1、n=1,2時方程的根是大家熟悉的，時方程的根是大家熟悉的，n=3,4時雖有求時雖有求根公式但比較復雜，可在數學手冊中查到，但已不適根公式但比較復雜，可在數學手冊中查到，但已不適合數值計算，而合數值計算，而n5時就不能用公式表示方程的根時就不能用公式表示方程的根.因因此，通常對此，通常對n3的多項式方程求根與一般連續函數方的多項式方程求根與一般連續函數方程程(1.1)一樣都可采用迭代法求根一樣都可采用迭代法求根.第1頁/共31頁方程方程f(x)=0的的根根 x*，又稱為函數又稱為函數f(x)的的零點零點，它使得，它使得f(x*)=0，若，若f(x)可分解為可分解為f(x)=(x- -x*)mg(

2、x)，其中其中m為正整數，且為正整數，且g(x*)0. 當當m=1時，則稱時，則稱x*為為單單根根，若，若m1稱稱x*為為(1.1)的的m重根重根，或，或x*為函數為函數f(x)的的m重零點重零點. 若若x*是是f(x)的的m重零點重零點，則，則. 0)(, 0)()()()()1( xfxfxfxfmm注：第2頁/共31頁3.1.2 3.1.2 二分法二分法如果如果 f(x) 在區間在區間a, b上連續上連續, f(a)f(b)0, 則在則在a, b 內有方程的根內有方程的根. （ Bisection Method ）二分法原理第3頁/共31頁二分法的實施過程二分法的實施過程取取a, b的中

3、點的中點 將區間一分為二將區間一分為二. 若若 f (x0)=0, 則則x0就是方程的根就是方程的根, 否則判別根否則判別根 x*在在 x0 的的左側左側還是還是右側右側., )(210bax 若若f(a) f(x0)0, 則則x*(a, x0), 令令 a1= a, b1=x0;若若f(x0) f(b)0, 則則x*(x0 , b), 令令 a1=x0, b1=b. . 不論出現哪種情況不論出現哪種情況, (a1, b1)均為新的有根區間均為新的有根區間, 它它的的長度只有原有根區間長度的一半長度只有原有根區間長度的一半, 達到了達到了壓縮有根壓縮有根區間的目的區間的目的.第4頁/共31頁如

4、此反復進行如此反復進行, 即可的一系列即可的一系列有根區間套有根區間套 ,11nnbababa 由于每一區間都是前一區間的一半，因此區間由于每一區間都是前一區間的一半，因此區間an , bn的長度為的長度為)(ababnnn 21若每次二分時所取區間中點都不是根，則上述過程將若每次二分時所取區間中點都不是根，則上述過程將無限進行下去無限進行下去. 當當 n 時，區間必將最終收縮為一時，區間必將最終收縮為一點點x* ，顯然，顯然 x* 就是所求的就是所求的根根.第5頁/共31頁 若取區間an , bn的中點)(nnnbax 21作為x*的近似值，則有下述111*()()22nnnnxxbaba

5、只要只要 n 足夠大足夠大, (即區間二分次數足夠多即區間二分次數足夠多)，誤差就可，誤差就可足夠小足夠小.),(,*11 nnnbaxx二分法的誤差估計二分法的誤差估計第6頁/共31頁例例1 用二分法求方程用二分法求方程 f(x)=x3- -x- -1=0在在(1, 1.5)的實根的實根,要求誤差不超過要求誤差不超過0.005. 解解 由題設條件，即：由題設條件，即：則要005. 021)15 . 1(21)(21211 nnnab|x*-xn|0.005由此解得由此解得 取取 n=6, 按二分法計算過程見按二分法計算過程見下表下表, x6 = 1.3242 為所求之近似根為所求之近似根.,

6、 6 . 512lg2 n第7頁/共31頁n an bn xn f(xn)說明說明01234561.01.251.251.31251.31251.31251.32031.51.51.3751.3751.34381.32811.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242- -+ +- -+ + +- - -(1) f(a)0(2) 根據精根據精 度要求，度要求，取到小數取到小數點后四位點后四位 即可即可. 二分法的優點是算法簡單，且總是收斂的，缺點是收斂的太慢，故一般不單獨將其用于求根，只是用其為根求得一個較好的近似值.第8頁/共31頁二分法的計算步驟

7、:步驟1 準備 計算函數f(x)在區間a, b端點處的值f(a), f(b). 若若f(a)f(a+b)/2)0, 則以則以(a+b)/2代替代替b ，否則以，否則以(a+b)/2代替代替a.步驟2 二分 計算函數f(x)在區間中點(a+b)/2處的值f(a+b)/2).步驟3 判斷 若f(a+b)/2)=0，則(a+b)/2即是根，計算過程結束，否則檢驗. 反復執行步驟反復執行步驟2和步驟和步驟3，直到區間，直到區間a, b長度小于長度小于允許誤差允許誤差，此時中點，此時中點(a+b)/2即為所求近似根即為所求近似根.第9頁/共31頁3.2 迭代法及其收斂性迭代法及其收斂性3.2.1 不動點

8、迭代法 將方程 f(x)=0 改寫為等價方程形式 x=(x). (2.1)若要求 x* 滿足 f(x*)=0，則 x*=(x*)；反之亦然，稱 x*為函數(x)的一個. 求 f(x) 的就等于求(x)的，選擇一個初始近似值 x0，將它代入(2.1)右端，即可求得 x1=(x0). 第10頁/共31頁.lim xxkk可以如此反復迭代計算 xk+1=(xk) (k=0,1,2,). (2.2) (x)稱為迭代函數稱為迭代函數. 如果對任何如果對任何x0a, b，由，由(2.2)得得到的序列到的序列xk有極限有極限則稱迭代方程則稱迭代方程(2.2)收斂收斂. 且且x*= (x*)為為 (x)的的不

9、動點不動點，故稱故稱(2.2)為為不動點迭代法不動點迭代法.第11頁/共31頁當(x)連續時，顯然x*就是方程 x=(x)之根(不動點). 于是可以從數列xk中求得滿足精度要求的近似根. 這種求根方法稱為不動點迭代法, 1()(0,1,2,)kkxxk 稱為迭代格式, (x)稱為迭代函數, x0 稱為迭代初值,數列xk稱為迭代序列. 如果迭代序列收斂, 則稱迭代格式收斂,否則稱為發散. 1()(0,1,2,)kkxxk .lim xxkk第12頁/共31頁 03224xxx分別按以上三種形式建立迭代公式，并取分別按以上三種形式建立迭代公式，并取x0=1進行進行迭代計算，結果如下：迭代計算，結果

10、如下：14)(2 xxx 32)(243 xxxx 4121)23()(xxxx 解 對方程進行如下三種變形：例例2 用迭代法求方程用迭代法求方程x4+2x2- -x- -3=0 在區間在區間1, 1.2內內的實根的實根.第13頁/共31頁準確根準確根 x* = 1.124123029, 可見可見迭代公式不同迭代公式不同, 收斂情收斂情況也不同況也不同. 第二種公式比第一種公式收斂快得多第二種公式比第一種公式收斂快得多, 而而第三種公式第三種公式不收斂不收斂.73496,8.49530710 xx12()41kkkxxx 4213()23kkkkxxxx 12411()(32)kkkkxxxx

11、 26271.124123xx671.124123xx第14頁/共31頁xyoy= (x)y=x解x=(x)求 y=x 與y=(x)的交點的橫坐標x*x0(x0 , x1)(x1 , x2)(x1 , x1)x1x2迭代法的幾何意義第15頁/共31頁xyy = xxyy = xxyy = xxyy = xx*x*x*x*y= (x)y= (x)y= (x)y= (x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1第16頁/共31頁注：迭代法的研究涉及四個問題：注：迭代法的研究涉及四個問題：(1)(1)迭代公式的選??；迭代公式的選取；(2)(2)迭代公式收斂性的判定

12、；迭代公式收斂性的判定；(3)(3)在收斂情況下，如何比較收斂速度；在收斂情況下，如何比較收斂速度；(4)(4)迭代停止的條件。迭代停止的條件。第17頁/共31頁3.2.2 3.2.2 不動點的存在性與迭代法的收斂性不動點的存在性與迭代法的收斂性 首先考察(x)在a, b上不動點的存在唯一性. 設(x)Ca, b滿足以下兩個條件：1 對任意對任意xa, b有有a (x)b. .)4 . 2(.)()(yxLyx 2 存在正數存在正數La及(b)0, f(b)= (b)- -b0, 由連續函數性質可知存在由連續函數性質可知存在 x*(a, b) 使使 f(x*)=0，即，即x*= (x*)，x*

13、即為即為 (x)的不動點的不動點. 再證不動點的. 設x1*, x2*a, b都是(x)的不動點，則由(2.4)得.)()(21212121 xxxxLxxxx 引出矛盾，故(x)的不動點只能是唯一的.第19頁/共31頁 設(x)Ca, b滿足定理1中的兩個條件，則對任意x0a, b，由(2.2)得到的迭代序列xk收斂到不動點x*，并有)6 . 2(.1)5 . 2(.1101kkkkkxxLLxxxxLLxx 證明證明 設設x*a, b是是 (x)在在a, b上的唯一不動點上的唯一不動點, ,由條件由條件1，可知，可知xka, b，再由，再由(2.4)得得.)()(011xxLxxLxxxxkkkk 因因0L1時稱時稱超線性收斂超線性收斂，p=2 時稱時稱平方收斂平方收斂.第29頁/共31頁 對于迭代過程 xk+1=(xk)，如果(p)(x)在所求根 x* 的鄰近連續（ p 1），并且)8 . 2(. 0)(, 0)()()()()1( xxxxpp 則該迭代過程在則該迭代過程