1、概率論與數理統(tǒng)計古典概型與概率古典概型與概率主講教師主講教師: : 于紅香于紅香e-mail:e-mail:概率論與數理統(tǒng)計古典概型的幾類基本問題古典概型的幾類基本問題乘法公式：設完成一件事需分兩步，乘法公式：設完成一件事需分兩步，第一步有第一步有n n1 1種方法種方法, ,第二步有第二步有n n2 2種方法，種方法，則完成這件事共有則完成這件事共有n n1 1n n2 2種方法種方法復習：復習：排列與組合的基本概念排列與組合的基本概念概率論與數理統(tǒng)計加法公式：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。概率論與數理統(tǒng)計有重復排

2、列：從含有有重復排列：從含有n n個元素的集合中隨機個元素的集合中隨機抽取抽取k k 次，每次取一個，記錄其結果次，每次取一個，記錄其結果后放回，將記錄結果排成一列，后放回，將記錄結果排成一列，n n n n n nn n共有共有n nk k種排列方式種排列方式. .概率論與數理統(tǒng)計無重復排列：從含有無重復排列：從含有n n個元素的集合中隨機抽取個元素的集合中隨機抽取k k 次，次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有共有a an nk k=n(n-1)=n(n-1)(n-k+1)(n-k+1)種排列方式種排列方式. .n n n-1n-

3、1 n-2n-2n-k+1n-k+1概率論與數理統(tǒng)計組合：從含有組合：從含有n n個元素的集合中隨機抽取個元素的集合中隨機抽取k k 個，個，共有共有種取法.)!( !knknkakncknkn 概率論與數理統(tǒng)計1、抽球問題、抽球問題 例例1 設盒中設盒中有有3個白球，個白球，2個紅球，現從個紅球，現從盒盒中中任任抽抽2個個球，求取到一紅一白的概率。球，求取到一紅一白的概率。解解: 設設a-取到一紅一白取到一紅一白25)(csn 1213)(ccan 53)(251213 cccap答答:取到一紅一白的概率為取到一紅一白的概率為3/5解法一解法一:概率論與數理統(tǒng)計解法二解法二25( )5 4n

4、 sa ( )3 22 3n a 3 22 33( )5 45p a 可見可見:隨機抽球問題可以用組合法解隨機抽球問題可以用組合法解,也可以也可以用排列法解用排列法解. 關鍵是關鍵是:計算事件概率時保證分計算事件概率時保證分子子,分母在同一個樣本空間下討論分母在同一個樣本空間下討論.概率論與數理統(tǒng)計一般地，設一般地，設盒盒中有中有n個球，其中有個球，其中有m個白個白球，現從中任球，現從中任抽抽n個個球，則這球，則這n個個球中恰有球中恰有k個白球的概率是個白球的概率是nnknmnkmcccp 概率論與數理統(tǒng)計在實際中，產品的檢驗、疾病的抽查在實際中，產品的檢驗、疾病的抽查、農作物的選種等問題均可

5、化為隨機、農作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數學意義更加突出，而在于是問題的數學意義更加突出，而不必過多的交代實際背景不必過多的交代實際背景。概率論與數理統(tǒng)計2、分球入盒問題、分球入盒問題例例2 2 將將3 3個球隨機的放入個球隨機的放入3 3個盒子中去，問：個盒子中去，問：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？（2 2）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？解解: :設設a:a:每盒恰有一球每盒恰有一球,b:,b:空一盒空一盒33)( sn! 3)( an92)( ap1)(全有球全有球空兩

6、合空兩合ppbp 32923313 (1)(2) 解法一解法一:(用對立事件用對立事件)概率論與數理統(tǒng)計2333 22( )33cp b (2) 解法二解法二:(空一盒相當于兩球一起放在一個盒子中空一盒相當于兩球一起放在一個盒子中,另一球單獨放在另一個盒子中另一球單獨放在另一個盒子中)333222( )33p b(2) 解法三解法三:(空一盒包括空一盒包括1號盒空號盒空,2號號合空合空,三號盒空且其余兩盒全滿這三三號盒空且其余兩盒全滿這三種情況種情況)答答:每盒恰有一球的概率為每盒恰有一球的概率為2/9;空一盒的概率是空一盒的概率是2/3.概率論與數理統(tǒng)計一般地，把一般地，把n n個個球隨機地

7、分配到球隨機地分配到n n個盒子中去個盒子中去(n(n n)n)，則每盒至多則每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：nnnnap 某班級有某班級有n 個人個人(n 365)，問至少有兩個人的生日在同一天問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？的概率有多大？概率論與數理統(tǒng)計3.分組問題分組問題例例3 30名學生中有名學生中有3名運動員，將這名運動員，將這30名學生平均分名學生平均分成成3組，求：組，求：（1）每組有一名運動員的概率；）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。名運動員集中在一個組的概率。解解:設設a:每組有一名運動員每組有一名運動員;b: 3名運動員集中在一

8、組名運動員集中在一組101010302010( )n sc c c30人人(1) (2) (3)30!20!110! 20! 10! 10!30!10! 10! 10!概率論與數理統(tǒng)計!.!1mnnn一般地，把一般地，把n個個球隨機地分成球隨機地分成m組組(nm),要求第要求第 i i 組恰組恰有有ni個球個球(i=1,m)，共有分法：，共有分法：概率論與數理統(tǒng)計27!3!509! 9! 9!(1)( )( )203p an s30人人(1) (2) (3)(2) 解法一解法一 (“3名運動員集中在一個組名運動員集中在一個組”包括包括 “3名運動員名運動員都在都在第一組第一組”, “3名運動員

9、名運動員都在都在第二第二組組”, “3名運動員名運動員都在都在第三第三組組”三種情況三種情況.)71010107101010727201027171027177( )30! 10! 10! 10!18203c c cc c cc c cp b概率論與數理統(tǒng)計71010272010318( )30!20310! 10! 10!c c cp b30人人(1) (2) (3)(2) 解法二解法二 (“3名運動員集中在一個組名運動員集中在一個組”相當于相當于“取一組有取一組有3名運動員名運動員,7名普通隊員名普通隊員,其余兩組分配其余兩組分配剩余的剩余的20名普通隊員名普通隊員.)答答:每組有一名運動

10、員的概率每組有一名運動員的概率為為50/203; 3名運動員集中在一個組的概率名運動員集中在一個組的概率為為18/203.概率論與數理統(tǒng)計4 4 隨機取數問題隨機取數問題例例4 4 從從1 1到到200200這這200200個自然數中任取一個個自然數中任取一個, , (1) (1)求取到的數能被求取到的數能被6 6整除的概率整除的概率(2)(2)求取到的數能被求取到的數能被8 8整除的概率整除的概率(3)(3)求取到的數既能被求取到的數既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率解解:n(s)=200,:n(s)=200,n(3)=200/24=8n(3)=200/24=8n(1

11、)=200/6=33,n(1)=200/6=33,n(2)=200/8=25n(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分別為的概率分別為:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25概率論與數理統(tǒng)計5252張撲克平均分發(fā)給甲、乙、丙、丁張撲克平均分發(fā)給甲、乙、丙、丁4 4個人，個人，求求(1)(1)甲拿到甲拿到4 4個個a a的概率的概率(2)4(2)4個個a a在一個人手上的概率。在一個人手上的概率。(3)(3)每人手上都有每人手上都有a a的概率。的概率。994848131352521212121248362412131313135239

12、261341144(1), (2)4165416542197(3)20825ccccc c c cc c c c答：！概率論與數理統(tǒng)計某人向目標射擊，某人向目標射擊，以以a a表示事件表示事件“命中目標命中目標”，p p（a a）= =？(一）頻率一）頻率定義定義(p8) 事件事件a在在n次重復試驗中出現次重復試驗中出現na次，則比次，則比值值na/n稱為事件稱為事件a在在n次重復試驗中出現的次重復試驗中出現的頻率頻率，記為記為fn(a).1.3 頻率與概率頻率與概率nnafan )(概率論與數理統(tǒng)計歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質硬幣時，出現正反面的機會均等。 實驗者實驗者 n nh

13、fn(h)de morgan 2048 1061 0.5181 buffon 4040 2048 0.5069k. pearson 12000 6019 0.5016k. pearson 24000 12012 0.5005p8概率論與數理統(tǒng)計 頻率的性質頻率的性質(1) 0 fn(a) 1；(2) fn(s)1； fn( )=0(3) 可加性：若可加性：若ab ，則，則 fn(a b) fn(a) fn(b).實踐證明：當試驗次數實踐證明：當試驗次數n增大時，增大時， fn(a) 逐漸逐漸趨向一個穩(wěn)定值趨向一個穩(wěn)定值。可將此穩(wěn)定值記作可將此穩(wěn)定值記作p(a)，作為事件作為事件a的概率的概率概

14、率論與數理統(tǒng)計 若對隨機試驗若對隨機試驗e所對應的樣本空間所對應的樣本空間s中的每一事件中的每一事件a，均賦予一實數，均賦予一實數p(a)，滿足：，滿足： (1) 非負性非負性: p(a) 00； (2) 歸一性歸一性: p(s)1； (3) 可列可加性：設可列可加性：設a1，a2，, 是一列兩兩互是一列兩兩互不相容的事件，即不相容的事件，即aiaj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 p( a1 a2 ) p(a1) p(a2)+. 則稱則稱p(a)為事件為事件a的的概率概率（p10)。 概率的公理化定義概率的公理化定義概率論與數理統(tǒng)計2.概率的性質概率的性質 p(10-11)

15、0)()1( p(2) 有限有限可加性可加性：設a1，a2，an , 是n個兩兩互不相容的事件，即aiaj ，(ij), i , j1, 2, , n , 則有 niinapaap11)().(3) 單調不減性單調不減性：若事件：若事件a b，則，則p(a)p(b) (4)事件差事件差 a、b是兩個事件，則是兩個事件，則p(a-b)=p(a)-p(ab)概率論與數理統(tǒng)計(5) 加法公式加法公式：對任意兩事件對任意兩事件a、b，有，有p(a b)p(a)p(b)p(ab) 該公式該公式可推廣到可推廣到任意任意n個個事件事件的情形的情形,例如例如( )( )( )()()()()p abcp ap bp cp abp bcp acp abc(6) 互補性互補性)(1)(apap 概率論與數理統(tǒng)計在在1 1 100100這這100100