1、垂徑定理垂徑定理 定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦, ,并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧. .OABCDMCDAB,如圖如圖 CD是直徑是直徑,AM=BM, AC =BC, AD=BD. 根據(jù)垂徑定理與推論可知：對(duì)于一個(gè)圓和一條直根據(jù)垂徑定理與推論可知：對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果具備：線來(lái)說(shuō)，如果具備： 那么，由五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他那么，由五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論。三個(gè)結(jié)論。 經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧推論推論：平分弦：平分弦（不是

2、直徑）（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。平分弦所對(duì)的兩條弧。OABCDM垂徑定理及推論垂徑定理及推論OABCDM條件結(jié)論命題垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的并且平分弦所對(duì)的另一條弧另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所

3、對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且平并且平分弦和所對(duì)的另一條弧分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧并且平分弦所對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.一、判斷是非：一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。（2）平分弦的直線，必定過(guò)圓心。）平分弦的直線，必定過(guò)圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），）一條直線平分弦（這條

4、弦不是直徑）， 那么這那么這 條直線垂直這條弦。條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的）平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的 弦。弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直徑垂直于弦）平分弦的直徑垂直于弦填空：1、如圖：已知AB是 O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，若_，則CE=DE（只需填寫一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件）2、如圖：已知AB是 O的弦，OB=4cm，ABO=300

5、，則O到AB的距離是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。 OAB第1題圖第2題圖ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD）24H選擇：如圖：在 O中，AB為直徑，CD為非直徑的弦，對(duì)于（1）ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所對(duì)的弧。若以其中的一個(gè)為條件，另兩個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為 （ ）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA1. 1. 平分已知弧平分已知弧 AB .AB .你會(huì)四等分弧你會(huì)四等分弧ABAB嗎嗎? ?AB(1)(1)如圖如圖, ,已知已知O O的半徑為的半徑為 6 6 cmcm, ,弦弦 ABAB與半徑與半徑 OAOA的夾角為的夾角為

6、 30 30 , ,求弦求弦 AB AB 的長(zhǎng)的長(zhǎng). .OAOCABM(2)(2)如圖如圖, ,已知已知O O的半徑為的半徑為 6 6 cm cm, ,弦弦 ABAB與半徑與半徑 OCOC互相平分互相平分, ,交點(diǎn)為交點(diǎn)為 M M , , 求求 弦弦 AB AB 的長(zhǎng)的長(zhǎng). .630EB例例1 1、如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧、如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧( (即圖中弧即圖中弧CD,CD,點(diǎn)點(diǎn)O O是是弧弧CDCD的圓心的圓心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E為弧為弧CDCD上的一點(diǎn)上的一點(diǎn), ,且且OECDOECD垂足為垂足為F,EF=90m.F,EF=90m.求這

7、段彎路的半徑求這段彎路的半徑. .n解解: :連接連接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm則設(shè)彎路的半徑為,CDOE ).(3006002121mCDCF得根據(jù)勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解這個(gè)方程.545m這段彎路的半徑約為（3 3）. .如圖，有一圓弧形橋拱，拱形的半徑為如圖，有一圓弧形橋拱，拱形的半徑為1010米，米，橋拱的跨度橋拱的跨度AB=16AB=16米，則拱高為米，則拱高為 米。米。ABCD4O練習(xí)：半徑為的圓中，有兩條平行弦練習(xí)：半徑為的圓中，有兩條平行弦AB 和和CD，并且，并且AB =,CD=，求，求AB和和CD間的距離間的

8、距離.EF.EFDABC O(2)ABDC(1)O做這類問(wèn)題是，思考問(wèn)題一定要做這類問(wèn)題是，思考問(wèn)題一定要全面，考慮到多種情況全面，考慮到多種情況.挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 1. 如圖，如圖， O O 與矩形與矩形 ABCD 交于交于 E , F ,G ,H ， AH=4, HG=6,BE=2.求求EF的長(zhǎng)的長(zhǎng).ABCD0EFGHMN462船能過(guò)拱橋嗎船能過(guò)拱橋嗎? ?例例3.3.如圖如圖, ,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋, ,橋下水面寬為橋下水面寬為7.27.2米米, ,拱頂高出水拱頂高出水面面2.42.4米米. .現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3 3米、船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面米、船艙頂部為長(zhǎng)方形

9、并高出水面2 2米的米的貨船要經(jīng)過(guò)這里貨船要經(jīng)過(guò)這里, ,此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？船能過(guò)拱橋嗎船能過(guò)拱橋嗎解解: :如圖如圖, ,用用 表示橋拱表示橋拱, , 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,O,半徑為半徑為Rm,Rm,經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OD,DOD,D為垂足為垂足, ,與與 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C.C.根根據(jù)垂徑定理?yè)?jù)垂徑定理,D,D是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn),C,C是是 的中點(diǎn)的中點(diǎn),CD,CD就是拱高就是拱高. .由題設(shè)得由題設(shè)得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 .

10、32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此貨船能順利通過(guò)這座拱橋此貨船能順利通過(guò)這座拱橋.1.1.過(guò)過(guò)o o內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)M M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為1010, ,最短弦長(zhǎng)為最短弦長(zhǎng)為8 8, ,那么那么o o的半徑是的半徑是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直徑直徑CD=10CD=

11、10, ,且且ABCD,ABCD,那那么么C C到到ABAB的距離等于的距離等于3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圓心圓心O O到到ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)C C的距離為的距離為1 1, ,那么那么O O的半徑為的半徑為4.4.如圖如圖, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分別為垂足分別為M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,則則AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或956413Cm練習(xí)：練習(xí)：5.在在 中，、中，、AC為為互相垂直且相等互相垂直且相等的兩條弦，的兩條弦，于，

12、于，于于求證：四邊形是正方形求證：四邊形是正方形1.1.在直徑為在直徑為650mm650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示. .若油面寬若油面寬AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAOED 600CD在直徑為在直徑為650mm650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面的油面寬的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面的油面寬AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAO600 650DCBAOED 600CDE小結(jié)小結(jié): : 解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)

13、常是過(guò)圓心作弦的垂線過(guò)圓心作弦的垂線，或，或作垂直于弦的直徑作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。理創(chuàng)造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO2、在直徑為、在直徑為650650毫毫米的圓柱形油槽內(nèi)裝米的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如入一些油后，截面如圖所示圖所示. .若油面寬若油面寬AB600毫米毫米，求油的求油的最大深度最大深度.1、已知：、已知： O的半徑為的半徑為6厘米厘米，弦弦AB與半徑與半徑OA的夾角為的夾角為30.求：弦求：弦AB的長(zhǎng)的長(zhǎng).試一試試一試駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我填一填填一填 1、判斷：、判斷： 垂直于弦

14、的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條并且平分弦所對(duì)的兩條弧弧. （ ） 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧另一條弧. （ ） 經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（ ） 圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ） 弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧. （ ）練習(xí)練習(xí):如圖，如圖，CD為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的長(zhǎng)的長(zhǎng).OABCD

15、EF1 1已知已知O O的半徑為的半徑為1010，弦，弦ABCDABCD，AB=12AB=12，CD=16CD=16，則，則ABAB和和CDCD的距離為的距離為 2 2如圖，已知如圖，已知ABAB、ACAC為弦，為弦，OMABOMAB于點(diǎn)于點(diǎn)M M， ONACONAC于點(diǎn)于點(diǎn)N N ，BC=4BC=4，求，求MNMN的長(zhǎng)的長(zhǎng)2 2或或1414A AC CO OM MN NB B提高練習(xí)提高練習(xí):3.在在 O中，直徑中，直徑CEAB于于D，OD=4，弦弦AC= ，求，求 O的半徑的半徑.10DCEOABABCDEO1.1.過(guò)過(guò)o o內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)M M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為1010, ,最短

16、弦最短弦長(zhǎng)為長(zhǎng)為8 8, ,那么那么o o的半徑是的半徑是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直徑直徑CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那那么么C C到到ABAB的距離等于的距離等于3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圓心圓心O O到到ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)C C的距離為的距離為1 1, ,那么那么O O的半徑為的半徑為4.4.如圖如圖, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分別為垂足分別為M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,則則AB= ,AB= ,AC= ,OA= .AC= ,OA= .BAMCON51或或956413CmE3.3.如圖為一圓弧形拱如圖為一圓弧形拱橋，半徑橋，半徑OA = 1