1、長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一一、最值定理、最值定理二、介值定理二、介值定理長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)注意注意: 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .一、最值定理一、最值定理定理定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(bacxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點(diǎn) ,長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)例如例如,)1,0(,xxy無(wú)最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無(wú)最大值和最小

2、值 又如又如, 長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué),)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mm推論推論. 由定理 1 可知有, )(max,xfmbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(bacxf,)(mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零點(diǎn)定理 ), ,)(bacxf至少有一點(diǎn), ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 證明略 )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)定理定理3. ( 介值定理 ) 設(shè) , ,)(bacxf且,)(aaf,)(babbf則對(duì) a 與 b 之間的任一數(shù) c ,一點(diǎn), )

3、,(ba證證: 作輔助函數(shù)cxfx)()(則,)(bacx 且)()(ba)(cbca0故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn), ),(ba使,0)(即.)(cf推論推論:abxoya)(xfy bc使.)(cf至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)例例1. 證明方程01423 xx一個(gè)根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使,0)(f即01423說(shuō)明說(shuō)明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點(diǎn),43x,0)(43f內(nèi)必

4、有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區(qū)間)1 ,0(的中點(diǎn)取1 ,0內(nèi)至少有則則長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué)0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,例例2. 設(shè))(xf在,ba對(duì)任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點(diǎn)證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxf, 則,)(bacxf)()(21xfxf)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xfxf故由零點(diǎn)定理知 , 存在, ),(21xx,0)(f即. )()()(21xfxff當(dāng))()(21xfxf