1、2019-2020年高二數學棱柱、棱錐 人教版【教學內容】第九章 直線 平面 簡單幾何棱柱 棱錐【教學目標】1、掌握棱柱、棱錐的概念，基本元素的關系及其性質；2、掌握柱、錐的側面積，全面積，體積的計算；3、會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和柱、錐的直觀圖。【知識重點與難點】1、棱柱的定義本質特征（1）有兩個面互相平行； （2）其余各面中每相鄰兩個面的公共邊互相平行。2、棱柱的分類（1）按底面邊數可分為：三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。 按側棱與底面垂直與否可分為：直棱柱、斜棱柱（2）正棱柱是一種特殊的直棱柱相交的棱互相垂直底面是平行四邊形 形 各棱相等（3）四棱柱是常見的一種棱柱，包括平行六面體

2、、長方體、正方體等，它們之間關系如下：四棱柱 平行六面體 長方體 正方體 3、棱柱的性質要點（1）側棱都相等，側面是平行四邊形，過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形。（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形4、棱錐的形狀特征（1）底面是多邊形（2）側面是有一個公共頂點的三角形5、棱錐的性質如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么：（1）截面和底面相似（2）截面積和底面積的比等于截得的棱錐的高與已知棱錐的高的平方比。6、正棱錐是一種特殊的棱錐（1）底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。（2）各側面是全等的等腰三角形，各側棱相等，各斜高相等。（3）正棱錐的高與斜高，斜高在底面的射影組成一

3、個直角三角形； 正棱錐的高與側棱，側棱在底面的射影組成一個直角三角形。7、棱柱的問題常在高與側棱構成的四邊形中解決，棱錐的問題則在相應的三角形中處理。8、體積公式：V錐體=Sh 其中S是底面積，h是高 V柱體=Sh 其中S是柱體的底面積，h是柱體的高【典型例題】例1：已知正六棱柱的最長對角線為13cm，側面積為180cm2，求正六棱柱的體積。分析：因為V棱柱等于底面積乘以高，而底面是正六邊形，高即側棱長。所以關鍵在于求得底面邊長和高（或側棱長）。解：設底面邊長為a，高為h。AD1是最長對角線，高DD1底面由RtADD1知(2a)2+h2=169由側面積為180cm2知6a·h=180

4、即 、相加和相減后開平方得即：正六棱柱體積為：V1或V2=例2：正三角形的邊長為16，把它沿高AD折成120°的二面角（1）求三棱錐A-BCD的體積（2）求點D到平面ABC的距離解：（1）ADDC, ADBD AD平面BCD，且BDC為二面角的平面角 BDC=120° VA-BCD=SBCD·AD =128（2）設D到平面ABC距離為h VA-BCD=VD-ABC BCD中，BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos120° 等腰ABC中，BC邊上的高為點評：在求三棱錐體積時，應選擇適當的底和高，同時，也可通過選擇不同的

5、底和高，利用體積公式來求點到平面距離。例3：斜棱柱的底面是等腰三角形ABC，AB=AC=10，BC=12，棱柱頂點A1到A、B、C三點距離相等，側棱長是13，求它的側面積。解法一：取BC中點D，則BCAD，作A1O平面ABC于O，取AB中點E，連結A1E、EOA1A=A1B=A1CO是ABC外心，O在AD上BCAD，A1O平面ABC由三垂線定理BCAA1BCBB1側面BCC1B1為矩形，A1A=A1B,E為AB中點A1EABRtA1AE中，AE=5，AA1=13，A1E=12 ABB1A1=10×12=120同理：S ACC1A1=120S側=156+120×2=396解法

6、二：取BC中點D，過B作BEAA1于E，連結DE、CEA1B=A1C, D為BC中點A1DBCAB=AC, D為BC中點ADBCBC平面ADA1AA1平面ADA1BCAA1又AA1BEAA1平面BEC，平面BEC為棱柱的直截面。等腰三角形A1BA中cosA1AB=sinA1AB=RtABE中，S側=點評：求斜棱柱側面積有兩種方法，一是分別求出各個側面的面積再求和；二是作出直截面，用直截面的周長乘以側棱長。（因為直截面的邊長是各側面平行四邊形的高，每個平行四邊形用側棱乘以高來求面積）例4：已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，ACB=90°，側棱與底面成60°角

7、，點B1在底面上的射影恰為BC中點D。（1）求證：AC平面BCC1B（2）求證：AB1BC1（3）若BC=2，四棱錐A-BB1C1C的體積為，求二面角A-BB1-C的大小。解：（1）證明：B1D平面ABC，AC平面ABC B1DAC 又ACBC, ACBC=C AC平面BCC1B （2）連結B1C A C平面BCC1B B1C是AB1在平面BCC1B內的射影 B1D平面ABC B1BD=60° B1B=2BD 又D為BC中點 B1B=BC BCC1B1是菱形 B1CBC1 由三垂線定理BC1AB1 （3）取BB1中點M，連結CM, AMCMBB1由三垂線定理AMBB1可知AMC為二面

8、角的平面角 AC=1 RtAMC中， AMC=30°例5：在棱長為a的正四面體ABCD內，作一個內接正三棱柱A1B1C1-A2B2C2，使底面A2B2C2在平面BCD中，且A1,B1,C1分別在AB，AC，AD上，當A1在AB上的什么位置時，三棱柱的體積最大？解：設AA1=x(0<x<a)平面A1B1C1/平面BCDA1B/BCAB=AC，AA1=AB1A1AB1=60°得等邊AA1B1，同理：AB1C1，AC1A1也為等邊三角形，四面體AA1B1C1為正四面體。這兩個四面體的高分別為則棱柱的高為（a-x）當且僅當時，等號成立。當AA1=時，三棱柱體積的最大值為

9、注這個規律可以推廣到：【同步練習】一、選擇題：1、給出四個命題：各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 對角面是全等矩形的四棱柱是長方體 有兩個側面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 長方體一定是正四棱柱其中正確的命題個數是（） A、0B、1C、2D、32、有下列四個條件：側棱長都相等 側面與底面所成的二面角都相等 側棱和底面所成的角都相等 側面是全等的等腰三角形能判定這個三棱錐是正三棱錐的是（） A、B、C、D、都不能判定3、一個棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比為4：9，則此棱錐的側棱被分成上、下兩部分之比為（） A、4：9B、2：1C、2：3D、2：4、平行六面體的棱長都是a，從

10、一個頂點出發的三條棱兩兩都成60°角，則該平行六面體的體積為（） A、a3B、a3C、a3D、5、正四棱錐的一個對角面與側面積之比為：8，則側面與底面所成的一個二面角為（） A、B、C、D、6、正四面體內一點到各面距離之和為一個常數，則此常數為（） A、正四面體的一條棱長B、正四面體的一條斜高長 C、正四面體的高D、以上結論都不對二、填空題7、長方體ABCD-A1B1C1D1中，設D1B與自點D1出發的三條棱分別成角、，則cos2+cos2+cos2=.8、正六棱錐底面周長為6，高為，那么它的側面積是。9、把圖中邊長為a的正方形剪去陰影部分，沿所畫的虛線折成一個正三棱錐，則這個正三凌

11、錐的高為。（用a表示）三、解答題10、已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E、F分別是棱AA1與CC1的中點，求四棱錐A1-EBFD1的體積11、如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，頂點A1在底面ABC上的射影O是ABC的中心，AA1與AB的夾角是45°（1）求證：AA1平面A1BC（2）求此棱柱的側面積。12、在三棱錐P-ABC中，已知AB=1，AC=2，BAC的平分線AD=1，且凌錐的三個側面與底面都成60°角，求：（1） 三棱錐的側面積（2） 三棱錐的高【參考答案】一、選擇題1、A錯 各側面都是正方形，僅能保證是直棱柱，而底面未

12、必是正多邊形。錯 對角面是全等矩形的四棱柱，僅能保證是直平行六面體，而底面不一定是矩形。錯 若是相交的兩個側面垂直于底面，可證明是直棱柱；若是平行的兩個側面垂直于底面，不一定是直棱柱。錯 長方體的底面如果不是正方形就不是正四棱柱。2、D不能 可證得頂點在底面的射影是底面三角形的外心，但不一定是中心，底面也不一定是正三角形。不能 可證得，頂點在底面的射影是底面三角形的內心，但底面不一定是正三角形。不能 把如圖菱形ABCD，DAB=30°，沿對角線BD翻折，使AC=BD，此時ABDCBDACD，但是DACB不是正三棱錐。3、B截面與底面相似，相似比為2：3，截得的小棱錐與大棱錐側棱之比為

13、2：3，側棱被分成的上、下部分比為2：1。4、C設A發出的三條棱兩兩成60°角，則AA1在底面的射影是DAB的平分線，且cosA1AO·cosOAB=cosA1AB V=S ABCD·A1O=a·asin60°·a·sinA1AO =5、D設正四棱錐的高為h，斜高為h，底面邊長為a。 6、C以正四面體內一點為頂點，每一個面為底面得到四個三棱錐，它的體積和等于這個正四面體的體積。二、填空題7、設長方體的長、寬、高分別為a、b、cBD1C1=，BD1D=，BD1A1=cos=8、底面邊長為1，在高、斜高組成的直角三角形POH中，

14、9、A、B、D重合AEF為正三角形，圖（1）中AFDAEBDAF=ADFEAB=ABE=15°在圖（2）中，高CO與側棱CF組成的RtCOF中， 三、解答題：10、分析：由于A1到平面EBFD1的距離不容易計算，因此把四棱錐分成兩個三棱錐A1-EBD1和A1-BFD1 ，而且這兩個三棱錐是等底同高的，體積相等，可轉換成。解：RtD1A1E中，ED1=同理：BE=BF=D1F=，且可證四邊形EBFD1為平行四邊形BED1BFD1VA1-BED1=VA1-BFD1 VA1-EBFD1=2VA1-BED1又11、（1）證明：點A1在底面ABC上的射影O是正ABC的中心，且底面ABC是正三角形 A1-ABC是正三棱錐 A1A=A1B=A1C, AA1BAA1C 又A1AB=45° A A1B=90°且A A1C=90° 即AA1A1B，AA1A1C AA1平面A1BC（2）AA1平面A1BC，BC平面