1、精品資料歡迎下載分式函數的圖像與性質學習過程一、課前準備1、分式函數的概念形 如22(,)a xb xcya b c de frd xe xf的 函 數 稱 為 分 式 函 數 。 如221xyxx，212xyx，413xyx等。2、分式復合函數形如22( )( )( , , , , ,)( )( )a f xbf xcya b c d e frd f xef xf的函數稱為分式復合函數。如22112xxy，sin23sin3xyx，123xyx等。二、新課導學 學習探究探究任務一 ：函數(0)byaxabx的圖像與性質問題 1：( , , ,)axbya b c drcxd的圖像是怎樣的？例

2、 1、畫出函數211xyx的圖像， 依據函數圖像，指出函數的單調區間、值域、對稱中心。【分析】212(1)112111xxyxxx， 即函數211xyx的圖像可以經由函數1yx的圖像向右平移1 個單位，再向上平移2 個單位得到。如下表所示：12111211yyyxxx右上由此可以畫出函數211xyx的圖像，如下：單調減區間：(,1),(1,)；值域：(,2)(2,)；對稱中心：(1,2)。【反思】( , , ,)axbya b c drcxd的圖像繪制需要考慮哪些要素？該函數的單調性由哪些條件決定？【小結】( , , ,)axbya b c drcxd的圖像的繪制，可以經由反比例函數的圖像平移

3、得到，xoyxoy12xoy1精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載需要借助“分離常數”的處理方法。分式函數( , , ,)axbya b c drcxd的圖像與性質（1）定義域：|dx xc；（2）值域：|ay yc；（3）單調性：單調區間為(,),(,+)ddcc；（4）漸近線及對稱中心：漸近線為直線,daxycc，對稱中心為點(,)dacc；（5）奇偶性：當0ad時為奇函數；（6）圖象：如圖所示問題 2：(0)byaxabx的圖像是怎樣的？例 2、根據yx與1yx

4、的函數圖像，繪制函數1yxx的圖像，并結合函數圖像指出函數具有的性質。【分析】畫函數圖像需要考慮函數的定義域、值域、單調性與單調區間，奇偶性，周期性，凸凹性 （此點不作要求） ，關鍵點坐標 （最值點、 與坐標軸交點） 、輔助線 （對稱軸、 漸近線）。繪圖過程中需綜合考慮以上要素，結合逼近與極限思想開展。解：函數的定義域為：|0 x x；根據單調性定義，可以求出1yxx的單調區間增區間：(, 11,)減區間： 1,0),(0,1函數的值域為：(, 22,)函數的奇偶性：奇函數函數圖像的漸近線為：,yx0 x函數的圖像如下：xoyxoy精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - -

5、 - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載【反思】如何繪制陌生函數的圖像？研究新函數性質應從哪些方面入手？【小結】分式函數( ,0)byaxa bx的圖像與性質：（1）定義域：|0 x x；（2）值域：|2,2y yabyab或；（3）奇偶性：奇函數；（4）單調性：在區間(,+)bbaa上是增函數，在區間(0,0)bbaa上為減函數；（5）漸近線：以y軸和直線yax為漸近線；（6）圖象：如右圖所示例 3、根據yx與1yx的函數圖像， 繪制函數1yxx的圖像， 并結合函數圖像指出函數具有的性質。【分析】結合剛才的繪圖經驗，不難繪制出1y

6、xx的圖像解：函數的定義域為：|0 x x；根據單調性定義，可以判斷出1yxx的單調性，單調增區間為：(,0),(0,)xoyyxxoyyx1yxyaxbaba2ab2abxoy精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載函數的值域為：r函數的奇偶性：奇函數函數圖像的漸近線為：,yx0 x函數的圖像如下：【反思】結合剛才的兩個例子，1yxx與1yxx的圖像又是怎樣的呢？思考12 +yxx與23yxx的圖像是怎樣的呢？( ,0)byaxa br abx的圖像呢？函數1yxx的圖

7、像如下，繪制的過程可以根據剛才的繪圖經驗。【注】11()yxxxx，由于( )yfx與( )yf x的圖像關于x軸對稱，所以還可以根據1yxx的圖像，對稱的畫出1yxx的圖像。同樣的道理1yxx的圖像與1yxx的圖像關于x軸對稱，所以圖像如下：xoyxoyyx1yxxoyyxxoyyx1yx精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載【小結】( ,0)byaxa br abx的圖像如下：（i ）(0,0)byaxabx (ii) (0,0)byaxabx(iii) (0,0)

8、byaxabxyaxxoyyaxxoyxoyxoy1yxx1yxx精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載(iv) (0,0)byaxabx( ,0)byaxa br abx的單調性、值域、奇偶性等，可以結合函數的圖像研究。探究任務二 ：函數22( , , , , ,)axbxcya b c d e frdxexf的圖像與性質問題 3： 函數2211xxyx的圖像是怎樣的？單調區間如何？【分析】22212(1)3(1)222(1)3111xxxxyxxxx22yxx122

9、(1)1yxx左23211xxyx下所以2211xxyx的圖像與22yxx的圖像形狀完全相同，只是位置不同。圖像的對稱中心為：( 1, 3)單調增區間為：(, 20,)單調減區間為： 2, 1),( 1,0值域：(, 71,)圖像如下：xoyyaxyaxxoy精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載【反思】函數2121xyxx的性質如何呢？單調區間是怎樣的呢？【小結】對于分式函數22( , , , ,)axbxcya b c d e frdxexf而言，分子次數高于分母時

10、，可以采用問題3 中的方法， 將函數表達式寫成部分分式，在結合函數的圖像的平移，由熟悉的四類分式函數的圖像得到新的函數圖像，再結合函數的圖像研究函數的性質。對于分子的次數低于分母的次數的時候，可以考慮分子分母同時除以分子（確保分子不為0） ，再著力研究分母的性質與圖像，間接地研究整個函數的性質。如：22111(1)221212(1)311xyxxxxxxxx 典型例題例 1、若,3x yrxyxy則xy的最小值是 _解： 由(1)3xyxyxxy，得31xyx3(1)44411221111xxxyxxxxxxxx【注】此處可以借助函數42(1)yttxt的圖像與性質【變式】若,3x yrxyx

11、y且，求xy的取值范圍 .例 2、求函數2412( ),2,51xxf xxx的值域 . 解：22412(1)2(1)99( )=12111xxxxf xxxxx，令1tx，則9( )2,1,4f tttt，結合9ytt圖像與性質， 可知當1,3t時函數單調遞減，當3,4t時函數單調遞增，又17(1)8,(3)4,(4)4fff，所以( )4,8f x【注】 “換元”后必須注意新元的范圍。“換元法”是轉化思想的一個非常重要的途徑。【變式】求函數21( ),2,5412xf xxxx的值域 .xoy12731精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

12、第 7 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載例 3、已知( )af xxx在區間2,)單調遞增，求a的取值范圍 . 【分析】先定性分析，再定量研究，借助分類討論思想展開. 解： 當0a時，( )f xx在區間2,)顯然單調遞增；當0a時，結合( )af xxx的圖像與性質，可知函數在區間2,)單調遞增當0a時( )f x在區間,)a內單調遞增，所以2a，所以(0,4a綜上所述，實數a的取值范圍為(,4. 【變式】已知( )af xxx在區間2,3)單調遞減，求a的取值范圍 .例 4、某工廠去年的某產品的年產量為100 萬只，每只產品的銷售價為10 元，固定成本為

13、8 元今年，工廠第一次投入100 萬元（科技成本） ，并計劃以后每年比上一年多投入100萬元（科技成本），預計產量年遞增10 萬只，第n次投入后，每只產品的固定成本為1)(nkng（0,kk為常數，nz且0n） ，若產品銷售價保持不變，第n次投入后的年利潤為)(nf萬元（1）求k的值，并求出)(nf的表達式；（2）問從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元? 解： （1）由1)(nkng，當0n時，由題意，可得8k，所以8( )(10010 )(10)1001f nnnn（2）由89( )(10010 )(10)100100080(1)1000802 952011f nnnnnn當且僅當1

14、n19n，即8n時取等號，所以第 8 年工廠的利潤最高，最高為520 萬元 .例 5、已知221nnan，若8nan對所有的*nn均成立，求實數的取值范圍 . 【分析】典型的恒成立問題，可以采用分離變量的方法，轉化成函數最值問題研究解： 由題易知(8)(21)2nnn，令(8)(21)( )2nnf nn，(8)(21)41725( )222nnf nnnn，當且僅當2n時取等號精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載所以252，即25(,)2. 【注】若*6( ),f

15、nnnnn，注意取到等號的條件，關注函數的定義域，不能一味的根據基本不等式求解. 【變式】數列na滿足：2156nnan，則數列na中na的最大值為 _ 學習小結學習評價 自我評價你本節課程學習情況為（）. a. 很好b. 較好c. 一般d. 較差 當堂檢測（時量： 5 分鐘滿分： 10 分）計分：1、若,3,x yrxyy則xy的最小值是 _2、函數234xyx的值域是 _3、已知221( ),1,axxf xxx內單調遞減，求實數a的取值范圍。4、（1）若函數( )log4 ,(0,1)aaf xxaax的定義域為r，求實數a的取值范圍；（2）若函數( )log4 ,(0,1)aaf xx

16、aax的值域為r，求實數a的取值范圍。5、設( ),0,+)1af xxxx（1）當4a時，求( )f x的最小值；（2）當(0,1)a時，判斷( )f x的單調性，并寫出( )f x的最小值。課后作業1、函數12( ),1,21f xxxx的值域為 _2、不等式20 xax的在2, 1內有實數解，則實數a的取值范圍 _3、不等式20 xax的在2, 1內恒成立，則實數a的取值范圍 _4、函數221xxyxx的值域是 _5、定義在r上函數( )f x，集合aa a為實數，且對于任意,( )xr f xa恒成立，且存在常數ma，對于任意na，均有mn成立，則稱m為函數( )f x在r上的“定下界

17、”若21( )12xxf x，則函數( )f x在r上的“定下界”m_精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載6、 【11 年閘北】據測算： 2011 年，某企業如果不搞促銷活動，那么某一種產品的銷售量只能是1 萬件；如果搞促銷活動，那么該產品銷售量（亦即該產品的年產量）m萬件與年促銷費用x萬元（0 x）滿足13xkm（k為常數）已知 2011 年生產該產品的前期投入需要8 萬元，每生產1 萬件該產品需要再投入 16 萬元，企業將每件該產品的銷售價格定為每件產品年平均成本

18、的1.5 倍（定價不考慮促銷成本） （1）若 2011 年該產品的銷售量不少于2 萬件，則該產品年促銷費用最少是多少？（2）試將 2011 年該產品的年利潤y（萬元）表示為年促銷費用x（萬元）的函數，并求2011 年的最大利潤7、已知函數( )2af xxx的定義域為0,2（a為常數） . （1）證明：當8a時，函數( )yf x在定義域上是減函數；（2）求函數( )yf x在定義域上的最大值及最小值，并求出函數取最值時x的值8、【06 年上海】已知函數ayxx有如下性質： 如果常數0a, 那么該函數在(0,a上是減函數 , 在,)a上是增函數 . （1）如果函數2byxx在(0,4上是減函數 , 在4,)上是增函數 , 求實常數b