1、作業作業P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 6P74 (習題110） 1; 2 ; 3; 5; 6復習 第一章（習題課） *P65 3; 4 ; 5無窮小的比較內容小結內容小結0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 無窮小的比較設 , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小 是 的 k 階無窮小機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 等價無窮小替換定理3二、二、 函數的間斷點函數的間斷點 一、一、 函數連續性的定義函數連續性的定義 第八節機動 目錄 上頁 下頁 返

2、回 結束 函數的連續性與間斷點 第一章 4分析基礎分析基礎 函數函數 極限極限 連續連續 研究對象 研究方法 研究橋梁5l 連續函數是微積分研究的主要對象。l 連續現象、連續性是自然界、人類社會 大量呈現的基本現象。有關連續的相關概念 自變量的改變量（增量） 0,xxx 0()xxx 函數的改變量 （增量） 00()()yf xxf x 0( )()f xf x6說明: 1）函數)(xf在點0 x一、 函數連續性（ Continuous ）的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數.)(0連續在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0

3、 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數連續必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 函數在一點的連續性72）對自變量的增量,0 xxx 有函數的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0當xxx0時, 有yxfxf)()(0則函數0 x)(xf在點連續有下列等價命題:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 80lim( )xxf x存在左連續2.左

4、連續與右連續左連續與右連續0(0)f x 0()f x；右連續0lim( )xxf x存在0(0)f x 在在 點連續點連續 0( )f xx0()f x；0fx在 點既左連續又右連續.93. .在區間上的連續性在區間上的連續性f (x)在(a, b)內連續 f 在開區間(a, b)內的每一點都連續.( )f x在a, b上連續 f 在開區間(a, b)內連續,且在a點處右連續，在b點處左連續.或或 f f 在在( (a a, , b b) )內連續內連續, ,lim( )( )且且xaf xf a lim( )( )xbf xf b 若若 f f 在在 a a, , b b 上連續上連續,

5、, 則記作f xC a b( ) , 10continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx 若)(xf在某區間上每一點都連續 , 則稱它在該區間上連續 , 或稱它為該區間上的連續函數連續函數 .例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上連續 .( 有理整函數 )又如又如, 有理分式函數)()()(xQxPxR在其定義域內連續.注意：只有在定義域上連續的函數才是連續函數只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 連續函數11例例1. 證明函數xysin在),(內連續 .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin

6、222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這表明：xysin在),(內連續 .同理可證: 函數cos ,xyx ye在),(內連續 .0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 12例例2.設2cos 11, 11( )0,1 ,11xxf xxxx （）討論( )f x在1 x處的連續性.解解:( 1)0,f 1lim( )xf x1lim cos 110,xx（） ）1lim( )xf x21lim10,xx -處連續,需有( 1)f 1lim( )xf x1lim( )xf x即( )1.f xx 故在連續13例例3.設函數)(xf,2)cos1 (xxa0

7、x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續 , 則 a = , b = .解解:20)cos1 (lim)0(xxafx2a211 cos02xxx（）)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 14例例4. 設 f (x) 定義在區間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf若 f (x) 在連續,0 x證: 由由()( )( )(0)0f xyf xf yf，有且對任意實數證明 f (x) 對一切 x 都連續 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 15 再由 f (x) 在x =0連續 ，有，有0lim( )(0)0 xf

8、xf故)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx( )(0)f xf( )f x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在在二、二、 函數的間斷點函數的間斷點(1) 函數)(xf0 x(2) 函數)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不連續 :0 x設0 x在點)(xf的某去心鄰域內有定義 , 則下列情形這樣的點0 x之一函數 f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點間斷點 . 在無定義 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 20 0lim0(0)xxf 0 01limsi

9、nxxx 0 0lim|xxx 0 0lim1|xxx 1 如21sin0( )0 xxxf xxx 0|( )00又， (0)=0f fxxxf xx 01lim sin0,xxx沒定義.但 在在1( )sinf xxx0 x 1sin0,( )00若若xxf xxx ()0則則在在 點點處處 連連 續續fxx 間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個為振蕩 ,稱0 x若其中有一個為,

10、為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點無窮間斷點 .為振蕩間斷點振蕩間斷點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 各類間斷點圖示各類間斷點圖示可可去去間間斷斷點點跳跳躍躍間間斷斷點點無無窮窮型型間間斷斷點點振振蕩蕩型型間間斷斷點點連連續續xytan) 1 (2x x為其無窮間斷點 .0 x為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1例例5.xytan2xyoxyxy1sin0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 判斷下列函數在指定間斷點的類型1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5

11、) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 求函數的間斷點并判斷其類型.xxexf111)(解解: 間斷點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點;,1 時當x xx1,0)(xf,1 時當x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點. ,1,0處在x.)(連續xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求的間斷點, 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點)(l

12、im1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) 1)()(xaxbexfx有無窮間斷點0 x及可去間斷點, 1x解解:為無窮間斷點,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點 ,1x) 1(lim1xxbexx極限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例8. 設函數試確定常數 a 及 b .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續右連續)(. 2xf0 x第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續的等價形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 討論函數231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點 .間斷點的類型.2. 設0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf為連續函數.機動 目錄 上頁