O

18、的直徑，點A 在 O上， AMN 30°， B 為 AN 弧的中點， P 是直徑 MN 上一動點，則A22B2C1D2即在 MN 上求一點 P，使 PA+PB 的值最小作點 A 關(guān)于 MN 的對稱點 A' ，連接 A'B ，交 MN 于點P，則點 P 就是所要作的點A'PA PB 的最小值為 ()ABA'B 的長就是PA+PB 的最小值M連接 OA' 、 OB，則 OA'B 是等腰直角三角形所以 A'B =2OPNA'(九 )一次函數(shù)類y419 在平面直角坐標(biāo)系中，有3A（3， 2）， B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C （

19、 1 ， n ） ， 當(dāng)2Bn=_時， AC + BC 的值最小14 3 2 1O1234x18/272AA'34點 C（1， n），說明點C 在直線x=1 上，所以作點A 關(guān)于直線x=1 的對稱點A' ，連接A'B ，交直線x=1 于點 C，則 AC+BC 的值最小設(shè)直線 A'B 的解讀式為y=kx+b ，則-2=-k+b2=4k+b解得： k = (4/5)b = - (6/5)所以： y = (4/5)x-(6/5)當(dāng) x = 1 時， y = -(2/5)故當(dāng) n = -(2/5) 時， AC+BC 的值最小20 一次函數(shù) y=kx+b 的圖象與x、 y

20、 軸分別交于點A （ 2， 0）， B（ 0， 4）（1）求該函數(shù)的解讀式；（2） O 為坐標(biāo)原點，設(shè) OA 、 AB 的中點分別為 C、 D， P 為 OB 上一動點，求 PC PD 的最小值，并求取得最小值時 P 點坐標(biāo)(1) 由題意得：y0 = 2x+b4 = b解得 k = -2 ， b= 4，所以 y = -2x+4(2)B作點 C 關(guān)于 y 軸的對稱點 C'，連接 C'D ，交 y 軸于點 PD則 C'D = C'P+PD = PC+PDC'D 就是 PC+PD 的最小值P連接 CD，則 CD = 2，CC' = 2x在直角 C

21、9;CD 中，根據(jù)勾股定理 C'D = 2 2C'OCA求直線 C'D 的解讀式，由 C'(-1 ，0) ，D(1 ， 2)所以，有0 = -k+b2 = k+b解得 k = 1 ，b = 1 ，所以 y = x+1當(dāng) x = 0 時， y =1，則 P(0， 1)21 如圖，一次函數(shù)1y =k交于點 A ，AM x 軸于點 M ，S OAM = 1y = x與反比例函數(shù)x2(1)求 k 的值，(2)點 B 為雙曲線 y =k上不與 A 重合的一點，且B(1 ， n)，在 x 軸上求一點 P，使 PA+PB 最x小(1)由 SOAM = 1 知， k = 2(2

22、) 作點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點 A，連接 AB ，交 x 軸于點P，連接 PA，則 PA+PB 最小。用待定系數(shù)法求直線AB 的解讀式為y = - 3x + 5 ，因為點 P 在 x 軸上，所以設(shè)y = 0 ，即 0 = - 3x + 5 ，5解得 x =9/27所以 P( 53， 0)22 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l 是第一、三象限的角平分線（1）由圖觀察易知 A （ 0， 2）關(guān)于直線 l 的對稱點 A的坐標(biāo)為（ 2， 0），請在圖中分別標(biāo)明 B （ 5，3）、 C（ 2，5）關(guān)于直線 l 的對稱點 B、 C的位置，并寫出他們的坐標(biāo)： B、C；（ 2）結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標(biāo)

23、，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點P（ a， b）關(guān)于第一、三象限的角平分線 l 的對稱點 P的坐標(biāo)為 （不必證明）；運(yùn)用與拓廣：（3）已知兩點 D （1， 3）、 E（ 1， 4），試在直線 l 上確定一點 Q，使點 Q 到 D 、E兩點的距離之和最小，并求出 Q 點坐標(biāo)(1) 點 B(5 ， 3)、 C(-2 ， 5)關(guān)于直線 l 的對稱點(2) 坐標(biāo)平面內(nèi)任一點 P(a， b)關(guān)于直線 l 的對稱點 P'的坐標(biāo)為 (b， a)(3) 作點 E 關(guān)于直線 l 的對稱點 E'，連接DE'，交直線l 于點 Q則 QE+QD 的值最小設(shè)直線DE' 的解讀式為：y = k

24、x+b ，因為 D(1 ， -3)、 E'(-4,-1) ，則-3 = k+b-1 = -4k+b解得： k = - 2， b = - 13552 13 所以 y = - 5x - 5當(dāng) x = y 時，有 x = y = - 13713 13則Q點的坐標(biāo)為 (- 7，- 7)B'(3， 5) 、C'(5 ，-2)yB'ClABOxE'A'QC'DE(十 )二次函數(shù)類23 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點 A 的坐標(biāo)為（ -2， 0），連結(jié) 0A ，將線段 OA 繞原點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 120。，得到線段 OB.（ 1）求點 B 的坐標(biāo)；（ 2）

25、求經(jīng)過 A 、O、B 三點的拋物線的解讀式；（3）在（ 2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使 BOC 的周長最小？若存在，求出點C 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結(jié)果均y保留根號）(1)B(1 ， 3)3223(2)y = 3 x+3xB10/27CxAO(3) 因為點 O 關(guān)于對稱軸的對稱點是點A ，則連接 AB ，交對稱軸于點C，則 BOC 的周長最小32233y = 3 x+3 x，當(dāng) x=-1 時， y = 3所以 C(-1 ， 33)24324 如圖，拋物線y=ax +bx+c 的頂點 P 的坐標(biāo)為(1， -3 )，交 x 軸于 A 、 B 兩點，交 y軸于點 C(

26、0， -3)（ 1）求拋物線的表達(dá)式（ 2）把 ABC 繞 AB 的中點 E 旋轉(zhuǎn) 180°，得到四邊形 ADBC 判斷四邊形ADBC 的形狀，并說明理由（ 3）試問在線段 AC 上是否存在一點 F，使得 FBD 的周長最小，若存在，請寫出點 F 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由yDAxOBF(3)C作點 B 關(guān)于 AC 的對稱點 G，連接DG，交 AC 于點 F，則 FBD 的周長最小G因為 CF BD ， CG = 1BD ，所以 F(-1， -3)22225 如圖，拋物線yx2bx 2 與 x 軸交于 A，B 兩點，與y 軸交于 C 點，且 A( 1， 0)（1）求拋物線的解讀式及

27、頂點D 的坐標(biāo)；（2）判斷 ABC 的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點 M(m,0) 是 x 軸上的一個動點，當(dāng)MC MD 的值最小時，求m 的值123y(1) y = 2x-2-2C'(3) 作點 C 關(guān)于 x 軸的對稱點 C，連接 CD，交 x 軸于點 M，則 MC+MD 的值最小，求出直線 CD 的解讀式，即可得到M 點的坐標(biāo)24m = 41OMxABCD方法點撥：此類試卷往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等為背景，但都有一個“軸對稱性”的圖形共同點，解題時只有從變化的背景中提取出“建泵站問題”的數(shù)學(xué)模型，再通過找定直線的對稱點把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)換為異側(cè)線段和

28、，利用“兩點之間線段最短”，實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”即可解決。有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此時會含有定長的線段，依然可以轉(zhuǎn)化為“建泵站問題”。26 如圖，在直角坐標(biāo)系中，A ， B， C 的坐標(biāo)分別為（-1 ， 0），（ 3， 0），（ 0， 3），11/27過 A ，B， C 三點的拋物線的對稱軸為直線l， D 為直線(1) 求拋物線的解讀式；(2) 求當(dāng) AD+CD 最小時點 D 的坐標(biāo)；(3) 以點 A 為圓心，以 AD 為半徑作圓 A ；證明：當(dāng) AD+CD 最小時，直線 BD 與圓 A 相切；寫出直線 BD 與圓 A 相切時，點 D 的另一個坐標(biāo)。l 上的一個動點， y

29、CD(2)連接BC ，交直線l 于點D ，則DA+DC =AOBxDB+DC = BC ，BC 的長就是 AD+DC 的最小值BC： y = -x + 3則直線 BC 與直線 x = 1 的交點 D(1，2)，27 如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點A（ - 1， 0）和點B（ 0， -5）（1）求該二次函數(shù)的解讀式；（ 2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得 ABP 的周長最小請求出點P 的坐標(biāo)(1) y = x2 4x - 5y(2)BC ： y = x - 5P(2 ， -3)xOACPB28 已知等腰三角形ABC 的兩個頂點分別是 A(0 ， 1)、 B(0， 3)，第三個頂

30、點C 在 x 軸的正半軸上關(guān)于 y 軸對稱的拋物線yax2bx c 經(jīng)過 A、 D(3 ， 2)、 P 三點，且點P 關(guān)于直線 AC 的對稱點在 x 軸上(1)求直線 BC 的解讀式；y(2)2bx c 的解讀式及點 P 的坐標(biāo)；B求拋物線 yax(3)設(shè) M 是 y 軸上的一個動點，求PM CM 的取值范A圍xCO12/27(1) 以點 A 為圓心， AB 為半徑作圓，交 x 軸的正半軸于點 C，在直角 ACO 中 OA = 1，AC = 2根據(jù)勾股定理，得OC=3故 C( 3，0)設(shè)直線 BC 的解讀式為y = kx+b ，則3= b0= 3k+b解得 k = -3， b = 3(2) 因

31、為拋物線關(guān)于 y 軸對稱，所以設(shè)拋物線的解yBACFxO讀式為 y = ax 2+c，則1 = c-2 = 9a+c1解得 a = -， c = 1在直角 ACO 中 AC=2 ，OA=1，則 ACO=30° 在直角 BCO 中 OC = 3， OB = 3 ，則 BCO= 60°所以 CA 是 BCO 的角平分線即直線 BC 和 x 軸關(guān)于直線AC 對稱因為點 P 關(guān)于直線AC 的對稱點在軸上故點 P 應(yīng)在直線 BC 和拋物線上，則有方程組 y = - 3x+31 2y = - 3x +1解得 x1 =3 y1= 0 x 2 =23 y 2 = -3所以 P(3， 0)，

32、或 (23， -3)(3) 當(dāng)點 M 在 y 軸上運(yùn)動時， PM+CM 沒有最大值，只有最小值，所以求 PM+CM 的取值范圍，就是要求 PM+CM 的最小值當(dāng)點 P 與點 C 重合時，即（3，）點 M 在原點， PM+CM 的值最小， PM+CM = 23所以 PM+CM 23當(dāng)點 P(23， -3)時作點 C 關(guān)于 y 軸的對稱點E，過點 P 作 x 軸的垂線，垂足為在直角 EFP 中， EF = 33，PF = 3根據(jù)勾股定理，得EP=6所以 PM+CM 的最小值是6，則 PM+CM 6DPyBAECxOMDPF29 如圖，在矩形OABC 中，已知A、 C 兩點的坐標(biāo)分別為A(4 ， 0

33、)、 C(0， 2)， D 為 OA的中點設(shè)點P 是 AOC 平分線上的一個動點（不與點O 重合）（1）試證明：無論點P 運(yùn)動到何處，PC 總與 PD 相等；（2）當(dāng)點 P 運(yùn)動到與點B 的距離最小時，試確定過O、 P、D 三點的拋物線的解讀式；（3）設(shè)點E 是（ 2）中所確定拋物線的頂點，當(dāng)點P 運(yùn)動到何處時，PDE 的周長最小？求出此時點P 的坐標(biāo)和 PDE 的周長；13/27（4）設(shè)點 N 是矩形 OABC 的對稱中心，是否存在點P，使 CPN = 90°？若存在，請直接寫出點 P 的坐標(biāo)yP(1) OCP ODPC(2) 過點 B 作 AOC 的平分線的垂線于點P，點 P 即

34、為所FB1求過點 P作 PMBC 于點 M ，則 PM = BF= 12x所以點 P 的縱坐標(biāo)為 3，又因為點P 在 AOC 的平分線ODA上，則 P(3， 3)因為拋物線過原點，故設(shè) y = ax2+ bxyP又拋物線經(jīng)過點 P(3，3) ，D(2 ， 0)所以 9a+3b=3解得 a = 1， b = -2C4a+2b=0FMB則拋物線的解讀式為 y = x22x(3)點 D 關(guān)于 AOC 的平分線的對稱點是點xC，連接 CE 交 OF 于點 P，則 PDE 的周長最ODA小的頂點，拋物線的解讀式為 y = x22xE(1 -1)， C(0，2)設(shè)直線 CE 的解讀式為 y = kx+b

35、，則y-1=k+b 解得 k = -3 ， b = 22=b直線 CE 的解讀式為 y = -3x+2CFB點 P 的坐標(biāo)滿足 y=-3x+2 解得 x = 1,y =1x=y22x11DA所以 P(2，2)OPDE 的周長即是 CE + DE = 10+2E(4)存在這樣的點 P，使 CPN = 90°，坐標(biāo)是(12， 12)或(2，2)30 已知：拋物線 y = ax2+bx+c(a 0)的對稱軸為 x = -1，與 x 軸交于 A 、 B 兩點，與 y 軸交于點 C，其中 A(-3 ， 0)、 C(0 ，-2)（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得

36、PBC 的周長最小請求出點P 的坐標(biāo)（3）若點 D 是線段 OC 上的一個動點（不與點 O、點 C 重合）過點 D 作 DE PC 交 x 軸于點 E，連接 PD、 PE設(shè) CD 的長為 m， PDE 的面積為 S求 S 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系式試說明 S 是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由14/27b(1) 由題意得2a = 124，c = - 29a-3b+c = 0解得 a = ， b =33c = -2y拋物線的解讀式為y =22+4x3x - 23Ox(2) 點 B 關(guān)于對稱軸的對稱點是點A ，連接 AC 交對稱軸于點 P，則 PBC 的周長最小設(shè)直線 AC

37、的解讀式為 y = kx+b，因為 A(-3 ， 0)， C(0， -2)，則0 = -3k + b 解得 k = - 2，b = -2-2 = b3所以直線 AC 的解讀式為 y = -23x 2把 x = -1 代入得 y = - 4，所以 P(-1， - 4)33(3)S 存在最大值DE PC， OEOD，即 OE2-mOA =OC3 =233OE = 3 - 2m， AE = OA OE = 2mABPC方法一，連接OPS = S 四邊形 PDOE SOED = SPOE + S POD S OED=13m)×4+1×(2 - m) × 1-1×

38、(3 -3×(3-2322m)× (2 - m)22323323= - 4m+ 2m= - 4(m-1) + 4所以，當(dāng)m = 1 時， S 最大 =方法二，34yS = SOAC SAEP S OEDSPCD323323EOx= - 4m+ 2m= - 4(m-1)+ 4ADBPC(十一 )建橋選址類31 如圖，村莊A 、 B 位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、 b 彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD ，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A 村到 B 村的路程最近？作法：設(shè)a、b 的距離為 r 。把點 B 豎直向上平移r 個單位得到點B'；連接 AB' ，交 a

39、 于 C；15/27過 C 作 CDb 于 D ；連接 AC 、BD 。證明： BB' CD 且 BB' CD ，四邊形 BB'CD 是平行四邊形，CB' BDAC CD DB AC CB' B'B AB' B'B在 a 上任取一點 C'，作 C'D' ，連接 AC' 、 D'B ， C'B'同理可得 AC' C'D' D'B AC' C'B' B'B而 AC' C'B'>A B&#

40、39;AC CD DB 最短。本題是研究AC CD DB 最短時的C、 D 的取法，而是定值，所以問題集中在研究AC DB 最小上。但 AC 、 DB 不能銜接，可將 BD 平移 B1C 處，則 AC DB 可轉(zhuǎn)化為 AC CB' ，要使 AC CB'最短，顯然， A 、 C、 B'三點要在同一條直線上。32 如圖， A 、 B 是直線 a 同側(cè)的兩定點，定長線段 PQ 在 a 上平行移動，問 PQ 移動到什么位置時， AP+PQ+QB 的長最短？B'BAPQP'Q'A'作法： (假設(shè) P'Q' 就是在直線 L 上移動的定長線段 )1)過點 B 作直線 L 的平行線 ,并在這條平行線上截取線段BB', 使它等于定長P'Q' ；2)作出點 A 關(guān)于直線 L 的對稱點 A'，連接 A'B' ，交直線 L 于 P；3)在直線 L 上截取線段 PQ=P'Q.則此時 AP+PQ+BQ最小 .略證：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四邊