1、1可降階的高階方程第六節)()(xfyn一、),(yxfy 二、),(yyfy 三、四、小結及作業四、小結及作業2第六節第六節 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程一.)()(xfyn令,) 1( nyz則)(nyxdzd因此1)(cxdxfz即1) 1()(cxdxfyn同理可得2)2( cxdyn1)(cxdxfxd xdxf)(依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數的通解 ., )(xf21cxc型的微分方程3例例1. 求解xeyxcos2 解解: 12cxdxeyx cos12sin21cxexxey241xey281( 這里 )1121ccxsin21xc32cxcxco

2、s21cxc42例例.的通解的通解求求121 xy:解解dxxy 121112cxdxcxy)(11221231231cxcx)(dxcxcxy)(21231231322125212151cxcxcx)(5二二. ),(yxfy 型的微分方程設,py 則py 于是原方程化為一階方程),(pxfp 設其通解為),(1cxp則),(1cxy再一次積分, 得原方程的通解21),(cxdcxy63例例.的的通通解解求求02 xyyx:解解, py 設設,py 則則方程為方程為02xppxxpxp1111cdxxeepdxxdxxxcx1231dxxcxy)(123121391cxcxln7例例4. 求

3、解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: 設,py 則,py 代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(22xxdxppd積分得,ln)1(lnln12cxp即)1(21xcp,3 0 xy利用得,31c于是有)1(32xy兩端再積分得233cxxy利用,10 xy得12c133xxy因此所求特解為8三三.),(yyfy 型的微分方程設,)(ypy 則xdpdy xdydydpdydpdp故方程化為),(pyfydpdp設它的通解為,),(1cyp即得),(1cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(cxcyyd9例例5. 求解.02 yyy代入方程得02 pydpdpy即y

4、ydppd兩端積分得,lnlnln1cyp即,ycp1,ycy1再分離變量積分得21cxcylnln故所求通解為xcecy12解解: 設,py 則xdpdy xdydydpdydpdp0)(pydpdypcyp 0由由0 pydpdy由由),(cyc 時時當當0110例例6. 解下列初值問題 解解: 令02 yey,00 xy10 xy, py 則,ydpdpy 代入方程得ydepdpy2積分得1221221cepy利用初始條件 ,0100 xyyp得,01c從而yep但根據yepxdyd積分得,2cxey再利用,00 xy得12c故所求特解為xey1應取11為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與

5、x 軸圍成的三角形面1soyx例例7. 設函數)0()(xxy二階可導, 且,0)( xy過曲線)(xyy 上任一點 p(x,y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線 ,1s區間 0, x 上以,2s)(xy且212ss 恒為 1 ,求)(xyy 解解: 設曲線)(xyy ),(yxp,由于,1)0(y,0)( xy所以,0)(xy于是cotyys211yy22xyp12s在點處的切線傾角為滿足的方程 ., 1)0(y積記為記為tdtysx02)(12再利用 y (0) = 1 得利用,1221 ss得xtdtyyy021)(兩邊對 x 求導, 得方程2)( yyy 定解條件為)0(,1)0(yy

6、令,)(ypy 方程化為,ydpdp則yydppd解得,1ycp 利用定解條件得,11c再解,yy 得,2xecy ,12c故所求曲線方程為xey 1sxypoyx2s1 y2pydpdpy113.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解將方程寫成將方程寫成, 0)( yydxd,1cyy 故有故有,1dxcydy 即即積分后得通解積分后得通解.212cxcy 注意注意: :這一段技巧性較高這一段技巧性較高, 關鍵是配導數的方程關鍵是配導數的方程.例例 814.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解,)(py4設設代入原方程代入原方程, 0 ppxxcp1 解線性方程解線性方程,

7、得得兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xpy ）（0 p,1)4(xcy 即即,21221cxcy ,2612054233251cxcxcxcxcy 54233251dxdxdxdxdy 例例 915內容小結內容小結可降階微分方程的解法降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy 則xdpdy ),(. 3yyfy 令, )(ypy 則ydpdpy 16作業作業12-6: p292 1(2)(4) (5)(7)(10); 2 (3) (5) (6) ; 3 ; 4 .17思考與練習思考與練習1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答: 令)(x

8、py 或)(ypy 一般說, 用前者方便些. 均可. 有時用后者方便 .例如2)(yey 2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數計算簡便(2) 遇到開平方時, 要根據題意確定正負號 18 3、 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所對對應應齊齊次次方方程程的的通通解解. 19思考題解答思考題解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是對應齊次方程的解是對應齊次方程的解,21223xeyyyyx 常數常數

9、所求通解為所求通解為.221xcecx 122231yycyycy 20一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 試求試求xy 的經過點的經過點)1,0(m且在此點與直線且在此點與直線12 xy相切的積分曲線相切的積分曲線 . .練練 習習 題題21練習題答案練習題答案一、一、1 1、32