1、為什么要學習數學模型為什么要學習數學模型? 隨著現代科學技術的迅猛發展，要求人們隨著現代科學技術的迅猛發展，要求人們在解決各類實際問題時更加精確化和定量化，特在解決各類實際問題時更加精確化和定量化，特別是在計算機的普及和廣泛應用的今天，數學更別是在計算機的普及和廣泛應用的今天，數學更深入地滲透到各種科學技術領域。深入地滲透到各種科學技術領域。 數學模型正是從定性和定量的角度去分析數學模型正是從定性和定量的角度去分析和解決所遇到的實際問題，為人們解決實際問題和解決所遇到的實際問題，為人們解決實際問題提供一種數學方法，一種思維方式，因此越來越提供一種數學方法，一種思維方式，因此越來越受到人們的重視

2、。受到人們的重視。 一個重點工程，地址選擇在何處為好？一個重點工程，地址選擇在何處為好？ 在戰爭還沒有消滅的今天，武器的發展是在戰爭還沒有消滅的今天，武器的發展是大型化還是提高精度？大型化還是提高精度？ 人口眾多，已成為全球性的大問題，如何人口眾多，已成為全球性的大問題，如何制定一個國家的人口政策？制定一個國家的人口政策？ 為什么發射衛星一般采用三級火箭？為什么發射衛星一般采用三級火箭？ 所有這些問題都需要建立數學模型加以論所有這些問題都需要建立數學模型加以論證，為決策者提供理論依據。證，為決策者提供理論依據。 先介紹兩個生動的應用實例，讓我們對此有先介紹兩個生動的應用實例，讓我們對此有所體會

3、，然后介紹數學模型的一些基本概念和建所體會，然后介紹數學模型的一些基本概念和建立模型的方法。立模型的方法。發射衛星為什么用三級火箭發射衛星為什么用三級火箭? 當你坐在電視機前觀看奧運會精彩的比賽實當你坐在電視機前觀看奧運會精彩的比賽實況時，你可曾想到是況時，你可曾想到是通過什么通過什么手段把畫面瞬間從手段把畫面瞬間從比賽現場傳到世界各地呢？比賽現場傳到世界各地呢？ 是通訊衛星。是通訊衛星。衛星靠什么送入太空軌道的呢？衛星靠什么送入太空軌道的呢？靠的是三級火箭?？康氖侨壔鸺?那么為什么要用三級火箭，而不用一級、那么為什么要用三級火箭，而不用一級、二級或四級火箭呢？二級或四級火箭呢？ 下面通過

4、運載火箭的數學模型來論證三級下面通過運載火箭的數學模型來論證三級火箭的設計是最優的?；鸺脑O計是最優的。 建立數學模型很關鍵的一步是確定什么是主建立數學模型很關鍵的一步是確定什么是主要因素，什么是次要因素。要因素，什么是次要因素。 火箭是一個非常復雜的系統，它必須具有高火箭是一個非常復雜的系統，它必須具有高效能的發動機，牢固的結構，低的空氣阻力等等。效能的發動機，牢固的結構，低的空氣阻力等等。 對火箭發動機的主要要求是必須具有強大的對火箭發動機的主要要求是必須具有強大的推力使火箭加速到足夠大的速度。推力使火箭加速到足夠大的速度。 因為如果火箭最末一級燃料用完時速度太低因為如果火箭最末一級燃料用

5、完時速度太低的話，衛星就會從空中掉回地面。的話，衛星就會從空中掉回地面。 下面從衛星的速度因素著手，看看為了使衛下面從衛星的速度因素著手，看看為了使衛星在預定的軌道上圍繞地球飛行，火箭的最終速星在預定的軌道上圍繞地球飛行，火箭的最終速度應該是多少？度應該是多少？一、火箭速度一、火箭速度 把問題理想化：假設地球為密度均勻分布的把問題理想化：假設地球為密度均勻分布的球體，衛星以地球引力作為向心力繞地球作平面球體，衛星以地球引力作為向心力繞地球作平面圓周運動，如圖圓周運動，如圖1.1所示。所示。 設地球半徑為設地球半徑為R，地球中心為，地球中心為O，曲線，曲線C為為地球表面，地球表面，曲線曲線 為衛

6、星軌道，為衛星軌道， 的半的半徑為徑為r，衛星質量為，衛星質量為m。CC2rmKG K為引力常數。為引力常數。 假設地球為密度均勻分布的球體，則可把地假設地球為密度均勻分布的球體，則可把地球的質量看成集中在球心。由牛頓第二定律，地球的質量看成集中在球心。由牛頓第二定律，地球對衛星的引力為球對衛星的引力為(1.1) 為定出常數為定出常數K，把衛星放在地球表面。，把衛星放在地球表面。則由則由(1.1)式得式得2RmKmg 2gRK 2222rRmgrmgRrmKG (1.3) (1.2)其中其中g為地球表面的重力加速度。為地球表面的重力加速度。 將將(1.2)式代入式代入(1.1)式得地球對衛星的

7、引力式得地球對衛星的引力rvan2222rRmgrvmmanrRgv22kmRsmg6400,/81.92衛星以地球引力作為向心力繞地球作圓周運動，衛星以地球引力作為向心力繞地球作圓周運動，其向心加速度為其向心加速度為向心力為向心力為得得(1.4)取取所以所以skmrgRv/6 .721(1.5)即是要把衛星送入離地面即是要把衛星送入離地面600km高的軌道，火高的軌道，火箭的末速度至少要箭的末速度至少要7.6km/s。又取衛星離地面高度為又取衛星離地面高度為600km，則，則kmkmr7000)6006400( 應注意到，在把問題理想化時，所作假應注意到，在把問題理想化時，所作假設與實際有較

8、大差別，但這并不會影響所計設與實際有較大差別，但這并不會影響所計算的結果，因為并不是要精確計算衛星的速算的結果，因為并不是要精確計算衛星的速度是多少，而是要推出火箭的末速度至少要度是多少，而是要推出火箭的末速度至少要多少？多少？ 下面的工作就是計算火箭的速度，看它下面的工作就是計算火箭的速度，看它的末速度能否達到的末速度能否達到7.6km/s。 二、火箭速度的計算二、火箭速度的計算 要計算火箭的速度，必須懂得火箭的基要計算火箭的速度，必須懂得火箭的基本結構和工作的基本原理?；鸺暮唵文Ｐ褪潜窘Y構和工作的基本原理?；鸺暮唵文Ｐ褪怯梢慌_火箭發動機和一個燃料倉組成，燃料在由一臺火箭發動機和一個燃料

9、倉組成，燃料在發動機中燃燒，產生大量的氣體從火箭的末端發動機中燃燒，產生大量的氣體從火箭的末端噴出。這種向后噴出的氣體產生一個使火箭向噴出。這種向后噴出的氣體產生一個使火箭向前運動的推力。為了在一定的時間內使火箭的前運動的推力。為了在一定的時間內使火箭的最后速度達到最后速度達到7.6km/s，那末推動火箭向前的，那末推動火箭向前的力應該是多少？這個力又依賴哪些因素呢？力應該是多少？這個力又依賴哪些因素呢？ 火箭飛行時要受到重力和空氣阻力的影響，由火箭飛行時要受到重力和空氣阻力的影響，由于地球的公轉和自轉，火箭升空后作曲線運動。這于地球的公轉和自轉，火箭升空后作曲線運動。這樣考慮問題就復雜了，這

10、里仍然把問題理想化。樣考慮問題就復雜了，這里仍然把問題理想化。 假設火箭在噴氣推進下作直線運動，不考慮重假設火箭在噴氣推進下作直線運動，不考慮重力和空氣阻力的影響。力和空氣阻力的影響。 tt)(ttm時刻火箭質量為時刻火箭質量為設設 t 時刻火箭質量為時刻火箭質量為 m(t) , 速度為速度為 v(t)，)()()(2tOtdtdmtmttm(1.6)由由Taylor展開式，展開式，在在t 這段時間內火箭質量減少這段時間內火箭質量減少在不需要余項的精確表達式時在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為泰勒公式可寫為 )(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxx

11、nxf)(!)(00)()(0nxx 這個減少的質量實際上是火箭燃料燃燒噴出的這個減少的質量實際上是火箭燃料燃燒噴出的氣體的質量。氣體的質量。 設噴出的氣體相對于火箭運動的速度為設噴出的氣體相對于火箭運動的速度為u（u為為常數），則氣體相對于地球運動的速度為常數），則氣體相對于地球運動的速度為utv)()()()()()()(2tOutvtdtdmttvttmtvtm即即t時刻火箭動量等于時刻火箭動量等于)(tt時刻火箭動量加上時刻火箭動量加上)(tt時刻轉換到氣體時刻轉換到氣體上去的動量。如圖上去的動量。如圖1.2所示。所示。 由動量守恒定律，有由動量守恒定律，有(1.7)用用Taylor展

12、開式展開展開式展開)(ttmt，并令，并令0tudtdmdtdvm代入代入(1.7)式兩端同除以式兩端同除以取極限得取極限得(1.8)這是一個具有指導意義的式子。這是一個具有指導意義的式子。(1.8)式左端表示火箭所受的推力式左端表示火箭所受的推力T。請現在推導請現在推導(1.8)式式dtdvmT udtdmT即是說，推力等于燃料消耗的速度與氣體相即是說，推力等于燃料消耗的速度與氣體相對于火箭運動速度的乘積。對于火箭運動速度的乘積。 令令得得將將(1.8)式改寫為式改寫為dtmdudtdv)(lnu為常數，積分上式得為常數，積分上式得)(ln)(00tmmuvtv0m是火箭初始質量，是火箭初始

13、質量，0v(1.9)是是 t = 0 時的速度，時的速度，(1.9)式的結果表明火箭速度變化僅依賴于兩個因素：式的結果表明火箭速度變化僅依賴于兩個因素：請現在推導上式請現在推導上式請現在推導請現在推導(1.9)式式 （1）噴出的氣體相對于火箭的速度）噴出的氣體相對于火箭的速度 u（已（已假定為常數）；假定為常數）； （2）t 時刻火箭質量時刻火箭質量 m(t) 和和 t=0 時刻火箭時刻火箭質量質量 m0 之比。之比。 這就為設計火箭時提高火箭速度指出了正這就為設計火箭時提高火箭速度指出了正確的方向：確的方向： （1）盡量提高火箭燃燒時產生的氣體噴出）盡量提高火箭燃燒時產生的氣體噴出的速度的速

14、度 u，這從燃料上想辦法（如制造液體燃料、，這從燃料上想辦法（如制造液體燃料、固體燃料、改變燃料構成成分等）。固體燃料、改變燃料構成成分等）。（2）盡量減少在）盡量減少在 t 時刻火箭的質量時刻火箭的質量 m(t)，以增大，以增大)(/0tmm 采用以上兩種方法可提高火箭的速度，為此采用以上兩種方法可提高火箭的速度，為此有必要計算火箭在飛行過程中質量的變化。有必要計算火箭在飛行過程中質量的變化。 的比值，從結構上想辦法。的比值，從結構上想辦法。三、火箭系統質量的計算三、火箭系統質量的計算火箭系統質量由下列部分組成：火箭系統質量由下列部分組成：Pm（2）燃料質量）燃料質量Fm（3）結構質量）結構

15、質量Sm 首先考慮簡單情形：設所有燃料全部耗盡，首先考慮簡單情形：設所有燃料全部耗盡，只剩下凈載質量和結構質量只剩下凈載質量和結構質量SPmm 然后凈燃料倉和發動機丟棄，只剩下凈載體。然后凈燃料倉和發動機丟棄，只剩下凈載體。 （1）凈載質量）凈載質量 （如衛星等）；（如衛星等）；（發動機和燃料倉質量）。（發動機和燃料倉質量）。由由(1.9)式凈載體將以速度式凈載體將以速度SPmmmuv0ln運動。運動。SmFSmm )()(0PSFSmmmmm(1.10)在在中應占有一定的比例，在現有技術條件下，要中應占有一定的比例，在現有技術條件下，要使燃料倉與發動機的質量和小于所載燃料的使燃料倉與發動機的

16、質量和小于所載燃料的1/8和和1/10是很難做到的。是很難做到的。設設(為常數為常數)一般來說，結構質量一般來說，結構質量 即結構質量為燃料與結構質量和的即結構質量為燃料與結構質量和的倍，倍，代入代入(1.10)式，得式，得Pmmmuv)1(ln00對于給定的對于給定的u值，當凈載質量值，當凈載質量0Pm1lnuv由此可以得出一個重要的結果：由此可以得出一個重要的結果：時時（即火箭不攜帶任何東西），火箭所能達到的（即火箭不攜帶任何東西），火箭所能達到的最大速度為最大速度為請現在推導請現在推導(1.11)式式 (1.11) (1.12)已知已知 u=3km/s，如果取，如果取=0.1，則上式中，

17、則上式中 前面前面(1.5)式推出衛星要進入圓形軌道，火箭式推出衛星要進入圓形軌道，火箭末速度為末速度為7.6km/s，而剛才推導的火箭速度是在假，而剛才推導的火箭速度是在假定忽略空氣阻力、重力、不攜帶任何東西的情況定忽略空氣阻力、重力、不攜帶任何東西的情況下，最大速度才下，最大速度才7km/s。由此得出，單級火箭是。由此得出，單級火箭是不能用于發射衛星的。不能用于發射衛星的。 v 7km/s 由以上分析還可以發現，該火箭模型的缺由以上分析還可以發現，該火箭模型的缺點在于發動機必須把整個沉重的火箭加速到底，點在于發動機必須把整個沉重的火箭加速到底，但是當燃料耗盡時，發動機加速的僅僅是一個但是當

18、燃料耗盡時，發動機加速的僅僅是一個空的燃料倉，作了許多無用功。因此，有待改空的燃料倉，作了許多無用功。因此，有待改進火箭的設計。進火箭的設計。 設火箭燃料燃燒的同時，不斷丟棄無用部設火箭燃料燃燒的同時，不斷丟棄無用部分，顯然效率會高一些，如圖分，顯然效率會高一些，如圖1.3所示。所示。tdtdm表示丟棄的結構質量，表示丟棄的結構質量，tdtdm)1 (在圖在圖1.3中中表示燃燒掉的燃料噴出的氣體質量。表示燃燒掉的燃料噴出的氣體質量。tt（總丟棄（總丟棄質量等于丟棄的結構質量加上燃燒掉的質量等于丟棄的結構質量加上燃燒掉的燃料質量）。燃料質量）。設在設在 t 到到時間內，把總丟棄質量當作時間內，把

19、總丟棄質量當作1 把丟棄的結構質量當作把丟棄的結構質量當作 (01) ，則燃燒掉，則燃燒掉的燃料質量為的燃料質量為(1-) 。 當然，不可能制造這樣的理想火箭。即要作當然，不可能制造這樣的理想火箭。即要作到無用部分外殼連續不斷地丟棄。到無用部分外殼連續不斷地丟棄。 但是，可把實際情況理想化以后，使得問題但是，可把實際情況理想化以后，使得問題變得比較簡單，在此基礎上建立相應數學模型。變得比較簡單，在此基礎上建立相應數學模型。從而獲得需要的信息。然后通過一些修正，就可從而獲得需要的信息。然后通過一些修正，就可以把理想過程還原到實際過程。以把理想過程還原到實際過程。由動量守恒定律由動量守恒定律)()

20、1 ()()()()()(uvtdtdmttvdtdmttvttmtvtm將將)(ttm按按(1.6)式展開代入上式，式展開代入上式，0tdtdmudtdvm)1 (積分得積分得)(ln)1 ()(0tmmutv經過整理并令經過整理并令，取極限得，取極限得請現在推導上式請現在推導上式請現在推導請現在推導(1.14)式式 (1.13) (1.14)(1.14)式與式與(1.10)式相似，但不同的是式相似，但不同的是(1.14)式表式表明，當火箭燃料用完時，結構質量均被扔掉，只明，當火箭燃料用完時，結構質量均被扔掉，只剩下凈載（如衛星）。剩下凈載（如衛星）。因此，理想火箭的最終速度為因此，理想火箭

21、的最終速度為Pmmuv0ln)1 (由上式可以看出，如果已知由上式可以看出，如果已知(1.15)pmmu,0則可計算出凈載物的速度。則可計算出凈載物的速度。skmu/3 ,1.0500Pmm即凈載體是整個系統初始質量的即凈載體是整個系統初始質量的1/50，就是說，就是說1t重的衛重的衛星送入離地星送入離地600km的軌道，需要造一個的軌道，需要造一個50t重的火箭。重的火箭。 顯然，在以上條件下，要求凈載物速度越高，顯然，在以上條件下，要求凈載物速度越高，則凈載物的質量就必須越小。則凈載物的質量就必須越小。 假定考慮空氣阻力、重力等因素影響，那么理假定考慮空氣阻力、重力等因素影響，那么理想火箭

22、將衛星送入想火箭將衛星送入600km的軌道的最終速度應達到的軌道的最終速度應達到10.5km/s，而不是，而不是7.6km/s。代入代入(1.15)式得式得如果取如果取 令令mi為第為第i級質量（燃料級質量（燃料+結構），結構），imim)1(為結構質量，為結構質量，為燃料質量。為燃料質量。 四、理想過程的實際化四、理想過程的實際化 前面所提的理想火箭是把火箭飛行過程中燃前面所提的理想火箭是把火箭飛行過程中燃料燃燒后結構質量的無用部分連續不斷地丟棄以料燃燒后結構質量的無用部分連續不斷地丟棄以提高效率，顯然對于實際火箭是辦不到的。是否提高效率，顯然對于實際火箭是辦不到的。是否可以把結構質量逐級丟

23、棄而用多級火箭呢？下面可以把結構質量逐級丟棄而用多級火箭呢？下面就來分析。就來分析。1230mmmmmP先分析三級火箭的入軌過程，初始質量為先分析三級火箭的入軌過程，初始質量為 為簡單起見，設所有各級火箭為簡單起見，設所有各級火箭值是一樣的，值是一樣的，噴氣相對速度噴氣相對速度 u 在各級也相同。在各級也相同。當第一級燃料用完時，剩余質量為當第一級燃料用完時，剩余質量為123mmmmP由由(1.9)式知火箭速度為式知火箭速度為12301lnmmmmmuvP(1.16)這時丟棄第一級外殼，此時火箭質量為這時丟棄第一級外殼，此時火箭質量為23mmmP同時第二級點火，當第二級火箭燃料用完時，同時第二

24、級點火，當第二級火箭燃料用完時，所剩質量為所剩質量為23mmmP火箭速度為火箭速度為232312lnmmmmmmuvvPP (1.17)丟棄無用的第二級外殼，火箭質量為丟棄無用的第二級外殼，火箭質量為3mmP3mmP火箭速度為火箭速度為332lnmmmmuvvPP有關參數必須滿足下列兩個條件：有關參數必須滿足下列兩個條件：33232312301230lnmmmmmmmmmmmmmmmuvmmmmmPPPPPP 同時第三級點火，當第三級火箭燃料用完時，同時第三級點火，當第三級火箭燃料用完時，(1.18)(1.19)其質量為其質量為 現在的問題是如何選擇現在的問題是如何選擇m1、m2、m3使使mP

25、最最大。由于大。由于(1.16)式復雜，問題棘手，但當引入式復雜，問題棘手，但當引入新變數以后，問題就變簡單了。新變數以后，問題就變簡單了。 2301mmmmaP3232mmmmmaPP PPmmma33(1.16)式變為式變為) 1(1) 1(1) 1(1ln332211aaaaaauv令令幸運的是，上式中的幸運的是，上式中的321,aaa所以當所以當321aaa時，時，321aaa取最小值，取最小值，Pmmaaa/0321取最小，此時取最小，此時Pm321aaaa則有則有 3)1(1lnaauvuvaa3exp)1(1uvp3exp有有 pa1最大。最大。是對稱的，是對稱的，即即令令令令所

26、以最大凈載質量為所以最大凈載質量為301pmmP設設5 .10vkm/s，3ukm/s，1 . 0770Pmm 這就是說，要送這就是說，要送1t 重的衛星上天，需要制重的衛星上天，需要制造造77t 重的三級火箭，與理想火箭重的三級火箭，與理想火箭50t 重比較，重比較，二者相差很大。二者相差很大。可得可得 這就是說，要送這就是說，要送1t 重的衛星上天，需要制造重的衛星上天，需要制造77t 重的三級火箭，與理想火箭重的三級火箭，與理想火箭50t 重比較，二重比較，二者相差很大。者相差很大。 下面考慮兩級和四級火箭，由三級火箭的分下面考慮兩級和四級火箭，由三級火箭的分析可以看出析可以看出Pmm

27、/0nPpmm10nuvpexp的值推導過程可以適用于的值推導過程可以適用于設設 u 和和 對任何一級火箭都相同，則對任何一級火箭都相同，則任何任何 n 級火箭，級火箭， 作為檢驗，如果令作為檢驗，如果令 n，那么它將與我們，那么它將與我們先前在第三段中討論的理想火箭結果一致（理想先前在第三段中討論的理想火箭結果一致（理想情形是假定火箭在其飛行過程中，無用部分外殼情形是假定火箭在其飛行過程中，無用部分外殼要連續不斷地丟棄）。要連續不斷地丟棄）。 uvmmP)1 (exp0 如果如果 u,v,與前相同，衛星重與前相同，衛星重1t，則火箭級數，則火箭級數與質量之間的關系為與質量之間的關系為在理想情形時在理想情形時 由此可見，用三級火箭代替二級火箭是值得的。由此可見，用三級火箭代替二級火箭是值得的。雖然多了一級，但火箭質量幾乎減少了一半。而用四雖然多了一級，但火箭質量幾乎減少了一半。而用四級火箭代替三級火箭時，重量減輕不大，但被四級火級火箭代替三級火箭時，重量減輕不大，但被四級火箭的復雜性及額外還要