1、1熱統(tǒng) 統(tǒng)計(jì)物理基本觀點(diǎn)：宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。第1頁(yè)/共43頁(yè)熱統(tǒng)任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化, 則整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化 單粒子的狀態(tài)描述：用 r 個(gè)廣義坐標(biāo)和 r 個(gè)廣義動(dòng)量，N個(gè)粒子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要來(lái)確定。用 共2r個(gè)變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)2r 維空間，稱為相（u）空間。 q1、q2、qr； p1、p 2、pr 系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，每個(gè)粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個(gè)代表點(diǎn)表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時(shí)刻的N個(gè)代表點(diǎn)描述q1、q2、qr； p1、p 2、pr6.1 6.1 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微觀描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微觀描述第2頁(yè)/共4

2、3頁(yè)3微觀粒子具有波粒二相性，德布羅意指出：能量為 ，動(dòng)量為 p 的物體聯(lián)系著圓頻率為 ，波矢為k的平面波，并有6.2 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述,Pk粒子狀態(tài)是分立(不連續(xù)）的。 粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài) (單粒子態(tài))。 量子態(tài) 用一組量子數(shù)表征（如自由粒子nx, ny, nz）. 不同量子態(tài)的量子數(shù)取值不同。量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對(duì)于N個(gè)粒子的系統(tǒng)，就是確定各個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)。第3頁(yè)/共43頁(yè)4熱統(tǒng)6.3 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 全同粒子系統(tǒng) 就是由具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、自旋、電荷等）的同類(lèi)粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。 近獨(dú)立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，

3、相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和。( 如理想氣體：近獨(dú)立的粒子組成的系統(tǒng) )iiE一一 基本概念基本概念系統(tǒng)的微觀態(tài)：整個(gè)系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)系統(tǒng)的微觀態(tài)：整個(gè)系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)第4頁(yè)/共43頁(yè) 1、微觀系統(tǒng)的經(jīng)典描述5熱統(tǒng) 系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，每個(gè)粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個(gè)代表點(diǎn)表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時(shí)刻的N個(gè)代表點(diǎn)描述，即 (i=1，2.N),共2Nr個(gè)變量為確定。qi1、qi2、q ir； pi1、pi2、pir 一個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用相空間一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)系統(tǒng)用相空間N個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。（特定的條件下可用） 在該描

4、述下全同粒子可分辨第5頁(yè)/共43頁(yè)6熱統(tǒng)定域粒子：全同而又可辨的粒子。例如晶體中的原子或離子定域在其平衡位置附近作微振動(dòng)、這些粒子就量子本性而然是不可分辨的（全同性），但可以根據(jù)粒子的位置對(duì)其加以區(qū)分（可分辨）。所以晶體中的原子或離子可看成是定域粒子。 2、微觀系統(tǒng)的量子描述不可分辨的全同粒子系統(tǒng)不可分辨的全同粒子系統(tǒng)( (非定域系）非定域系） 第6頁(yè)/共43頁(yè)7熱統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng) 粒子可以分辨, 每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制.確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每個(gè)粒子所處的個(gè)體量子態(tài)。確定了每個(gè)粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)(如定域系)。例：設(shè)系統(tǒng)由A、B兩個(gè)粒子組成（定域

5、子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè), 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？ 因此，對(duì)于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即 32。一般地為 .a A B123第7頁(yè)/共43頁(yè)8熱統(tǒng)不可分辨的全同粒子系統(tǒng)不可分辨的全同粒子系統(tǒng)( (非定域系）非定域系） 確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)。或： 確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài)（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng). 如光子自旋為1、 介子自旋為0。由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是玻色子 粒子不可分辨，每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限（即不受泡利原理限制） 第8頁(yè)/共4

6、3頁(yè)9熱統(tǒng)上例變?yōu)?(A=B)兩個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有6種方式 第9頁(yè)/共43頁(yè)（2）費(fèi)米系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng) 粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡利原理）。 兩個(gè)費(fèi)米子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有3種占據(jù)方式 系統(tǒng)由兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè), 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)第10頁(yè)/共43頁(yè)11熱統(tǒng) 對(duì)于不同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數(shù)、相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的。 上例僅為兩個(gè)粒子組成的系統(tǒng)、三個(gè)量子態(tài)。對(duì)于大量微觀粒子組成的實(shí)際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量的。第11頁(yè)/共43頁(yè)12熱統(tǒng)宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學(xué)

7、狀態(tài) 用少數(shù)幾個(gè)宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。微觀態(tài)：系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)。 確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))； 不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費(fèi)米系) 宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。6.4等概率原理第12頁(yè)/共43頁(yè) 微觀粒子的狀態(tài)雜亂無(wú)章，一個(gè)系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)也是雜亂無(wú)章的，有很多個(gè)可能的狀態(tài)，那么，每個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率為多少呢，與什么因素有關(guān)13 確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率就能用統(tǒng)計(jì)的方法求出微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，從而求出相應(yīng)宏觀物理量，因此確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本問(wèn)題。第13頁(yè)/共43頁(yè)1、等概率原理：對(duì)于處理平衡態(tài)的孤

8、立系統(tǒng)系統(tǒng)，各個(gè)可能狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理的一個(gè)基本假設(shè)，是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。第14頁(yè)/共43頁(yè)15熱統(tǒng) 全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，具有確定的粒子數(shù)N，能量 E 和體積V ，系統(tǒng)的N個(gè)粒子分布于各個(gè)能級(jí)，設(shè)第i能級(jí)上的粒子數(shù)為ai，則組成系統(tǒng)的粒子處于各能級(jí)的情況可描述為：以符號(hào) 表示 ， 稱為一個(gè)分布。la,21laaa能級(jí)：粒子數(shù)：,21laaa,21l, 2, 1ll分布 滿足條件：laNallEalll6.5分布和微觀狀態(tài)第15頁(yè)/共43頁(yè)16熱統(tǒng) l,21 l,21 ， a a al,21，簡(jiǎn)并度 粒子數(shù)N 粒子系統(tǒng)的 能 級(jí) 即：能級(jí) 1上有a1個(gè)粒子， 能

9、級(jí) 2上有a2個(gè)粒子，。 1 1a2ala2 l 分布只表示每一個(gè)能級(jí)上有多少個(gè)粒子。當(dāng)能級(jí)是簡(jiǎn)并態(tài)時(shí)，一種分布包含很多種微觀狀態(tài)。 每一種不同的量子態(tài)的占據(jù)方式都是不同的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。第16頁(yè)/共43頁(yè)17 (1) al個(gè)離子占據(jù)能級(jí)l 上的l 個(gè)量子態(tài)時(shí)，第一個(gè)粒子可以占據(jù) 個(gè)量子態(tài)中的任何一個(gè)態(tài)，有l(wèi) 種可能的占據(jù)方式。由于每個(gè)量子態(tài)能夠容納的粒子數(shù)不受限制，在第一個(gè)粒子占據(jù)了某一個(gè)量子態(tài)以后，第二個(gè)粒子仍然有l(wèi)種的占據(jù)方式，這樣al 個(gè)編了號(hào)的粒子占據(jù)l個(gè)量子態(tài)共有 種可能的占據(jù)方式， lal 1、玻耳茲曼系統(tǒng) (定域系統(tǒng))的分布規(guī)律：第17頁(yè)/共43頁(yè) (2) 各個(gè)能級(jí)都考慮在內(nèi)，系

10、統(tǒng)總的占據(jù)方式數(shù):lall (3) 現(xiàn)在考慮將N個(gè)粒子互相交換，不管是否在同一能級(jí)上，交換數(shù)是N!，在這個(gè)交換中應(yīng)該除去在同一能級(jí)上al 個(gè)粒子的交換al !因此得因子llaN!/ /第18頁(yè)/共43頁(yè)19熱統(tǒng)例：系統(tǒng)有6個(gè)可分辨粒子，共兩個(gè)能級(jí)， 1=3， 2=4給定分布：a1= 4, a2=21 1a2a2 1 1a2a2 2443 (4) 系統(tǒng)分布 al 包含的總微觀狀態(tài)數(shù)為 !laM BllllNa1944043! 24624！2443 能級(jí)之間粒子交換的方式數(shù)目為！ 42! 6! 6lla第19頁(yè)/共43頁(yè)熱統(tǒng) 2 、 玻色系統(tǒng)分布玻色系統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù)包含的微觀狀態(tài)數(shù)

11、 粒子不可分辨，交換任意一對(duì)粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。CDEA B1234 (1) al個(gè)粒子占據(jù)能級(jí) l 上的 l個(gè)量子態(tài)的占據(jù)方式數(shù)：用 表示量子態(tài)， 表示粒子。12345 這樣就確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)，即確定了一種占據(jù)方式（一個(gè)微觀態(tài)）。 對(duì)能級(jí) ，lla把 個(gè)粒子和 個(gè)量子態(tài)混合排列，l第20頁(yè)/共43頁(yè)21熱統(tǒng)123451234513452 粒子和量子態(tài)之間的交換 會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式： 量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換 不產(chǎn)生新的占據(jù)方式： 顯然，粒子和粒子之間的交換 不會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式。 其中粒子與粒子的交換、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產(chǎn)其中粒子與粒子的交換、

12、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產(chǎn)生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換導(dǎo)致不同微觀態(tài)。生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換導(dǎo)致不同微觀態(tài)。量子態(tài)、粒子各種交換量子態(tài)、粒子各種交換(排列排列)總數(shù)總數(shù))!1( lla 第21頁(yè)/共43頁(yè)22熱統(tǒng)量子態(tài)交換數(shù)量子態(tài)交換數(shù))!1( l 粒子交換數(shù)粒子交換數(shù)!la各種交換共有各種交換共有 種可能的方式。種可能的方式。 )!1( !)!1( llllaa （2）將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布 al 相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：(1)! (1)!llBElllaa第22頁(yè)/共43頁(yè)23熱統(tǒng)3、 費(fèi)米系統(tǒng)分布

13、費(fèi)米系統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù)：包含的微觀狀態(tài)數(shù)：!()!llallllCaa 將各能級(jí)的結(jié)果相乘，得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布 al 相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為： .!()!lF Dllllaa 粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。lla相當(dāng)于從 個(gè)量子態(tài)中選 個(gè)被粒子占據(jù)。lla第23頁(yè)/共43頁(yè)熱統(tǒng)6.6 6.6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布!laM BllllNa(1)! (1)!llBElllaa.!()!lF Dllllaa玻爾茲曼系統(tǒng)玻色系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng) 微觀狀態(tài)數(shù)是分布 al 的函數(shù)，不同的分布存在不同個(gè)微觀狀態(tài)數(shù)，可能存在這樣一個(gè)分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。第24頁(yè)/共43頁(yè)

14、25 根據(jù)等概率原理，對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。 第25頁(yè)/共43頁(yè) 為什么提出最概然分布？ 出現(xiàn)概率最大分布隨機(jī)現(xiàn)象多次呈現(xiàn)的結(jié)果 當(dāng)最概然分布的幾率大于非概然幾率很多時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出基本相同的狀態(tài)可以用其表征平衡態(tài)分布第26頁(yè)/共43頁(yè)27熱統(tǒng)一、玻爾茲曼分布的推導(dǎo)（M.B.系統(tǒng)）1、 寫(xiě)出分布及對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù) lalllMBlaN ! l,21 ，1 ， 2 l， a a al,21，玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。 第27頁(yè)/共43頁(yè)28熱統(tǒng)2 取對(duì)數(shù)，用斯特林

15、公式化簡(jiǎn)取對(duì)數(shù)，用斯特林公式化簡(jiǎn) llllla a N ln!ln!lnlnNNN lnllllllaaaNN lnlnln斯特林近似公式ln m ! ln mmm lllllaaa ln llla ln lalllMBlaN !要求1la要求1mllllla a N ln!ln!lnln第28頁(yè)/共43頁(yè)29熱統(tǒng)3 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值(ln)(ln )ln d lnlllllllllllda d ad ad aaa 0 lnlnlnlnllllllNNaaa 對(duì)上式做一次微分，對(duì)于極值，一次微分為零第29頁(yè)/共43頁(yè)30熱統(tǒng)由于系統(tǒng)確

16、定，則還要滿足約束條件： lldadN0lldadE0l llaN lllaE 0lldNdal0lldEda對(duì)上兩式子做一次微分得到： 上兩式子乘以未定乘子得到： (ln)d ln=0lllldaa 第30頁(yè)/共43頁(yè)31熱統(tǒng)(ln)ln0dNEddNdE0ln llla leall 即 稱為 麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布）。 任意，所以 lda0lnllllldaa(ln)d ln=0lllldaa 0lldNdal0lldEda第31頁(yè)/共43頁(yè)32熱統(tǒng) 玻色分布和費(fèi)米分布玻色分布和費(fèi)米分布 包含微觀狀態(tài)數(shù)目最大的分布出現(xiàn)的概率最大，是系統(tǒng)的最概然分布。 lllll

17、EBaa)!1( !)!1(. lllllllllllEBaaaa ln) 1(ln) 1() 1(ln) 1(ln. ln)(lnln.lllllEBaaa 0lnln. llllllEBaaaEN llaN0 lllaE0 11;111;1lllllllllaaa 第32頁(yè)/共43頁(yè)33熱統(tǒng)0ln llllaa leaalll leaalll ）（1 leall 1 leall 此式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為 玻色分布。二、費(fèi)米分布二、費(fèi)米分布 費(fèi)米分布的推導(dǎo)作為練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們課后自己推導(dǎo). 1 leall 第33頁(yè)/共43頁(yè)費(fèi)米分布費(fèi)米分布 1 leall 第34頁(yè)/共43頁(yè)3

18、5熱統(tǒng)三種分布的關(guān)系三種分布的關(guān)系leall 1leall 1 eleall 1leall 這時(shí)玻色分布和費(fèi)米分布都過(guò)渡到玻耳茲曼分布。由由 知知1 lla 1 eleall 與與是一致的，都稱為 非簡(jiǎn)并性條件，或 經(jīng)典極限條件。 滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都過(guò)渡到玻耳茲曼分布。 通常條件下的理想氣體（非定域系）即屬于這種情況。 第35頁(yè)/共43頁(yè)36熱統(tǒng)l 玻耳茲曼系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統(tǒng)）。總之：總之： l 玻色系統(tǒng)遵守玻色分布；費(fèi)米系統(tǒng)遵守費(fèi)米分布。 l 滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都滿足玻耳茲曼分布。 !NMBFDBE 定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件的玻色(費(fèi)米)系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布，但它們的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的。 第36頁(yè)/共43頁(yè)37熱統(tǒng)假如系統(tǒng)可以應(yīng)用 M-B 分布, 而且粒子的能級(jí)非常密集, 則粒子的能量可看作是連續(xù)的，問(wèn)題可用經(jīng)典方法處理，這時(shí)的 M-B分布稱為經(jīng)典分布。 第37頁(yè)/共43頁(yè)38熱統(tǒng)拉氏乘子 、 由約束條件決定： llaN llle lllaE llllea 與體積有關(guān)的常數(shù)，與溫度有關(guān)的常數(shù)第38頁(yè)/共43頁(yè)39熱統(tǒng) llaNlllllleee令llleZ稱之為粒子配分函數(shù)第39頁(yè)/共43頁(yè)40熱統(tǒng)復(fù)習(xí)題二1、簡(jiǎn)述統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)、基本假設(shè)2、簡(jiǎn)