1、第一章函數、極限、連續第1節函數a) 反函數和原函數關于 y=x 對稱。b) 只有定義域關于原點對稱的函數才能討論奇偶性。c) 多個奇函數之和為奇函數；多個偶函數之和為偶函數。d) 2k 個奇函數的乘積是偶函數； 2k+1 個奇函數的乘積是偶函數；任意個偶函數的乘積還是偶函數。 (k=0,1,2.)。e)如果 f(x)是周期函數，周期為T，則 f(ax+b)也是周期函數，周期為|T/a| 。f) 基本初等函數包括：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。初等函數即上述五大類函數，以及它們有限次的四則運算與復合而成的函數。g) 一切初等函數在其定義域都是連續的。第2節極限a)左右極限存

2、在且相等極限存在。b)如果函數在 X0 極限為 A，則可以將函數改寫為f(X)=A+(x)，其中 lim (x) = 0 。x x0（等價無窮?。ヽ)極限存在極限唯一。（極限唯一性）d) lim f (x) A ，且 A>0，則在 x 的鄰域， f(x)> 0。（保號性）x x 0e)函數 f(x)在點 x=x0 存在極限，則存在該點的一個去心鄰域U，在 Uf(x)有界。（有界性）f)當 limf(x)=A， limg(x)=B，那么lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)- g(x)=limf(x)- limg(x)=A- Blim(f(

3、x)*g(x)=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/Blimg(x)不等于 0lim(f(x)n=(limf(x)n=Anlim(f(x)g(x)=Ab（極限的四則運算）g) 有限個 無窮小 之和 仍然是無窮小。 有限個 無窮小 之積 仍然是無窮小。 無窮小和 有界量乘積仍然是無窮小。h) lim f ( x) =lg ( x )i.l=0 ， f(x)=o(g(x).ii. l= ， f(x) 是 g(x) 低階 .iii.0<l< 或 - <l<0 ， l 1，同階 .iv. l=1 ，等價無窮小，記

4、作f(x) g(x).特別的，如果f ( x)lim g ( x) k =l(l 0) ，則稱 f(x)是 g(x) 的 k 階無窮小。i) 等價無窮小代換：x 0 時， x sinx tanx arcsinx arctanx ex-1 ln(1+x)1-cosx 1 x2= 1-cos x x2221 x -1 1 x = (1 x)-1 x2tanx-x 1 x33x-sinx 1x36特殊的， x 0 時 ax-1 xlnaj) 只有因子才能進行等價無窮小的代換。k) 要注重推廣形式。例如【 x 0 時， x sinx 】，如果當 x x0 時， f(x) 0，那么將原式中 x 換成 f

5、(x) 也成立。l) 求極限的方法：i. 利用函數的連續性（極限值等于函數值）。利用極限的四則運算性質。ii. 抓頭公式（處理多項式比值的極限）。1. 抓小頭公式。（ x 0）2. 抓大頭公式。（ x）（分子分母同除最高次項）（極限為【最高次項的系數比】）iii. 兩個準則：1. 夾逼準則2. 單調有界必有極限iv. 兩個重要極限：1.limsinx=1（利用單位圓和夾逼準則進行證明）x 0x112.lim (1) xelim (1 x ) x e（利用單調有界準則進行證明）xxx 0口訣：倒倒抄。（結合抓頭公式）v.無窮小的運算性質、等價無窮小的代換1. 有限個無窮小之和為無窮小。 有限個無

6、窮小之積為無窮小。 無窮小與有界量乘積為無窮小。2. 12 種等價無窮小的代換。vi. 左右極限：求分段函數分段點的極限值。vii. 利用導數的定義求極限。導數定義：增量比，取極限。構造出“增量比”的形式，則極限就是導數。viii. 定積分的定義求極限。（處理多項求和的形式）ix. 泰勒公式(?)()1.泰勒公式中系數表達式：?0( ?- ?) ?!02.當?=0 的時候，泰勒公式則稱為麥克勞林公式。0常用的麥克勞林公式：exsinxcosxln(x+1)(1+x)mx. 洛必達法則使用前提：（ 1）分子分母都趨向于 0。（ 2）分子分母的極限都存在。（ 3）分子分母導數的比值為一個定值或為無

7、窮。第一層次00第二層次0* ：轉換成 0 或 0- ：通分化為0 （常用換元的方法求解）0第三層次1000?使用 ? 進行轉化。第 3節 連續與間斷a) 連續某點：極限值 =函數值函數在該點連續開區間：在該區間中每個點都是連續的，則在開區間連續。閉區間：開區間連續切在端點連續b) 間斷第一類間斷點（左右極限都存在）可去間斷點：左右極限相等跳躍間斷點：左右極限不相等第二類間斷點（左右極限至少有一個不存在）無窮間斷點：因趨于無窮而造成的不存在。振蕩間斷點：因振蕩而不存在。c) 初等函數的連續性i. 基本初等函數在相應的定義域連續。ii.區間 I 上的連續函數做四則運算形成的新函數在I 上仍然是連

8、續函數。iii. 連續函數經過有限次的復合仍為連續函數。iv. 原函數連續且單調，反函數必為連續且單調。v. 一切初等函數在相應定義區間連續。d) 閉區間連續函數的性質如果 f(x)在 a,b 連續，則：1. f(x)在 a,b 有界。2. 有最大最小值3. 介值定理4. 零點定理： f(a)*f(b)<0 ， a、 b 之間必有零點。第二章一元函數微分學第 1節 導數與微分1 導數a) 導數定義：增量比，取極限。b)左導數和右導數存在且相等導數存在c) 函數在某點的導數值即函數在該點的切線的斜率。d)導數的物理意義：對路程函數中的t 求導為瞬時速度.etce) 導數的經濟意義：邊際成本

9、、邊際收益、邊際利潤。?f)函數的相對變化率（彈性）：? ? (?)?g) 可導與連續的關系：可導必連續，連續不一定可導。h) 偶函數的導數是奇函數。2 微分微分定義：自變量?x 沿著切線方向的增量?y 。3 求導法則a) 導數微分表（ 4 組 16 個）。b) 導數的四則運算。c) 反函數的導數：原函數導數的倒數。d) 復合函數求導法則。dydy?e) 參數方程求導： dx = dt / ?f)隱函數求導：左右兩側同時求導，y 當作 x 的函數處理。g) 對數求導法i.冪指函數：先將等式兩邊同時化為ln 的真數，再運用隱函數求導法則。ii. 連乘函數：先將等式兩邊同事化為 ln 的真數，變成

10、連加，再運用隱函數求導法則。4 高階導數a) 萊布尼茨公式：(?)=? (?) ( )( ?-?)(?)u(x)v(x)?=0? ? ?b) 反函數的二階導數： -c) 參數方程的二階導數：? (?)? 3() ? ?-? ?3(? )第 2節 微分中值定理1 羅爾中值定理條件：（ 1） f(x)在 a,b 連續。（ 2） f(x)在 (a,b)可導。（ 3） f(a)=f(b) 。結論：在 a 和 b 之間必有一個值?使得 f (?)=0。幾何意義：在該條件下的函數，必可在在其區間找到一點使得切線斜率為0。引申 - 費馬引理y=f(x)，若x0 為y=f(x)的極值點，則f 0(x)=0。2

11、 拉格朗日中值定理條件：（ 1） f(x)在 a,b 連續。（ 2）f(x) 在(a,b)可導。結論：在 a 和 b 之間必有一個值?使得 f (?)=?(?)-?(?)。?-?幾何意義： 在該條件下的函數， 必可在其區間找到一點使得切線斜率與端點連線斜率相等。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣。證明：使用曲線減去兩端點連線得出一個函數，再對該函數應用羅爾中值定理。使用該定理的信號：要求證的式子中有一個端點處函數值之差。3 柯西中值定理條件：（ 1） f(x)、 g(x)在 a,b 連續。（ 2）f(x)、 g(x)在 (a,b)可導。且 g(x)0結論：在 a 和 b 之間必有一個值 ?使

12、得? (?) ?(?)-?(?)= ( )。? (?) ? ?-?(?)柯西中值定理是拉格朗日中值定理推廣。證明：使用參數方程， 將 f(x)和 g(x)作為參數表示。 證明過程與拉格朗日中值定理相同。使用該定理的信號：要求證的式子中有兩個端點處函數值之差。4 泰勒中值定理泰勒中值定理即帶有拉格朗日余項的泰勒公式。(?)(?0)( ?+1)( )( )?() ?) ?+1?-(?-?0? =?!?0+(?+1)!?=0拉格朗日中值定理是帶有拉格朗日余項的泰勒中值定理的特例。使用該定理的信號：高階導數。使用方法： （ 1）確認 n 的取值，一般根據高階導數的階數選取。 （ 2）確認 x0 的取值

13、，一般選取題中已知導數值的點。（ 3）確認 x 的取值，一般為題中所給已知值的點或端點和極值點。第 3節 微分學的應用1 單調性、極值單調性：f (x)>0的區間， f(x)單調增的區間；f (x)<0的區間， f(x)單調減的區間。極值：極值點和導數為零的點沒有充要條件關系。可導函數 的極值點，對應的導數值為0。（費馬引理）駐點（導數為 0 的點）不一定是極值點。的鄰域， ?左右導數異號，則?是一個極值點。第一判定法：若在 ?000為駐點，且在?處， f(x)的二階導數存在。通過二階導數的符號進第二判定法： ?00行判定。2 最值（閉區間）最值可能出現在（1）極值點（ 2）區間端

14、點。3 凹凸、拐點凹凸：視覺定位：俯視?+?f( ? ) +f ( ?)凸函數： f(? +?f( ? )+f ( ? )凹函數： f( 1 2 )1212)122222凹函數： f (x)>0凸函數： f (x)<0拐點：可能出現在f (x)=0或f 不(x)存在的點， 但不一定是 。4 漸近線水平漸近線：當f(x)趨向于 時，極限存在，則該極限為水平漸近線。鉛直漸近線：當f(x)趨向于 ?時，極限趨向于 ，則 ?為該函數的鉛直漸近線。00?(?)斜漸近線： 當 f(x)趨向于 時，f(x)-(kx+b)=0，則 (kx+b)為該函數的斜漸近線。 其中，k=，?( )?。b= l

15、im ? -?5 函數圖像的描繪利用極值點、拐點、與坐標軸交點、單調性、凹凸性、漸近線進行描繪。6 曲率2弧微分： ds= + ?)1(? ?曲率即：角度在單位弧長的變化。? ?/?|? |曲率： K= =23?/?2(1+(y )曲率半徑： =1?曲率圓：從弧上某點出發，向凹側沿法線方向移動的長度，即得到曲率圓的圓心。第三章一元函數積分學第 1節 不定積分(一) 定義1.F (x)=f(x)，稱 F(x)為 f(x)的原函數。 F(x)+C ，=f(x)稱 F(x)+C 為 f(x)的原函數組。()( )2.?= ? + ?為 f(x)的不定積分。(二) 性質)( )()(1.? ?=?=

16、? + ? 2.?( ?)? =?(?) + ? = ?(?)()( )3.?= ?4.(?1( ?) ±?( ?) )?=?( ?)?± ?( ?)?2 1 2(三 ) 基本幾分公式24 個公式 =13（基本導數表）+11（常用公式）(四 ) 積分方法1.湊微分法（第一換元法）?( ?) ?( ?)?= ?( ?) + C有 13 個常用公式。2.換元法（第二換元法）-1?(?)?= ?(?) ?( ?) ?=F(t)+C=F? (?) + ?( ?) 可導且存在反函數。（根式換元、三角換元、倒代換）3.分部積分法?(?)?(?) = ?(?)?(?) - ?(?)?(?

17、)口訣：反對冪指三，誰先出現誰留下。第 2節 定積分(一 ) 定義：分割，近似，求和，取極限。幾何意義：曲線與x 軸所圍面積的代數和。(二 ) 性質：?1. ?( ?) ?= 0?2. ?(?)?= - ?(?)?()?3.( )?= ? ?)()?()?()4. (=?1? ±?2? ?1?± ?2?5.?()?()?( ?) ?= ?+ ?6.若 f(x) 0，xa,b ，則 ?(?)? 0?7.若 f(x) g(x) ， xa,b ，則 ?(?)? ?( ?)?8.mf(x) M， xa,b ，則 m(b -a) ?(?)? M(b -a)?(三 ) 基本定理?1.積

18、分中值定理：f(x)在 a,b 連續，則在 a,b 中存在一點 ，使得 ?(x)?= ?( )(b- a)?常把 f( 稱)為積分平均值。2.變限積分：函數?變上限 ( x) = ?(?)?變下限 ( x) = ?( ?) ? (?)= ?(?) (?)= -?(?)?(?)( x) = ?(?)?( x) = ?(?) ?(?)?(?)( x) = ?(?) ?(?)3.牛頓 -萊布尼茨公式:() (?)= ? ? (?) (?)= -?( ?) ?(?) (?)= ?( ?) ?( ?) - ?( ?) ? (?)?( )?( ?) |?= ?( ?) - ?(?)F (x)=f(x)則

19、?=?第 3節 反常積分（廣義積分）定積分：（ 1）有限區間。（2）區間有界。(一 ) 無窮區間上的廣義積分+( )?)(?= lim?，若極限存在，稱廣義積分是收斂的。若極限不存? + ?在，稱廣義積分是發散的。?( )?()?= lim ?，若極限存在，稱廣義積分是收斂的。若極限不存- ?-?在，稱廣義積分是發散的。+( )?( )+( )稱原廣義?= ?+ ?，若兩個廣義積分極限都存在，- - ?積分是收斂的。若至少有一個廣義積分極限不存在，稱原廣義積分是發散的。+ ?1-?當 P>0 時收斂，值為?常用公式： ?( ?> 0)?-1?。當 p>1 時發散。(二 ) 無

20、界函數的廣義積分（瑕積分）?f(x)在 a 點無界： ?( ?) ?=?不存在，稱積分發散。?lim ?(?)?，若極限存在，稱積分收斂。若極限?0+ ?+?-?( )，若極限存在，稱積分收斂。若極f(x)在 b 點無界： ?( ?) ?=lim+ ?0?限不存在，稱積分發散。?，若兩個廣義積分極限都存在，f(x)在 c 點無界： ?( ?)?= ?( ?) ?+ ?(?) ?稱原廣義積分是收斂的。若至少有一個廣義積分極限不存在，稱原廣義積分是發散的。第 4節 定積分的應用(一 ) 微元法： U1.確定變量x，確定 x 的圍 a,b 。2.dx Du=f(x)dx?3.U=?= ?(?)?(二

21、 ) 幾何問題1.面積：（1）直角坐標系?12()（2）極坐標系：S=?=? ? 2222?極坐標系轉化為直角坐標系：? =? + ? ,x = cos,y= sin ,= arctan?2.體積：?（1）截面面積已知的幾何體的體積：V=?= ?(?)? 2；繞 y 軸轉： V=?2( )?（ 2 ）旋轉體的體積：繞( )x 軸轉： V= ? ?V= 2?(?)?3.曲線的弧長?)2)2（1）參數方程：S=(dt?+ ? ?)2(dx（2）直角坐標系： S= 1+ ? ?)2()2（3）極坐標系：S=(d?+ ? ?(三 ) 物理問題運用微元法三步求解。第四章多元函數微分學第 1節 基本概念（

22、1）多元函數：二元函數： z=f(x,y)D 定義域幾何意義：曲面（2）二元函數的極限：趨向方式有無數種， 若不同趨向方式得到的極限不同，則極限不存在 （極限唯一性） 。（ 3） 二元函數的連續極限值等于函數值，則函數在該點連續。閉區域上連續函數的性質：D 為閉區域， f(x,y)在 D 上連續，則：1. f(x,y) 在 D 上有界。2. 存在最大最小值。3. 可應用 介值定理 。4. 可應用 零點定理。第 2節 偏導數與全微分（ 1） 偏導數： z=f(x,y)()對 x 的偏導數：lim?+?,?-?(?,?) ?=? 0?()對 y 的偏導數： lim?,?+?-?(?,?) ?=?

23、0?(?,?)?( ?,?) =?1)(?(?,?)?,? =2二階偏導數：若?()()()() ?（ 2） 全微分： z=f(x,y)22若 ?=A?+B?+o(? + ? ) 則 z 可微。22?dz=Adx+Bdy+ o( ?+ ? )=?+dy?（3）偏導數與全微分的關系全微分存在 ? 函數連續全微分存在 ?、存在?可微、連續 ?（4）偏導數的計算直接計算：對不求導的變量當作常量處理（二元一元）。多元復合函數求導（鏈式法則）1.z=f(u,v)u=u(x,y)v=v(x,y)? ? ?= ? + ? ? ? ? ? ?= ? + ? ? ? ?畫樹狀圖找到求導路徑隱函數的偏導數左右同時

24、求導多元隱函數求導公式：?=-?=-?第 3節 多元函數微分學的應用（數二只要求極值、最值問題）（1）二元函數的極值問題（無條件）極值點： 可能是 一階偏導數為零或不存在的點。222判定極值點：當求出某點可能為極值點(? ? ? ?, ?、 ?、 ?。0= 20=0=20 )，帶入 ?0?2計算 ?0 - ?0 ?0。當其小于零：?0 > 0為極小值點?0 < 0為極大值點大于零：不是極值點等于零：無法判斷（2）條件極值先構造拉格朗日函數，再求各值的偏導數。（ 3） 閉區域上的最值1. 先找極值。2. 邊界點（條件極值）。3. 比較，選出最大最小值。第五章重積分第 1節 二重積分（

25、1）幾何意義： f(x,y)>0，以 D 為底，以 f(x,y)為頂的曲頂柱體的體積。（2）計算()? (?)?( ?,?) ?a)直角坐標系下：? 2口訣：后積先定限?,?= ? (?)1()?(?)?( ?),?b)極坐標系下：先積r 后積 ? 2? ?,?= ?(?)1坐標系選擇：極坐標系：1. D：圓（環）、扇（環）22、?2.f(x,y)： ? + ?除此之外一般選擇直角坐標系。第六章常微分方程第 1節 基本概念1. 常微分方程含未知函數的導數的方程。2. 階未知函數有幾階導，就是幾階的微分方程。3.解通解：含有任意常數的個數與階數相同。特解：通解中的任意常數確定。( ?-1 )(?0) =?-1初始條件： y(?0) =?0， ?(?0) =?1， ，?4.線性方程y 和 y 的各階導數都是以一次式出現的。第 2節 一階微分方程1. 可分離變量的微分方程：轉化：?=f(x)?g(x)? =?(?) ?(?)兩邊同時積分2. 齊次微分方程：如果?=f( )，那么設=u，則 y=x?u(x)?那么?=u(x)+x?帶入原方程得： u+x?=?=f(u) ?( )（可分離變量）?-