1、精品資料歡迎下載函數的單調性和奇偶性專題經典例題透析類型一、函數的單調性的證明1. 證明函數上的單調性 .證明：在 0， + 上任取 x1、x2x1 x2， 令 x=x 2-x1 0就 x1 0， x2 0，上式 0， y=fx 2-fx 1 0上遞減 .總結升華：1 證明函數單調性要求使用定義；2 如何比較兩個量的大小？作差 3 如何判定一個式子的符號？舉一反三：對差適當變形【變式 1】用定義證明函數上是減函數 .思路點撥：此題考查對單調性定義的懂得，在現階段，定義是證明單調性的唯獨途徑.證明：設 x1， x2 是區間上的任意實數，且x1x2，就 0 x1 x2 1 x1-x2 0， 0 x

2、1x2 1 0 x1x2 1故，即 fx 1-fx 2 0 x1 x2 時有 fx1 fx 2上是減函數 .總結升華：可以用同樣的方法證明此函數在上是增函數；在今后的學習中常常會遇到這個函數，在此可以嘗試利用函數的單調性大致給出函數的圖象.類型二、求函數的單調區間2. 判定以下函數的單調區間；1y=x 2-3|x|+2； 2解： 1由圖象對稱性，畫出草圖 fx 在上遞減，在上遞減，在上遞增.2圖象為 fx 在上遞增 .舉一反三：【變式 1】求以下函數的單調區間：1y=|x+1| ； 23.解： 1畫出函數圖象，函數的減區間為，函數的增區間為 -1， + ；2定義域為，其中 u=2x-1 為增函

3、數，在-， 0與 0， + 為減函數，就上為減函數；3定義域為 -， 0 0， + ，單調增區間為： -， 0，單調減區間為0， + .總結升華：1 數形結合利用圖象判定函數單調區間；2 關于二次函數單調區間問題，單調性變化的點與對稱軸相關.3 復合函數的單調性分析：先求函數的定義域；再將復合函數分解為內、外層函數；利用已知函數的單調性解決.關注：內外層函數同向變化復合函數為增函數；內外層函數反向變化復合函數為減函數.類型三、單調性的應用 比較函數值的大小，求函數值域，求函數的最大值或最小值-a+1 與的大小 .3. 已知函數 fx在 0， + 上是減函數，比較fa 2解：又 fx 在0， +

4、 上是減函數，就.4. 求以下函數值域：1； 1x 5， 10 ； 2x -3， -2 -2， 1；2y=x 2-2x+3；1x -1 ， 1； 2x -2 ， 2.思路點撥： 1 可應用函數的單調性；2 數形結合 .解：12 個單位， 再上移 2 個單位得到，如圖1fx 在5， 10上單增，；2；2畫出草圖1y f1 ， f-1 即2， 6；2.舉一反三：【變式 1】已知函數.(1) 判定函數 fx 的單調區間；(2) 當 x 1， 3時，求函數 fx 的值域 .思路點撥：這個函數直接觀看唯恐不簡單看出它的單調區間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟識的形式.，其次問即是利用單調性求函數

5、值域 .解： 1上單調遞增，在上單調遞增；2故函數 fx 在1 ，3上單調遞增x=1 時 fx 有最小值， f1=-2x=3 時 fx有最大值x 1， 3時 fx的值域為.5. 已知二次函數 fx=x 2-a-1x+5 在區間上是增函數，求：1 實數 a 的取值范疇； 2f2 的取值范疇 .解： 1對稱軸是打算 fx 單調性的關鍵，聯系圖象可知只需；2 f2=2 2-2a-1+5=-2a+11 又 a 2， -2a -4f2=-2a+11 -4+11=7.類型四、判定函數的奇偶性6. 判定以下函數的奇偶性：123fx=x 2-4|x|+34fx=|x+3|-|x-3|567思路點撥：依據函數的

6、奇偶性的定義進行判定.解： 1 fx 的定義域為，不關于原點對稱，因此fx 為非奇非偶函數；2 x-1 0， fx 定義域不關于原點對稱，fx為非奇非偶函數；3對任意 x r ，都有 -x r ，且 f-x=x 2-4|x|+3=fx ，就 fx=x 2-4|x|+3 為偶函數 ；4 x r， f-x=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-fx ， fx 為奇函數；5， fx 為奇函數； 6 x r， fx=-x|x|+x f-x=-x|-x|+-x=x|x|-x=-fx， fx 為奇函數；7， fx為奇函數 .舉一反三：【變式 1】判定以下函數的奇偶性：1；2fx=|x+1|

7、-|x-1| ；3fx=x 2+x+1 ；4.思路點撥：利用函數奇偶性的定義進行判定.解：1；2f-x=|-x+1|-|-x-1|=-|x+1|-|x-1|=-fx fx為奇函數；+-x+1=x3f-x=-x 22-x+1 f-x -fx 且 f-x fx fx 為非奇非偶函數；4任取 x 0 就 -x 0， f-x=-x 2+2-x-1=x 2-2x-1=-x 2+2x+1=-fx任取 x 0，就 -x 0 f-x=-x 2+2-x+1=-x 2-2x+1=-x 2+2x-1=-fx x=0 時， f0=-f0 x r 時， f-x=-fx fx 為奇函數 .舉一反三：【變式 2】已知 fx

8、 ，gx均為奇函數， 且定義域相同， 求證：fx+gx 為奇函數， fx ·gx為偶函數 .證明：設 fx=fx+gx ， gx=fx · gx就f-x=f-x+g-x=-fx-gx=-fx+gx=-fxg-x=f-x · g-x=-fx · -gx=fx · gx=gx fx+gx 為奇函數， fx · gx為偶函數 .類型五、函數奇偶性的應用 求值，求解析式，與單調性結合7.已知 fx=x 5+ax3-bx-8 ，且 f-2=10 ，求 f2.解：法一： f-2=-253+-2 a-2b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+

9、2b=10 8a-2b=-50f2=2 5+2 3a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令 gx=fx+8 易證 gx為奇函數 g-2=-g2 f-2+8=-f2-8 f2=-f-2-16=-10-16=-26.8. fx 是定義在 r 上的奇函數，且當x 0 時， fx=x 2-x，求當 x 0 時， fx的解析式，并畫出函數圖象.解：奇函數圖象關于原點對稱， x 0 時， -y=-x 2-x即 y=-x 2-x 又 f0=0 ，如圖9. 設定義在 -3 ，3上的偶函數 fx在 0，3上是單調遞增，當 fa-1 fa時，求 a的取值范疇 .解： fa-1 faf|a-1|

10、 f|a|而|a-1|， |a| 0， 3.類型六、綜合問題10. 定義在 r 上的奇函數fx 為增函數，偶函數gx在區間的圖象與 fx的圖象重合，設 a b 0，給出以下不等式，其中成立的是 . fb-f-a ga-g-b ； fb-f-a ga-g-b ； fa-f-b gb-g-a ； fa-f-b gb-g-a.答案： .11. 求以下函數的值域：123思路點撥： 1 中函數為二次函數開方，可先求出二次函數值域；2由單調性求值域， 此題也可換元解決；3單調性無法確定，經換元后將之轉化為熟識二次函數情形，問題得到解決，需留意此時t 范疇 .解：1；(2) 經 觀 察 知 ，；(3) 令.

11、12. 已知函數 fx=x 2-2ax+a 2-1.(1) 如函數 fx在區間 0， 2上是單調的，求實數a 的取值范疇；(2) 當 x -1， 1時，求函數 fx 的最小值 ga ，并畫出最小值函數y=ga 的圖象 .解： 1 fx=x-a 2-1 a 0 或 a 221 °當 a -1 時，如圖 1， ga=f-1=a 2+2a2°當 -1 a 1 時，如圖 2，ga=fa=-13°當 a 1 時，如圖 3， ga=f1=a 2 -2a，如圖13. 已知函數 fx 在定義域 0，+ 上為增函數， f2=1 ，且定義域上任意x、y 都滿意 fxy=fx+fy ，

12、解不等式： fx+fx-2 3.解：令 x=2， y=2 ， f2 × 2=f2+f2=2f4=2再令 x=4， y=2 ， f4 ×2=f4+f2=2+1=3 f8=3 fx+fx-2 3 可轉化為： fxx-2 f8.14. 判定函數上的單調性，并證明.證明：任取 0 x1 x2， 0 x1 x2， x1-x2 0， x1· x2 0 1當時0 x1· x2 1， x1· x2-1 0 fx 1-fx 2 0 即 fx 1 fx 2上是減函數 .2當 x1， x2 1， + 時，上是增函數 .難點： x1· x2-1 的符號的確定

13、，如何分段.最小值 .15. 設 a 為實數，函數 fx=x 2+|x-a|+1， x r，試爭論 fx 的奇偶性，并求 fx 的解：當 a=0 時， fx=x 2+|x|+1，此時函數為偶函數； 當 a 0 時， fx=x 2+|x-a|+1，為非奇非偶函數 .(1) 當 x a 時，1且2上單調遞增，上的最小值為 fa=a 2+1.(2) 當 x a 時，1 上單調遞減，上的最小值為 fa=a 2 +12 上的最小值為綜上：.學習成果測評基礎達標一、挑選題1. 下面說法正確的選項a. 函數的單調區間就是函數的定義域 b函數的多個單調增區間的并集也是其單調增區間c具有奇偶性的函數的定義域定關

14、于原點對稱d關于原點對稱的圖象肯定是奇函數的圖象2. 在區間上為增函數的是 abcd 3. 已知函數為偶函數， 就的值是 a.b.c.d.4. 如偶函數在上是增函數，就以下關系式中成立的是abcd5. 假如奇函數在區間上是增函數且最大值為，那么在區間上是 a. 增函數且最小值是b增函數且最大值是c減函數且最大值是d減函數且最小值是6. 設是定義在上的一個函數， 就函數，在上肯定是 a奇函數b偶函數c既是奇函數又是偶函數d非奇非偶函數 .7. 以下函數中，在區間上是增函數的是 abc d8. 函數 fx 是定義在 -6 ， 6上的偶函數，且在 -6， 0上是減函數，就a. f3+f4 0b. f

15、-3-f2 0c. f-2+f-5 0d. f4-f-1 0二、填空題1. 設奇函數的定義域為，如當時，的圖象如右圖， 就不等式的解是.2. 函數的值域是.3. 已知，就函數的值域是.4 如 函 數是 偶 函 數 ， 就的 遞 減 區 間 是 .5 函數在 r上為奇函數，且，就當， .三、解答題1. 判定一次函數反比例函數，二次函數的單調性 .2. 已知函數的定義域為，且同時滿意以下條件：1是奇函數；2在定義域上單調遞減；3求 的取值范疇 .3. 利用函數的單調性求函數的值域；4. 已知函數. 當時，求函數的最大值和最小值； 求實數的取值范疇，使在區間上是單調函數 .才能提升一、挑選題1. 以

16、下判定正確選項 a函數是奇函數b函數是偶函數c函數是非奇非偶函數 d函數既是奇函數又是偶函數2. 如函數在上是單調函數，就的取值范疇是 abcd3. 函數的值域為 abcd4. 已知函數在區間上是減函數， 就實數的取值范疇是 abcd5. 以下四個命題： 1函數在時是增函數，也是增函數， 所以是增 函數 ； 2 如 函 數與軸 沒 有 交 點 ， 就且； 3的遞增區間為； 4和表示相等函數 .其中正確命題的個數是abcd 6定義在r上的偶函數，滿意，且在區間上為遞增，就abcd二、填空題1. 函數的單調遞減區間是 .2. 已知定義在上的奇函數，當時，那么時， .3. 如函數在上是奇函數，就的解析式為.4. 奇函數在區間上是增函數，在區間上的最大值為 8，最小值為 -1，就 .5. 如函數在上是減函數，就的取值范疇為.三、解答題1. 判定以下函數的奇偶性122. 已知函數的定義域為，且對任意，都有， 且當時，恒成立，證明： 1函數是上的減函數； 2函數是奇函數 .3. 設函數與的定義域是且，是偶函數，是