1、機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 機機 械械 控控 制制 理理 論論2-1 2-1 拉普拉斯變換的數(shù)學方法拉普拉斯變換的數(shù)學方法2-2 2-2 系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的數(shù)學模型 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 2-1 2-1 拉普拉斯變換的數(shù)學方法拉普拉斯變換的數(shù)學方法 一、一、拉氏變換與拉氏及變換的定義拉氏變換與拉氏及變換的定義 二、二、典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換

2、三、三、拉氏變換的性質拉氏變換的性質 四、四、拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉氏變換是控制工程中的一個基本數(shù)拉氏變換是控制工程中的一個基本數(shù)學方法，其優(yōu)點是能將時間函數(shù)的導學方法，其優(yōu)點是能將時間函數(shù)的導數(shù)經拉氏變換后，變成復變量數(shù)經拉氏變換后，變成復變量S S的乘積，的乘積，將時間表示的微分方程，變成以將時間表示的微分方程，變成以S S表示表示的代數(shù)方程。的代數(shù)方程。一、拉氏變換與拉氏及變換的定義一、拉氏變換與拉氏及變換的定義機機 械械 控控 制制 理

3、理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 拉氏變換的定義拉氏變換的定義設有時間函數(shù)設有時間函數(shù)F(t)F(t)，其中，其中，則則f(t)f(t)的拉氏變換記作：的拉氏變換記作： L L拉氏變換符號；拉氏變換符號；s-s-復變量；復變量； F(s)F(s)象函數(shù)。象函數(shù)。f(t)f(t)原函數(shù)原函數(shù)0t 0stdte ) t (f) s (F)t (f L機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 拉氏反變換的定義拉氏反變換的定義將象函數(shù)將象函數(shù)F(s)F(s)變換成與之相對變換成與之相對應的原函

4、數(shù)應的原函數(shù)f(t)f(t)的過程的過程 11( ) ( )( )2jwstjwf tLF sF s e dsj機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 1 1、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù) 10t10t0t s1es1dte0dte .t10t1L0ststst二、二、典型時間函數(shù)的拉氏變換典型時間函數(shù)的拉氏變換 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 2 2、單位脈沖函數(shù)、單位脈沖函數(shù) 0t0t0t0st1dte ) t ()t (L機機 械械 控控 制制 理理

5、論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 3 3、單位斜坡函數(shù)、單位斜坡函數(shù) 0tt0t0tf 020011stststL ttedtteedtss 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 4 4、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù) ate00t )as (statatas1edteee L機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 5 5、正弦函數(shù)正弦函數(shù)sinwtsinwt )ee (j21wtsinjwtjwt0()()0221sin()21(

6、)2111()2jwtjwtstsjw tsjw tLwteeedtjeedtjwj sjwsjwsw機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 6 6、余弦函數(shù)余弦函數(shù)coswtcoswt )ee (21wtcosjwtjwt22wsswtcosL機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 線線 性性 性性 質質若 有 常 數(shù)若 有 常 數(shù) k k1 1， k k2 2, , 函 數(shù)函 數(shù)f f1 1(t),f(t),f2 2(t),(t),且且f f1 1(t),f(

7、t),f2 2(t)(t)的拉的拉氏變換為氏變換為F F1 1(s),F(s),F2 2(s),(s),則有：則有：此式可由定義證明。此式可由定義證明。 ) s (Fk) s (Fk)t (fk) t (fkL22112211三、拉氏變換的性質三、拉氏變換的性質 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 實實數(shù)數(shù)域域的的位位移移定定理理若若f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s),F(s),則對任一正實則對任一正實數(shù)數(shù)a a有有, ,其中，當其中，當t0t0時，時，f(t)=0f(t)=0，f(t-a)f(t-a)表表f(

8、t)f(t)延遲時間延遲時間a.a. ) s (Fe)at (f Las機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 復復數(shù)數(shù)域域的的位位移移定定理理若若f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s),F(s),對于任一對于任一常數(shù)常數(shù)a,a,有有)as (F)t (fe Lat機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 微微分分定定理理設設f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s),F(s),則則其中其中f(0f(0+ +) )由正向使由正向使 時的時的f(t)f

9、(t)值。值。( )( )( )(0 )df tLL f tsF sfdt0t 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 積積分分定定理理 設設f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s),F(s),則則 其中其中 時的值。時的值。)0(fs1s) s (Fdt) t (fL)1(t0t00tdt) t (f是在機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 初初值值定定理理設設f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s)F(s)，則函，則函數(shù)數(shù)f(t)f(t)的初

10、值定理表示為：的初值定理表示為：證明技巧：可利用微分定理來進證明技巧：可利用微分定理來進行證明行證明) s (sFlim) t (flim)0(fs0t機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 終終值值定定理理若若f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s),F(s),則終值則終值定理表示為：定理表示為： 0lim( )lim( )tsf tsF s機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 卷卷積積定定理理設設f(t)f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s),g(

11、t)F(s),g(t)的拉的拉氏變換為氏變換為G(s)G(s)， 則有則有 式中，式中，稱為稱為f(t)f(t)與與g(t)g(t)的卷積。的卷積。 t0Lf(t)g( )dF(s)G(s) t0f(t)g( )df(t) g(t) 機機 械械 控控 制制 理理 論論 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換在已知象函數(shù)在已知象函數(shù)F(s),F(s),求求f(t)f(t)時，對于簡時，對于簡單的象函數(shù)，可直接查單的象函數(shù)，可直接查拉氏變換表拉氏變換表，但對于復雜的，可利用部分分式展開但對于復雜的，可利用部分分式展開法，即通過代數(shù)運算將一個復雜的象法，即通過代數(shù)運算將一個復雜的象函數(shù)化為數(shù)個簡單的部分分式之

12、和，函數(shù)化為數(shù)個簡單的部分分式之和，再求出各個分式的原函數(shù)，從而求出再求出各個分式的原函數(shù)，從而求出總的原函數(shù)總的原函數(shù) 。第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 四、四、拉氏反變換的數(shù)學方法拉氏反變換的數(shù)學方法 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 部分分式展開法部分分式展開法 對于象函數(shù)對于象函數(shù)F(s),F(s),常可寫成如下形式：常可寫成如下形式： mm 1mm 10nn 1nn 1012m12nb sbsbB(s)F(s)A(s)a sasak(sz )(sz )(sz )(sp )(

13、sp )(sp )式中，式中，p1,p2p1,p2,pn,pn稱為稱為F(s)F(s)的極點，的極點， p1,p2p1,p2,pn,pn稱為稱為F(s)F(s)的零點。的零點。機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) F(s)F(s)總能展開成下面的部分分式之和總能展開成下面的部分分式之和 其中，分子為待定系數(shù)。其中，分子為待定系數(shù)。1 1、F(s)F(s)無重極點的情況無重極點的情況12n12nB(s)kkkA(s)spspspiiiis piB(s)B(p )k(sp )A(s)A(p )機機 械械 控控 制制 理理 論論第二

14、章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 解一解一 求求F(s)F(s)的拉氏變換的拉氏變換 122s3kkF(s)s3s2s1s21s12s3k(s1)2s3s22s22s3k(s2)1s3s2 t2t21F(s)f(t)2ees1s2 例例解解二二 A(s)2s3A( 1)1A( 2)1B( 1)2B( 2)1 12B( 1)B( 2)k2k1A( 1)A( 2) t2t21F(s)f(t)2ees1s2機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 設設F(s)F(s)有有r r個重極點個重極點p p1

15、1, ,其余極點均不相同，則其余極點均不相同，則 2 2、F(s)F(s)有重極點的情況有重極點的情況rn1r 1n11121rr 1nrr 1r111r 1nB(s)B(s)F(s)A(s)a (sp ) (sp)(sp )kkkkk(sp )(sp )(sp )(sp)(sp )1111r111s pr121s p2r131s p2r 1r1r1s pr 1kF(s)(sp )dkF(s)(sp ) ds1 dkF(s)(sp ) 2!ds1dkF(s)(sp ) (r1)!ds1111r111s pr121s p2r131s p2r 1r1r1s pr 1kF(s)(sp )dkF(s)

16、(sp ) ds1 dkF(s)(sp ) 2!ds1dkF(s)(sp ) (r1)!ds機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 解解 例例求求 的拉氏反變換的拉氏反變換 23s2s3F(s)(s1)2131112332as2s3aaF(s)(s1)(s1)(s1)(s1)2311s132312s1322313s123s2s3a(s1)2(s1)d s2s3a(s1) 0ds(s1)1 ds2s3a(s1) 12!ds(s1)12tt2t321f(t)L t ee(t1)e(s1)s1機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第

17、二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 2-2 2-2 系統(tǒng)的數(shù)學模型系統(tǒng)的數(shù)學模型 一、概述一、概述 二、二、系統(tǒng)微分方程的建立系統(tǒng)微分方程的建立 三、傳遞函數(shù)三、傳遞函數(shù) 四、四、方框圖及動態(tài)系統(tǒng)的構成方框圖及動態(tài)系統(tǒng)的構成 五、五、信號流圖及梅遜公式信號流圖及梅遜公式 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 一、概述一、概述機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法 對系統(tǒng)各部分的運動

18、機理對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，依據(jù)系統(tǒng)本身進行分析，依據(jù)系統(tǒng)本身所遵循的有關定律列寫數(shù)所遵循的有關定律列寫數(shù)學表達式，并在列寫過程學表達式，并在列寫過程中進行必要的簡化。中進行必要的簡化。 分析法分析法根據(jù)系統(tǒng)對某些典型輸入根據(jù)系統(tǒng)對某些典型輸入信號的響應或其它實驗數(shù)信號的響應或其它實驗數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型。即人為據(jù)建立數(shù)學模型。即人為施加某種測試信號，記錄施加某種測試信號，記錄基本輸出響應。基本輸出響應。 實驗法實驗法機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)與與非非線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)1 1、線、線 性性 系系

19、統(tǒng)統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng); 如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng);線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)與與非非線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)2 2、非、非 線線 性性 系系 統(tǒng)統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 例例，其中，其中,a,b,c,d,a,b,c,d均為常數(shù)。均為常數(shù)。 ax(t)bx(t)cx(t

20、)dy(t)線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)a(t)x(t)b(t)x(t)c(t)x(t)d(t)y(t)線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)2y(t)x (t)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)機機 械械 控控 制制 理理 論論本課程涉及的數(shù)學模型形式本課程涉及的數(shù)學模型形式 時間域：微分方程（一階微分方時間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程程組）、差分方程、狀態(tài)方程復數(shù)域：傳遞函數(shù)、結構圖復數(shù)域：傳遞函數(shù)、結構圖頻率域：頻率特性頻率域：頻率特性 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學

21、模型及傳遞函數(shù) 二、系統(tǒng)微分方程的建立二、系統(tǒng)微分方程的建立1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系，確定出待研究）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理，化學，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意所遵循的物理，化學，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意負載效應。所謂負載效應，就是考慮后一級對前一級的影響。負載效應。所謂負載效應，就是考慮后一級對前一級的影響。3）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得

22、出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程。）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程。所謂標準方程包含三方面的內容：所謂標準方程包含三方面的內容：將與輸入量有關的各項放在方程的右邊，將與輸入量有關的各項放在方程的右邊，與輸出量有關的各項放在方程的左邊；與輸出量有關的各項放在方程的左邊；各導數(shù)項按降冪排列；各導數(shù)項按降冪排列；機機 械械 控控 制制 理理 論論 機械系統(tǒng)微分方程的列寫機械系統(tǒng)微分方程的列寫 機械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉動機械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉動兩種。機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的兩種。機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質量、彈簧和物理現(xiàn)象，都可簡化為質量、彈簧和

23、阻尼三個要素。列寫其微分方程通常阻尼三個要素。列寫其微分方程通常用用達朗貝爾原理。即：作用于每一個達朗貝爾原理。即：作用于每一個質點上的合力，同質點慣性力形成平質點上的合力，同質點慣性力形成平衡力系。衡力系。 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 2oooi2ddmx (t)Cx (t)Kx (t)f (t)dtdt 例例直線運動（機械平移系統(tǒng)）直線運動（機械平移系統(tǒng)） 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的

24、數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 例例轉動系統(tǒng)轉動系統(tǒng) 0020220002( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )KicKciTtKttdT tCtdtdJtTtT tdtddJtCtKtKtdtdt機機 械械 控控 制制 理理 論論電網絡系統(tǒng)微分方程的列寫電網絡系統(tǒng)微分方程的列寫 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 電網絡系統(tǒng)分析主要根據(jù)基爾霍夫電流定律和電網絡系統(tǒng)分析主要根據(jù)基爾霍夫電流定律和電壓定律寫出微分方程式，進而建立系統(tǒng)的數(shù)電壓定律寫出微分方程式，進而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。學模型。1 1）基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點的所有電）

25、基爾霍夫電流定律：匯聚到某節(jié)點的所有電流之代數(shù)和應等于流之代數(shù)和應等于0 0（即流出節(jié)點的電流之和等（即流出節(jié)點的電流之和等于所有流進節(jié)點的電流之和）。于所有流進節(jié)點的電流之和）。1 21 2）基爾霍夫電壓定律）基爾霍夫電壓定律電網絡的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路電網絡的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路的電壓降的代數(shù)和。的電壓降的代數(shù)和。機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 例例0200021( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )iidu iRi tLi ti t dtdtCu ti t dtCdd

26、LCu tRCu tu tu tdtdt機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 小結小結物理本質不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以物理本質不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究。析研究。 從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學模型相同從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學模型相同而物理本質不同的系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制而物理本質不同的系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗模擬的基礎。理

27、論中進行實驗模擬的基礎。 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的中所包含的獨立獨立儲能元（慣性質量、彈性要素、電感、電儲能元（慣性質量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲容、液感、液容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其內部就多一層能量（信息）的交換。能元，其內部就多一層能量（信息）的交換。 系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結構系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結構及其參數(shù)。及其參數(shù)。 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳

28、遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 三、傳遞函數(shù)三、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的基本定義傳遞函數(shù)的基本定義 ： 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。變換之比。機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)的一般形式傳遞函數(shù)的一般形式 設線性定常系統(tǒng)由下述設線性定常系統(tǒng)由下述n n階線性常微分方程描述階線性常微分方程描述 nn 1mm 1nn 10mm 10nn 1mm 1d y(t)dy(t)d x(t)dx

29、(t)aaa y(t)bbb x(t)dtdtdtdt式中，式中，n mn m，當初始條件全為零時，對上式，當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式： mm 1mm 10nn 1nn 10b sbsbY(s)G(s)X(s)a sasa機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)的主要特點傳遞函數(shù)的主要特點 G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大小）無關與大小）無關 G(s)雖然描述了輸出

30、與輸入之間的關系，但它不提供任何該系雖然描述了輸出與輸入之間的關系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結構統(tǒng)的物理結構 傳遞函數(shù)是復變量傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，的有理真分式函數(shù)，mn，且所具有復變量，且所具有復變量函數(shù)的所有性質函數(shù)的所有性質 傳遞函數(shù)的量綱是根據(jù)輸入量和輸出量來決定，可有可無傳遞函數(shù)的量綱是根據(jù)輸入量和輸出量來決定，可有可無 機機 械械 控控 制制 理理 論論 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 具有某種確定信息傳遞關系的元件、具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 任何復雜系統(tǒng)可看做由一些基本的環(huán)任何復雜系統(tǒng)可

31、看做由一些基本的環(huán)節(jié)組成，控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)節(jié)組成，控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有：有：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 1 1、比例環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。其運動方程為：其運動方程為：x xo o(t)=Kx(t)=Kxi i(t) (t)

32、 拉氏變換為：拉氏變換為：X Xo o(s)=KX(s)=KXi i(s)(s)x xo o( (t t) )、x xi i( (t t) )分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K K比例環(huán)節(jié)的增益或放大環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，等于輸出量比例環(huán)節(jié)的增益或放大環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 oiX (s)G(s)KX (s)機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 例例求圖示一齒輪傳動副的傳遞函數(shù)求圖示一齒輪傳動副的傳遞函數(shù), , 分別為輸入軸分別為輸入軸及輸出

33、軸轉速及輸出軸轉速,Z,Z1 1和和Z Z2 2為齒輪齒數(shù)為齒輪齒數(shù),(,(當齒輪副無傳當齒輪副無傳動間隙動間隙, ,且傳動系統(tǒng)剛性無窮大時且傳動系統(tǒng)剛性無窮大時, ,為理想狀態(tài)為理想狀態(tài)).). 其拉換變換：其拉換變換：因為：因為：1i2oz n (t)z n (t)1i2oz N (s)z N (s)o1i2N (s)zG(s)KN (s)z機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 2 2、慣性環(huán)節(jié)（非周期環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)（非周期環(huán)節(jié)） 凡運動方程為一節(jié)微分方程：凡運動方程為一節(jié)微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：形

34、式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：式中式中: K: K環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）； T T時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結構時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結構 參數(shù)有關參數(shù)有關00( )( )( )idTx tx tKx tdt0( )( )( )1iXsKG sXsTs機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 例例此環(huán)節(jié)與比例環(huán)節(jié)相比，不能立即復現(xiàn)輸出，而需要一定的時間。此環(huán)節(jié)與比例環(huán)節(jié)相比，不能立即復現(xiàn)輸出，而需要一定的時間。說此環(huán)節(jié)具有說此環(huán)節(jié)具有“慣性慣性”，這是因為其中含有儲能元件，這是因為其中含有

35、儲能元件K K與阻能元件與阻能元件C C的原因。慣性大小由的原因。慣性大小由T T來決定。來決定。 KCT,1Ts1KCsK) s (G) t (Kx) t (Kxdt) t (dxCi00如：彈簧阻尼器環(huán)節(jié)如：彈簧阻尼器環(huán)節(jié)機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 3 3、微分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的微分。輸出量正比于輸入量的微分。運動方程為：運動方程為：傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：式中：式中：微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨立存在，而是和其它環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨立存在，而是和其它環(huán)節(jié)

36、一起出現(xiàn)一起出現(xiàn) 0( )( )idx tx tdt0( )( )( )iXsG ssX s機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 4 4、積分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量對時間的積分。輸出量正比于輸入量對時間的積分。運動方程為：運動方程為：傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：式中，式中，T積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。001( )( )tix tx t dtT0( )1( )( )iXsG sX sTs機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 5 5、振蕩環(huán)節(jié)

37、、振蕩環(huán)節(jié) 是二階環(huán)節(jié)，含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能是二階環(huán)節(jié)，含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質，其運動方程為夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質，其運動方程為 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：220002( )2( )( )( ) , 0 1iddTx tTx tx tKx tdtdt022( )( )( )21iXsKG sX sT sTs機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 6 6、延遲環(huán)節(jié)（也稱傳輸滯后環(huán)節(jié)）、延遲環(huán)節(jié)（也稱傳輸滯后環(huán)節(jié)） 運動方程：運動方程：傳遞函數(shù)：傳

38、遞函數(shù)：式中，式中， 為純延遲時間。為純延遲時間。 )t (x) t (xi0se) s (G其輸出滯后輸入時間其輸出滯后輸入時間，但不失真地反映輸入，延，但不失真地反映輸入，延遲環(huán)節(jié)一般與其它環(huán)節(jié)共存，不單獨存在。遲環(huán)節(jié)一般與其它環(huán)節(jié)共存，不單獨存在。 機機 械械 控控 制制 理理 論論延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；間才接近所要求的輸出值；延遲環(huán)節(jié)從輸

39、入開始之初，在延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時間內時間內, ,沒有輸出，但沒有輸出，但t=之后，輸出之后，輸出完全等于輸入。完全等于輸入。 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 四四、方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構成方塊圖及動態(tài)系統(tǒng)的構成1、方框圖 系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 方框圖的結構要素方框圖的結構要素 信號引出點（線）：信號引出點（

40、線）：表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。 函數(shù)方框（環(huán)節(jié)）：函數(shù)方框（環(huán)節(jié)）：方框代表一個環(huán)節(jié)，箭頭代表輸入輸出。方框代表一個環(huán)節(jié)，箭頭代表輸入輸出。 表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關系。表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關系。信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。 求和點（比較點、綜合點）：求和點（比較點、綜合點）：兩個或兩個以上的輸入信號進行

41、兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件。加減比較的元件。機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) G G( (s s) )R R( (s s) )C C( (s s) )圖圖2 2- -1 14 4 方方塊塊圖圖中中的的方方塊塊信信號號線線方方塊塊r(t)c(t)圖圖2 2- -1 16 6 分分支支點點示示意意圖圖P P( (s s) )P P( (s s) )R R( (s s) )C C( (s s) )(1sG)(2sG分支點分支點+ +1 11 1+ +2 22 2+ +求和點求和點進行相加減的量，必須具有相同的量綱

42、進行相加減的量，必須具有相同的量綱機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 相鄰求和點可以互換、合并、分解相鄰求和點可以互換、合并、分解相鄰分支點可以互換相鄰分支點可以互換求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的 機機 械械 控控 制制 理理 論論 用方框圖表示系統(tǒng)的優(yōu)點用方框圖表示系統(tǒng)的優(yōu)點只要依據(jù)信號的流向，將各環(huán)節(jié)只要依據(jù)信號的流向，將各環(huán)節(jié)的方框連接起來，便可組成整個的方框連接起來，便可組成整個系統(tǒng)，簡便，直觀。系統(tǒng)，簡便，直觀。通過方框圖，可提示和評價每一通過方框圖，可提示和評價每一個環(huán)節(jié)

43、對系統(tǒng)的影響。個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響。第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 動態(tài)系統(tǒng)的構成動態(tài)系統(tǒng)的構成 串聯(lián)連接串聯(lián)連接 并聯(lián)連接并聯(lián)連接 反饋連接反饋連接機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 特點：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量。特點：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量。 )()()()()()()()()()()()()()()()(123231212211sRsGsGsGsUs

44、GsCsRsGsGsUsGsUsRsGsU123( )( )( )( )( )( )C sG s G s G sG sR sR R( (s s) )G G( (s s) )C C( (s s) )（b b） （1 1）串聯(lián)連接）串聯(lián)連接 R R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sGniisGsG1)()(結論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)結論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù) 等于所有傳遞函數(shù)的乘積。等于所有傳遞函數(shù)的乘積。機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) G G( (s s

45、) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )特點：各環(huán)節(jié)的輸入信號是相同的，輸出特點：各環(huán)節(jié)的輸入信號是相同的，輸出C(s)為各環(huán)節(jié)的輸出之和為各環(huán)節(jié)的輸出之和（2）并聯(lián)連接（ a a）R R( (s s) )C C( (s s) )(2sG)(1sG)(3sG)(2sC)(1sC)(3sC)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()()()()()(321sGsGsGsGsRsC結論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于結論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于 所有并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)所有并聯(lián)環(huán)節(jié)

46、傳遞函數(shù)的代數(shù) 和。和。)()(1sGsGnii機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) （3）反饋連接 （a a）C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)H(s)E E( (s s) )B B( (s s) ) s (H) s (G1) s (G) s (C) s (H) s (G) s (C) s (C) s (B) s (E) s (C) s (R) s (C) s () s (C) s (H) s (B) s (B) s (R) s (E) s (E) s (G) s (C機機 械械 控控 制制 理理 論論

47、第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 方框圖的簡化是通過方框圖的等效變換和方框圖的運算法則來實現(xiàn)的。 等效變換主要是通過變換相加點和分支點的位置來實現(xiàn)的，變換中主要等效變換主要是通過變換相加點和分支點的位置來實現(xiàn)的，變換中主要掌握好如下兩點：掌握好如下兩點：前向通道中各傳遞函數(shù)的乘積不變；前向通道中各傳遞函數(shù)的乘積不變；回路中傳遞回路中傳遞 函數(shù)的乘積不變；函數(shù)的乘積不變； 通過等效變換將方框圖變換成具有串聯(lián)，并聯(lián)和局部反饋連接的結構圖通過等效變換將方框圖變換成具有串聯(lián)，并聯(lián)和局部反饋連接的結構圖G1( )R s( )C sG2G1 G2( )R s( )C

48、sG1( )R s( )C sG2G( )R s( )C sH( )R s( )C sG1 G2( )R s( )C s1GGH機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 求和點的移動求和點的移動 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 例例機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 機機 械械 控控 制制 理理 論論第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型及傳遞函數(shù) 五、五、信號流圖及梅遜公式信號流圖及梅遜公式 節(jié)點：表示變量或信號，其值等于所有進入該節(jié)點的信號之和節(jié)點：表示變量或信號，其值等于所有進入該節(jié)點的信號之和支路：連接兩個節(jié)點的定向線段，用傳遞函數(shù)表示方程式中兩個變量的