1、一、頻率的定義與性質一、頻率的定義與性質二、概率的定義與性質二、概率的定義與性質三、小結三、小結第三節 頻率與概率).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并并記記發發生生的的頻頻率率稱稱為為事事件件比比值值生生的的頻頻數數發發稱稱為為事事件件發發生生的的次次數數事事件件次次試試驗驗中中在在這這次次試試驗驗進進行行了了在在相相同同的的條條件件下下1. 定義定義 一、頻率的定義與性質 2. 性質性質設設 A 是隨機實驗是隨機實驗 E 的任一事件的任一事件, 那么那么; 1)(0)1( Afn; 0)(, 1)()2( fSf).()()()(,)3(212121knnnkkAfAfAfAA

2、AfAAA 則則是兩兩互不相容的事件是兩兩互不相容的事件若若實驗實驗序號序號5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實例實例 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲 5 5 次、次、50 50 次、次、500 500 次次, , 各做各做 7 7 遍遍, , 察看正面出現的次數及頻率察看正面出現的次數及頻率. .處處波波

3、動動較較大大在在21動搖最小動搖最小隨隨n n的增大的增大, , 頻率頻率 f f 呈現出穩定性呈現出穩定性處處波波動動較較小小在在21從上述數據可得從上述數據可得(2) 拋硬幣次數拋硬幣次數 n 較小時較小時, 頻率頻率 f 的隨機動搖幅的隨機動搖幅度較大度較大, 但隨但隨 n 的增大的增大 , 頻率頻率 f 呈現出穩定性呈現出穩定性.即即當當 n 逐漸增大時頻率逐漸增大時頻率 f 總是在總是在 0.5 附近擺動附近擺動, 且且逐漸穩定于逐漸穩定于 0.5.(1) 頻率有隨機動搖性頻率有隨機動搖性,即對于同樣的即對于同樣的 n, 所得的所得的 f 不一定一樣不一定一樣;實驗者實驗者德德 摩根

4、摩根蒲蒲 豐豐nHnf皮爾遜皮爾遜 K皮爾遜皮爾遜 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120210.5005)(Hf的增大的增大n.21重要結論重要結論頻率當頻率當 n 較小時動搖幅度比較大，當較小時動搖幅度比較大，當 n 逐漸增逐漸增大時大時 ， 頻率趨于穩定值，這個穩定值從本質上反映頻率趨于穩定值，這個穩定值從本質上反映了事件在實驗中出現能夠性的大小它就是事件的了事件在實驗中出現能夠性的大小它就是事件的概率概率 1933年年 ，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫提出了概，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化構造率論的公理化構造 ，

5、給出了概率的嚴厲定義，給出了概率的嚴厲定義 ，使，使概率論有了迅速的開展概率論有了迅速的開展.二、概率的定義與性質柯爾莫哥洛夫資料柯爾莫哥洛夫資料:)(, )(,.,滿足下列條件滿足下列條件如果集合函數如果集合函數的概率的概率件件稱為事稱為事記為記為賦予一個實數賦予一個實數的每一事件的每一事件對于對于是它的樣本空間是它的樣本空間是隨機試驗是隨機試驗設設 PAAPAESE; 0)(,: (1) APA 有有對于每一個事件對于每一個事件非負性非負性; 1)(,: (2) SPS 有有對對于于必必然然事事件件規規范范性性則則有有即即對對于于事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的設設, 2, 1,:

6、 (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的定義概率的定義. 0)()1( P證明證明), 2 , 1( nAn.,1jiAAAjinn 且且則則 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P2. 性質性質概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP

7、則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 則則且且為兩個事件為兩個事件設設證明證明BA,BA 因因為為).(ABAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是).(1)(,)5(APA PAA 則則的對立事件的對立事件是是設設證明證明, 1)(, SPAASAA因因為為).(1)(APAP . 1)(,)4( APA對于任一事件對于任一事件S

8、A , 1)()( SPAP. 1)( AP故故證明證明)()(1AAPSP 所所以以. )()(APAP ).()()()(,)()6(ABPBPAPBAPBA 有有對對于于任任意意兩兩事事件件加加法法公公式式證明證明AB由圖可得由圖可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性質又由性質 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推行推行 三個事件和的情況三個事件和的情況)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個事件和

9、的情況個事件和的情況)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 解解),()()1(BPABP 由圖示得由圖示得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由由圖圖示示得得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互斥互斥與與的值的值三種情況下三種情況下求在下列求在下列和和的概率分別為的概率分別為設事件設事件BASSAB1例例,)3(BAABA 由圖示得由圖示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因因而而.838121 , ABA且且SABAB).()()(),()(,)4(BPAPBAPBPAPBABA 則則且且為為兩兩個個事事件件設設1. 頻率頻率 (動搖動搖) 概率概率(穩定穩定). n2. 概率的主要性質概率的主要性質, 1)(0) 1 ( AP; 0)(, 1)( PSP);(1)()2(APAP );