1、2021-11-161機器人基本概念 自由度（自由度（degree of freedom, dof）：）：指一個點或一個物體運動的方式，或一個動態系統的變化方式。每個自由度可表示一個獨立的變量，而利用所有 的自由度，就可完全規定所研究的一個物體或一個系統的姿態。 操作手（操作手（manipulator）：）：具有和人手臂相似的功能、可在空間抓放物體或進行其它操作的機械裝置。2021-11-162 末端執行器（末端執行器（end-effector）：）：位于機器人腕部的末端，直接執行工作要求的裝置。 手腕（手腕（wrist）：）：位于執行器與手臂之間，具有支撐和調整末端執行器姿態功能的機構。 手

2、臂（手臂（arm）：）：位于基座和手腕之間，由操作手的動力關節和連桿等組成的組件。能支撐手腕和末端執行器，并具有調整末端執行器位置的功能。 自然坐標系、世界坐標系（自然坐標系、世界坐標系（world coordinate system）：）：參照地球的直角坐標系。 機座坐標系、基坐標系（機座坐標系、基坐標系（base reference coordinate system）：）：參照機器人基座的坐標系。2021-11-163 坐標變換（坐標變換（coordinate transformation）：）：將一個點的坐標從一個坐標系換 到另一個坐標系的過程。 位姿（位姿（pose）：）：機器人末端

3、執行器在指定坐標系中的位置和姿態。 工作空間（工作空間（working space）：）：機器人在執行任務時，其腕軸交點能在空間 活動的范圍。 負載（負載（load）：）：作用于末端執行器上的質量和力矩。 額定負載（額定負載（rated load）：）：機器人在規定的性能范圍內，機械接口處能夠承 受的最大負載量（包括末端執行器在內）。 分辨率（分辨率（resolution）：）：機器人每個軸能夠實現的最小移動距離或最小轉動 角度。 位姿精度（位姿精度（pose accuracy）：）：指令設定位姿與實際到達位姿的一致程度。 軌跡精度（軌跡精度（path accuracy）：）：機器人機械接口中

4、心跟指令軌跡的一致程度。 點位控制（點位控制（point to point control，ptp）：）：控制機器人從一個位姿轉到另 一個位姿，其路徑不限。 連續軌跡控制（連續軌跡控制（continuous path control，cp）：）：機械接口在指定的軌跡上 ，按照編程規定的位姿和速度移動。它適于對兩個以上的運動環節進行控制。2021-11-164 協調控制（協調控制（cooperative control）：）：協調多個手臂或多臺機器人同時進行某 種作業的控制。 伺服系統（伺服系統（servo system）：）：控制機器人的位姿、速度和力等，使其跟隨目標 值變化的控制系統。 離線

5、編程（離線編程（off-line programming）：）：機器人作業方式信息的記憶過程，與 作業對象不發生直接關系的編程方式。 在線編程（在線編程（on-line programming）：）：通過人的示教來完成操作信息記憶 過程的編程方式。 人工智能（人工智能（artificial intelligence，ai）：）：機器人能執行一些類似人類智力 活動的能力。如推理、規劃、圖像識別、理解和學習等。 模式識別（模式識別（pattern recognition）：）：通過類似人類感覺器官的傳感器所檢測 的信息來分析、描述和區分各個物體特征的方法。 觸覺（觸覺（tactile sense）

6、：）：機器人與物體之間接觸時所得到的感覺信息。 壓覺（壓覺（sense of contact force）：）：機器人與物體某個表面接觸時，沿法線方 向受到的力的信息感覺。 視覺（視覺（visual sense）：）：機器人對光等外界信息的感覺。利用這種感覺可以 識別物體的輪廓、方位、背景等環境狀態。 接近覺（接近覺（proximity sense）：）：機器人能感受到與物體接近程度的能力。2021-11-165自由度計算自由度計算1)1) 自由度自由度(degree of freedom, dof) (degree of freedom, dof) ： 物體能夠對坐標系進行獨立運動的數目。物

7、體能夠對坐標系進行獨立運動的數目。 剛體在三維空間中有剛體在三維空間中有6 6個自由度，顯然機器人要完成任個自由度，顯然機器人要完成任一空間作業，也需要一空間作業，也需要6 6個自由度。機器人的運動是由手個自由度。機器人的運動是由手臂和手腕的運動組合而成的。通常手臂有臂和手腕的運動組合而成的。通常手臂有3 3個關節，用個關節，用以改變手腕的位置，稱為定位機構；手腕也有以改變手腕的位置，稱為定位機構；手腕也有3 3個關節，個關節，通常這通常這3 3個關節軸線相交，用來改變末端件（手爪）的個關節軸線相交，用來改變末端件（手爪）的姿態，稱為定向機構。機器人可以看成是定位機構連接姿態，稱為定向機構。機

8、器人可以看成是定位機構連接定向機構定向機構 2021-11-166自由度計算自由度計算1)1) 自由度自由度(degree of freedom, dof) (degree of freedom, dof) ： 對于對于6 6自由度并聯機器人，其結構是閉環結構，自由度并聯機器人，其結構是閉環結構，主要優點是結構剛度大，由主要優點是結構剛度大，由6 6個油缸驅動，決定個油缸驅動，決定末端執行器的位置和姿態。油缸的末端執行器的位置和姿態。油缸的1 1端與基座相端與基座相連（連（2 2自由度虎克鉸），另自由度虎克鉸），另1 1端與末端執行器相端與末端執行器相連（連（3 3自由度球鉸），該機器人將手臂

9、和手腕的自由度球鉸），該機器人將手臂和手腕的自由度集成在一起。主要特點為：剛度大，但自由度集成在一起。主要特點為：剛度大，但運動范圍十分有限，運動學反解特別簡單，而運動范圍十分有限，運動學反解特別簡單，而運動方程的建立特別復雜，有時還不具備封閉運動方程的建立特別復雜，有時還不具備封閉的形式的形式2021-11-167自由度計算自由度計算1)1) 自由度自由度(degree of freedom, dof) (degree of freedom, dof) ： 其自由度的計算不如開式鏈明顯，根據機構自其自由度的計算不如開式鏈明顯，根據機構自由度公式可以確定并聯機器人的自由度由度公式可以確定并聯機

10、器人的自由度niifnlf1) 1(6l連桿數，包括基座；n關節總數；fi第i個關節的自由度數2021-11-168自由度計算自由度計算1)1) 自由度自由度(degree of (degree of freedom, dof) freedom, dof) ： stewartstewart平臺有平臺有1818個關節，個關節，1414個連桿，個連桿，1818個關節有個關節有3636個自個自由度，代入上式得由度，代入上式得636) 11814(6f2021-11-169機器人機器人的圖形符號的圖形符號 1 1 移動副移動副2 2 轉動副轉動副3 3 球副球副4 4 圓柱副圓柱副5 5 末端執行器末

11、端執行器6 6 機座機座2021-11-1610 第二章 機器人運動學n 2-1概 述機器人運動學是研究機器人各關節運動的幾何關系。 機器人關節由驅動器驅動，關節的相對運動導致連桿 的運動，使手爪到達所需的位姿 機器人可以看成開式運動鏈，由一系列連桿通過轉動或移動關節串聯而成。 機器人的執行機構是一個多剛體系統2021-11-1611 2-2 研究的問題和方法n本章研究的問題：本章研究的問題：機器人的正逆運動學當已知所有的關節變量時，可以用正運動學來確定機器人當已知所有的關節變量時，可以用正運動學來確定機器人末端手的位姿；如果要使機器人的末端手放在特定的點上末端手的位姿；如果要使機器人的末端手

12、放在特定的點上并且具有特定的姿態，可用逆運動學來計算出每一關節變并且具有特定的姿態，可用逆運動學來計算出每一關節變量的值。量的值。n本章研究的方法：本章研究的方法：首先用矩陣建立物體位姿以及運動的表示，然后研究直角、首先用矩陣建立物體位姿以及運動的表示，然后研究直角、圓柱及球坐標等不同構型機器人的正逆運動學，最后利用圓柱及球坐標等不同構型機器人的正逆運動學，最后利用dhdh表示法推導機器人所有可能構型的正逆運動學表示法推導機器人所有可能構型的正逆運動學2021-11-16122-3 空間點的表示空間點的表示 空間點空間點p p可以用三個坐標來表示空間點的位置可以用三個坐標來表示空間點的位置kc

13、jbiapzyxkcjbiapzyx 可以用向量表示：可以用向量表示：用矩陣表示：用矩陣表示：zyxcbap2021-11-16132-4 轉動矩陣轉動矩陣 1剛體位置和方向的矩陣表示剛體位置和方向的矩陣表示 對于一個剛體，若給定了其上某一點的位置和該剛體對于一個剛體，若給定了其上某一點的位置和該剛體在空間的姿態，則這個剛體在空間完全得到定位在空間的姿態，則這個剛體在空間完全得到定位。 剛體在剛體在o系中的坐系中的坐標可用一個列矩陣標可用一個列矩陣表示：表示： oooozyxr（2-1） 2021-11-16142-4 轉動矩陣轉動矩陣 1剛體位置和方向的矩陣表示剛體位置和方向的矩陣表示 剛體

14、在固定坐標系內的方向可用由 三個矢量組合起來的3階矩陣c表示 ntb （2-2）btnc 2轉動矩陣的一般形式轉動矩陣的一般形式 剛體的運動由轉動和平移組成，而運動的描述可以用上述o系和o系的關系來表達，因此我們首先看反映剛體定點轉動的坐標系變換矩陣轉動矩陣，這是研究機器人運動姿態的基礎。 2021-11-16152-4 轉動矩陣轉動矩陣 2轉動矩陣的一般形式轉動矩陣的一般形式設有兩個共原點的右手坐標系 oxiyizi和 oxjyjzj 空間有一點p，該點在i、j系內的坐標分別為 tiiizyxtjjjzyxp點從j系變換到i系的坐標變換關系為： 2021-11-16162-4 轉動矩陣轉動矩

15、陣 2轉動矩陣的一般形式轉動矩陣的一般形式),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(jijjijjijijijjijjijijijjijjijizzzyzyxzxzzyzyyyxyxyzxzyxyxxxx(23) （24）jjiirrr （25）),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(jijijijijijijijijijizzyzxzzyyyxyzxyxxxr2021-11-16172-4 轉動矩陣轉動矩陣 2轉動矩陣的一般形式轉動矩陣的一般形式即為一般形式的

16、轉動矩陣，也稱為從j系向i系變換的轉動矩陣。對i系來說， 描述了j系的姿態，故也稱其為姿態矩陣，又因 內各元素皆為坐標軸之間的方向余弦，所以也可稱之為方向余弦矩陣，也可用 表示。 jirjirjic當兩個坐標系無相對轉動時， irji若取j系為參考系，則p點從i系到j系的坐標變換關系為： （26）iijjrrr2021-11-16182-4 轉動矩陣轉動矩陣 轉動矩陣為正交陣轉動矩陣為正交陣 （27）),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(ijijijijijijijijijijzzyzxzzyyyxyzxyxxxriijij

17、ijrrrrr1tjijiijrrr12021-11-16192-4 轉動矩陣轉動矩陣 3繞一個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞一個坐標軸旋轉的轉動矩陣 繞x、y、z坐標軸的旋轉（圖23）變換矩陣是最基本的轉動矩陣，它們是一般轉動矩陣的特例，故可直接由一般轉動矩陣得到。 2021-11-16202-4 轉動矩陣轉動矩陣 3繞一個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞一個坐標軸旋轉的轉動矩陣 由式（25）可得到繞x軸旋轉角的轉動矩陣為： （28）cossin0sincos0001),(xrji2021-11-16212-4 轉動矩陣轉動矩陣 3繞一個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞一個坐標軸旋轉的轉動矩陣 （29）cos0sin0

18、10sin0cos),(yrji （210）1000cossin0sincos),(zrji2021-11-16222-4 轉動矩陣轉動矩陣 3繞一個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞一個坐標軸旋轉的轉動矩陣 從上述三個矩陣可以總結出轉動矩陣的若干特點若干特點：1)主對角線上有一個元素為1，其余均為轉角的余弦；2)繞軸轉動的次序與元素1所在的行、列號對應； 3)元素1所在的行列，其它元素為零； 4)以元素1所在的行為準，至上而下，先出現的正弦為負，5)后出現的為正。這四個特點可以幫助我們有效地記憶有效地記憶。 2021-11-16232-4 轉動矩陣轉動矩陣 4繞兩個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞兩個坐標軸旋轉的

19、轉動矩陣 設坐標系 先繞zi旋轉角形成坐標系 ，再繞xm軸旋轉角，形成坐標系 如圖24，iiizyoxmmmzyoxjjjzyox （211）mmiirzrr),( （212） jjmmrxrr),(2021-11-16242-4 轉動矩陣轉動矩陣 4繞兩個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞兩個坐標軸旋轉的轉動矩陣 （213）jjijjmmimmiirrrxrzrrzrr),(),(),(),(此式表明，運用轉動矩陣的連乘可以進行坐標系的連續變換，此時的轉動矩陣為： cossin0sincoscoscossinsinsincossincoscossin0sincos00011000cossin0sinco

20、s),(jir（214） 2021-11-16252-4 轉動矩陣轉動矩陣 5繞三個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞三個坐標軸旋轉的轉動矩陣 三次旋轉的方式很多，機器人學中多采用歐拉角（euler）旋轉，所謂歐拉角即對繞軸轉動的轉角規定一個序列所謂歐拉角即對繞軸轉動的轉角規定一個序列，由于歐拉角的不同取法，轉動矩陣有不同的表達式。 1) 用歐拉角 、 、 表示 （215）),(),(),(),(zryrzreulerji2021-11-16262-4 轉動矩陣轉動矩陣 5繞三個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞三個坐標軸旋轉的轉動矩陣 此式右邊表示三次連續旋轉的轉動矩陣。反之，右邊三個矩陣從右向左連乘，表示各次旋轉

21、均繞參考系i的有關軸進行，即先繞z軸旋轉 角，再繞y軸旋轉角，最后再繞z軸旋轉 角，如此可同樣得到j系對i系的姿態。可見多個轉動矩陣連乘時，次序不同則含義不同，右乘的次序說明可見多個轉動矩陣連乘時，次序不同則含義不同，右乘的次序說明連續繞新的坐標軸轉動，往左乘的次序則表明繞固定參考系坐標軸連續繞新的坐標軸轉動，往左乘的次序則表明繞固定參考系坐標軸依次轉動。依次轉動。 2021-11-16272-4 轉動矩陣轉動矩陣 5繞三個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞三個坐標軸旋轉的轉動矩陣 csscsssccscsscccssccssccssccceulerji1000cossin0sincoscos0sin01

22、0sin0cos1000cossin0sincos),(（216） 2021-11-16282-4 轉動矩陣轉動矩陣 5繞三個坐標軸旋轉的轉動矩陣繞三個坐標軸旋轉的轉動矩陣 2) 用橫滾角 、俯仰角、側擺角 表示 這三個角是導航專業中常用的，如圖26所示，j系開始時與i系重合，橫滾（roll）是繞zi軸旋轉 角，俯仰（pitch）是繞yi軸旋轉角，側擺（yaw）是繞xi軸旋轉 角。我們規定旋轉次序為先繞xi軸、再繞yi軸、最后繞zi軸，則三次轉動矩陣為： 2021-11-16292-4 轉動矩陣轉動矩陣 2021-11-16302-4 轉動矩陣轉動矩陣 ccscssccssccssscsssc

23、sccssscccxryrzrrpyjicossin0sincos0001cos0sin010sin0cos1000cossin0sincos),(),(),(),(（217） 2021-11-16312-5 齊次坐標變換 剛體的運動是由轉動和平移組成的，純轉動變換陣如上節所述用33矩陣來表示，顯然此三階矩陣內的元素均與轉動有關，已不可能反映平移，為了能讓同一矩陣表示轉動和平移，有必要引入44的齊次坐標變換矩陣。 1 齊次坐標齊次坐標在三維直角坐標系中，一個點可以表示為 ，若用4個數組成一個列向量： tcba2021-11-16322-5 齊次坐標變換zyxu來表示上述點 ，且令它們的關系為：

24、tcba /xa /yb /zc 則稱 稱為三維空間點 的齊次坐標齊次坐標，如 是點 的齊次坐標。 tzyxtcbatcba 1tcba2021-11-16332-5 齊次坐標變換n坐標系在固定參考坐標系原點的表示zzzyyyxxxaonaonaonf2021-11-16342-5 齊次坐標變換n坐標系在固定參考坐標系中的表示1000paonpaonpaonfzzzzyyyyxxxx2021-11-16352-5 齊次坐標變換n例：如圖所示，f坐標系原點在參考坐標系中的坐標（3，5，7），它的n軸與x軸平行，o、a分別相對于y、z軸的角度均為45度，求該坐標系與參考坐標系的齊次變換矩陣1000

25、7707. 0707. 005707. 0707. 003001f2021-11-16362-5 齊次坐標變換n剛體的表示1000paonpaonpaonfzzzzyyyyxxxxobject2021-11-16372-5 齊次坐標變換n空間的一個剛體有六個自由度；n上式給出了12條信息，其中9條為姿態信息，3條為位置信息；n表達式中必定存在一定的約束條件將上述信息數限制為6。因此，需要用6個約束方程將12條信息減少到6條信息2021-11-16382-5 齊次坐標變換n三個向量 ， ， 相互垂直 ；n每個單位向量的長度必須為1 。這些約束條件可轉換為六個約束方程：noa0on0an0oa1n

26、1o1a2021-11-16392-5 齊次坐標變換n前三個方程也可以換用如下三個向量的叉積來代替： aon例：對于下列坐標系，求解所缺元素的值，并 用矩陣來表示這個坐標系。 100020?3?707. 05?0?f2021-11-16402-5 齊次坐標變換解：0zzyyxxononon0zzyyxxananan0zzyyxxaoaoao1222zyxnnn1222zyxaaa1222zyxooo將數值代入上式，得0707. 0zzyono0707. 0yxxaan0yyoa5 . 022zxnn122zyoo122yxaa2021-11-16412-5 齊次坐標變換n解這個方程組得：707

27、. 0 xn0zn0yo1zo707. 0 xa707. 0ya100020103707. 00707. 05707. 00707. 0f100020103707. 00707. 05707. 00707. 0f2021-11-16422-5 齊次坐標變換 2 齊次變換（齊次變換（h變換）變換） 1 )平移的齊次變換平移的齊次變換 huzyxcbazcybxazcybxaup10001000100011/（218） （219）),(1000100010001cbatranscbah2021-11-16432-5 齊次坐標變換 2 齊次變換（齊次變換（h變換）變換） 1 )平移的齊次變換平移的齊

28、次變換 例21 向量u=3i+4j+6k沿向量p=2i+5j-k平移，求平移后生成的新向量v159516431000110050102001hu2021-11-16442-5 齊次坐標變換n如果一坐標系(它也可能表示一個物體)在空間以不變的姿態運動，那么該變換就是純平移。在這種情況下，它的方向單位向量保持同一方向不變。所有的改變只是坐標系原點相對于參考坐標系的變化，相對于固定參考坐標系的新的坐標系的位置可以用原來坐標系的原點位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩陣形式，新坐標系的表示可以通過坐標系左乘變換矩陣得到。由于在純平移中方向向量不改變，變換矩陣t可以簡單地表示為： 2021-11-16

29、452-5 齊次坐標變換1000100010001zyxdddt2021-11-1646平移的齊次變換平移的齊次變換n新的坐標系位置為：100010001000100010001zzzzzyyyyyxxxxxzzzzyyyyxxxxzyxnewdpaondpaondpaonpaonpaonpaondddfn這個方程也可用符號寫為：oldzyxnewfdddtransf),(2021-11-1647平移的齊次變換平移的齊次變換例：坐標系f沿參考坐標系的x移動9，沿z 移動5，求新的坐標系位置1000806430766. 03439. 0819. 0369. 05628. 0574. 0527.

30、0f2021-11-1648平移的齊次變換平移的齊次變換解：10001306430766. 03439. 0819. 0369. 014628. 0574. 0527. 01000806430766. 03439. 0819. 0369. 05628. 0574. 0527. 01000510000109001),(oldzyxnewfdddtransf2021-11-16492-5 齊次坐標變換 2 齊次變換（齊次變換（h變換）變換） 1 )平移的齊次變換平移的齊次變換 平移變換不改變向量之間，向量與平面之間的關系平移變換不改變向量之間，向量與平面之間的關系2)旋轉的齊次變換旋轉的齊次變換

31、（220）100000000001),(csscxrot2021-11-16502-5 齊次坐標變換 2 齊次變換（齊次變換（h變換）變換） 2)旋轉的齊次變換旋轉的齊次變換 （221）100000001000),(csscyrot （222）100001000000),(cssczrot2021-11-16512-5 齊次坐標變換 2 齊次變換（齊次變換（h變換）變換） 2)旋轉的齊次變換旋轉的齊次變換 例22 已知齊次坐標系一點u7 3 2 1t，將此點 繞z旋轉90度，再繞y轉90度，求旋轉后的 點w。 2021-11-16522-5 齊次坐標變換 2 齊次變換（齊次變換（h變換）變換）

32、 2)旋轉的齊次變換旋轉的齊次變換 解：2021-11-16532-5 齊次坐標變換 2 齊次變換（齊次變換（h變換）變換） 3) 平移加旋轉的齊次變換平移加旋轉的齊次變換 例23如果w再沿矢量4i3j7k平移，得到最后矢量e解： 2021-11-16542-5 齊次坐標變換 2 齊次變換（齊次變換（h變換）變換） 3) 平移加旋轉的齊次變換平移加旋轉的齊次變換 2021-11-16552-5 齊次坐標變換n變換圖說明：第一次變換后第二次變換后第三次變換后2021-11-16562-5 齊次坐標變換n上例中，如果變換順序為：1）繞z軸旋轉90度，接著平移【4，3，7】，然后再繞y軸旋轉90度，

33、求該點相對于基坐標系的坐標。1149)90,()7 , 3, 4()90,(noaxyzpzrottransyrotp2021-11-16572-5 齊次坐標變換n圖表說明2021-11-16582-5 齊次坐標變換 3 桿件空間位姿的描述桿件空間位姿的描述 用齊次變換描述機器人的空間位姿，一般采用兩個坐標系：用齊次變換描述機器人的空間位姿，一般采用兩個坐標系： 固定在基座上的固定坐標系，不隨桿件運動，叫基準參考固定在基座上的固定坐標系，不隨桿件運動，叫基準參考 坐標系；一個為固連在桿件上，隨桿件運動，叫桿件坐標坐標系；一個為固連在桿件上，隨桿件運動，叫桿件坐標 系或桿系系或桿系 例例24 一

34、個棱柱體原始位置如圖（一個棱柱體原始位置如圖（a），），變換前固定變換前固定 系系oxyz與動系與動系oxyz重合，棱柱體在動系中的姿態可重合，棱柱體在動系中的姿態可 用用6個點描述：個點描述： 2021-11-16592-5 齊次坐標變換 3 桿件空間位姿的描述桿件空間位姿的描述 2021-11-16602-5 齊次坐標變換 3 桿件空間位姿的描述桿件空間位姿的描述 若讓棱柱體繞若讓棱柱體繞z旋轉旋轉90度，再繞度，再繞y轉轉90度，再沿度，再沿x平移平移4，則，則變換為變換為 2021-11-16612-5 齊次坐標變換 2021-11-16622-5 齊次坐標變換 由于動系與桿件的關系是

35、固定不變的，動系與固定系的相對位姿可以用變換矩陣來表示，只要動系的位姿確定了，則桿件在空間中的位姿也就可以確定，也就是說，我們可以用齊次變換來描述我們可以用齊次變換來描述物體在空間的位置和方向。物體在空間的位置和方向。 2021-11-16632-5 齊次坐標變換4 齊次變換的性質4.1 變換過程的相對性 本節所講的齊次變換都是對固定坐標系而言的，如前面例子中： 其變換過程如右圖所示，動系先繞固定系z軸旋轉90度，再繞y軸旋轉90度，最后平移4i3j+7k，變換從右往左進行。 如果按相反順序變換，即從左往右進行，變換過程如圖左所示 最后結果是一樣的 一般說來，當變換矩陣左乘時，產生的變換是相對

36、于固定系進行的，變換矩陣右乘時，所產生的變換是相對于動系的。2021-11-16642-5 齊次坐標變換4.2 變換過程的可逆性 齊次坐標變換是可逆的，逆變換就是使被變換的動系回到固定系中以例24中的齊次變換為例： 若從逆方向看圖（b），固定系的x軸與動系的z軸方向一致，故x軸在動系中可表示為0,0,1,0t 同樣固定系的y軸可表示為1, 0,0, 0tz軸為0, 1, 0, 0t，原點可表示為0,0,4,1t于是逆變換表示為: 可通過hh1i檢驗逆變換的正確性2021-11-16652-5 齊次坐標變換4.3 變換過程的封閉性 為了說明封閉性，見下圖，機器人的手部的中心點在固定系中的位姿可以用兩種變換來表示。一種是通過固定系原點機器人機座機器人胸部手部中心點的變換來表示，即z一t6一e。另一種是通過固定系原點被夾持物體的角點機器人手部