1、 期中復(fù)習(xí) 2011.4一、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用一、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用1、會(huì)求二元函數(shù)的極限、會(huì)求二元函數(shù)的極限00limyx22)()cos(12222yxeyxyx 例例2 2xyxyyx11lim00 求求)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 例例1 1)()(21lim222220022yxeyxyxyx 0lim21222200 yxyxeyx2、能利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算多元函數(shù)的、能利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算多元函數(shù)的一階二階偏導(dǎo)，會(huì)求多元函數(shù)的全微分。一階二階偏導(dǎo)，會(huì)求多元函數(shù)的全微分。 例例1.（1）計(jì)算）計(jì)算z = x2y+y3的

2、全微分；的全微分； （2）計(jì)算）計(jì)算z = x2y+y3在點(diǎn)在點(diǎn)(2，1)處的全微分；處的全微分；解解 (1)223,2yxyzxyxz dyyxxydxdz)3(222 (2)7 , 4)1 ,2()1 ,2( yzxzdydxdz74 .)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 解解3、多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、偏導(dǎo)、多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、偏導(dǎo) 數(shù)連續(xù)的關(guān)系數(shù)連續(xù)的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在4、會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)、會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)(特別抽象函數(shù)特別抽象函數(shù))的一階，二階的一階，二階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)例例1 1解解.)(),(2

3、yxzfyxxyfz ，求，求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)yff yxz121 )(11)(22221222121112yxfxfyfyyxfxfyfyxz 223221111fyxfyfxyf 221fyxfxyz 5、 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（單個(gè)方程的情況）隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（單個(gè)方程的情況）解解22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊對(duì)在在xzzyx04222 ,zxxzxzxzzx 24226會(huì)求空間曲線的切線、法平面及空間會(huì)求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的曲面的切平面、法線切平面、法線 例例1 求曲線求曲

4、線 在在 處的切線處的切線與法平面方程與法平面方程. .)21,31,41(10mt對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 1 , 1 , 1| ,123 ttttt點(diǎn)處曲線的切向量為點(diǎn)處曲線的切向量為0m解解: :2,3,4234tztytx 1 t切線方程切線方程,121131141 zyx法平面方程法平面方程, 0)21()31()41( zyx. 01213 zyx即即解解, 32),( xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2

5、(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx7.會(huì)計(jì)算可微函數(shù)在一點(diǎn)沿某個(gè)方向的方向?qū)?shù)與函會(huì)計(jì)算可微函數(shù)在一點(diǎn)沿某個(gè)方向的方向?qū)?shù)與函數(shù)在某一點(diǎn)的梯度數(shù)在某一點(diǎn)的梯度解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù) cos2cos lz.22 21cossin,21coscos 所以所以解解 令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos

6、.141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 ppzuyuxunu)coscoscos( .711 故故例例3 求函數(shù)求函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2在點(diǎn)在點(diǎn)m0(1，1，2)處的梯度處的梯度 解：解： grad f=2x，2y，2z，grad f (1，1，2)=2，2，4 8. 會(huì)求多元函數(shù)極值會(huì)求多元函數(shù)極值例例1 求函數(shù)求函數(shù)f (x，y)= x3y3+3x2+3y29x的極值的極值 解解 先解方程組先解方程組 .063),(,0963),(22yyyxfxxyxfyx求得駐點(diǎn)為求得駐點(diǎn)為( (1，

7、0),(),(1，2),(),(3，0),(),(3, ,2).). 在點(diǎn)（在點(diǎn)（1，0）處，）處，acb2 = 126 0，又，又 a0fxx(x，y) = 6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=6y+6 所以函數(shù)在（所以函數(shù)在（1，0）處有極小值）處有極小值f（1，0）=5； 同理：同理：f（1, ,2）, ,f（-3,1）不是極值；不是極值； 函數(shù)在（函數(shù)在（3，2）處有極大值）處有極大值3131 9. 會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法解決多元函數(shù)的條件極值問題。會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法解決多元函數(shù)的條件極值問題。例例1 求表面積為求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積。而體積為最大的長方體的

8、體積。 解：解：設(shè)長方體的三棱長為設(shè)長方體的三棱長為x，y，z，則問題就是在，則問題就是在條件條件下下求求函函數(shù)數(shù))1( 0222),(2 axzyzxyzyx v = xyz (x0，y0，z0)的最大值。的最大值。 構(gòu)成輔助函數(shù)構(gòu)成輔助函數(shù)求其對(duì)求其對(duì)x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到 )2(0)(20)(20)(2 yxxyzxxzzyyz f(x，y，z)= xyz+(2xy+2yz+2xza2)， 再與（再與（1）聯(lián)立求解。）聯(lián)立求解。因因x，y，z都不為零，所以由（都不為零，所以由（2）可得）可得.,zxyxzyzyzxyx 由以上兩式解得由以上兩式解得

9、 x = y = z。將此代入（將此代入（1）式，便得）式，便得,66azyx 這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知最這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。處取得。.3663av 最大體積為最大體積為1、 會(huì)把二重積分化成直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)下的二會(huì)把二重積分化成直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)下的二次次 積分積分,會(huì)交換積分次序會(huì)交換積分次序二、重積分二、重積分例例1 交換以下積分的積分順序交換以下積分的積分順序 yydxyxfdyi),()1(101110(1)( , )yyidyf x y dx 解解 x

10、xdyyxfdx2),(101yxxy xy 分分化為極坐標(biāo)下的二次積化為極坐標(biāo)下的二次積將將例例xyxddxdyyxfd2:,)(22222 ddxdyyxf)(22解解 22cos20)( rdrrfd2、 會(huì)適當(dāng)選取坐標(biāo)系來計(jì)算二重積分會(huì)適當(dāng)選取坐標(biāo)系來計(jì)算二重積分.d例例1解解圍成圍成由由其中其中計(jì)算計(jì)算2,1,.22 xxyxyddyxd xxddyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxd,2 將將下下列列積積分分化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式 并并計(jì)計(jì)算算例例積積分分值值。2222(1),:2dxy dxdydxyx

11、 其其中中。2222(2)()arctan,:14 ,0dyxydxdyxdxyyx y 其其中中所所圍圍成成的的位位于于第第象象限限的的部部分分。22:2dxyx積積分分區(qū)區(qū)域域xyo2 ddxdyyx22 22cos20 rdrrd 223cos38 d3238i 132238 2222(1),:2dxy dxdydxyx 其其中中解解。:02cos ,22dr。932 ddxdyxyyx,arctan)()2(22 ddxdyxyyxarctan)(22:d積積分分區(qū)區(qū)域域 的的圖圖形形為為rdrrd 21240 drrd 21340 。212815 22:14 ,0dxyyxy 所所圍

12、圍成成的的位位于于第第象象限限的的部部分分。40 , 21: rdxyo123、 會(huì)把三重積分化成直角坐標(biāo)，柱坐標(biāo)、球面會(huì)把三重積分化成直角坐標(biāo)，柱坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下的三次坐標(biāo)下的三次 積分積分,會(huì)用截面法、柱面坐標(biāo)、球面會(huì)用截面法、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)來計(jì)算三重積分。坐標(biāo)來計(jì)算三重積分。為為三三次次積積分分化化三三重重積積分分例例 dvzyxf),(1所圍。所圍。1,:22 zyxz xydyxzyx ),( , 1:22 解：解：1yxzo而而dxy可用不等式組可用不等式組11,1122 xxyx于是于是 111112222),(),(yxxxdzzyxfdydxdvzyxf ,2 dxdyd

13、zz計(jì)計(jì)算算例例所所圍圍其其中中1,:22 zyxz 解解用截面法。用截面法。222zy:xdz zozdxyzo1zdz ,zxoyd 用用平平行行于于面面的的平平面面去去截截空空間間區(qū)區(qū)域域得得平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域 zdv zdzddz 10 zddzdz 10 102)(dzzz 103dzz 1044z 。4 1:22 zyx 解解法法二二用柱面坐標(biāo)。用柱面坐標(biāo)。xyzo1 zdvxydyxzyx ),.(1:22 .20 ,101: rzr， 12010rzdzrdrd 。4 解解由由 zzryrx sincos,交線的投影為交線的投影為:xydyxyxzyx ),.(43:2222

14、 3:22 yxdxy.20, 3043:22 rrzr， 23242030rrzdzrdrdi .413 ,)(4222 dxdydzzyx計(jì)計(jì)算算例例 dxdydzzyx)(222解解54 drrrdd2102020sin 1:222 zyx 4、會(huì)利用二重積分、三重積分計(jì)算空間曲面的面積與空、會(huì)利用二重積分、三重積分計(jì)算空間曲面的面積與空間立體的體積。間立體的體積。例例1平面平面x+2y+3z8=0被柱面被柱面割割下下部部分分的的面面積積12222 byax1(82 )3zxy解解 ddda31494911 xydda 31412,33zzxy 314 。ab 314dxyyxoaboz

15、xy三、三、 曲線積分曲線積分1、 掌握兩類曲線積分的直接計(jì)算。掌握兩類曲線積分的直接計(jì)算。例例1. 設(shè)設(shè) c 是下列曲線是下列曲線0,222 yxyayx所圍區(qū)域的邊界所圍區(qū)域的邊界, 求求sicyxde22 2e)24(aa解解: 分段積分xiaxde0de40aaxaxd2e202xyoa4xy 0yar ddas cdsyxayxl22222,:)2(為為圓圓周周已已知知2222)2(aadsdsyxcc 解解例例2. 計(jì)算計(jì)算,22ydxxdyxl 其中其中l(wèi)為為(1) 拋物線拋物線 ;,:2boxyl到到從從 (2) 拋物線拋物線 ;,:2boyxl到到從從 (3) 有向折線有向折

16、線 .:aboal解解: (1) 原式原式22xx xdx 1034(2) 原式原式y(tǒng)yy222 yy d5104 (3) 原式原式 dyxxdyxoa22 01 )0, 1(a)1 , 1(b2yx 2xy 10(xdxx)22 10(dyy )4 ydxxdyxab 22 10yd1 1 yxo2、 掌握掌握格林公式格林公式及其及其應(yīng)用。應(yīng)用。.1|:|,|1逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向計(jì)計(jì)算算例例 yxlyxydxxdyil dladxdyydxdyxi42)11(逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向的的有有向向弧弧。為為上上半半圓圓周周其其中中計(jì)計(jì)算算2,)cos()sin(xaxyldymyedxmyyei

17、lxx 例例2mypxq 解解利利用用格格林林公公式式：添添上上,oa doaxxlxxmdxdydymyedxmyyedymyedxmyye)cos()sin()cos()sin(228)2(21maam 0)cos()sin( oaxxdymyedxmyye28ma 原原式式dyalxoao逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向?yàn)闉橛?jì)計(jì)算算2)1()()(2222 yxlyxdyyxdxyxl例例3時(shí)時(shí)，易易驗(yàn)驗(yàn)證證當(dāng)當(dāng)解解)0 , 0(),( yx取適當(dāng)?shù)娜∵m當(dāng)?shù)膌：x2+y2=r2，使其位于圓，使其位于圓l內(nèi)，取逆時(shí)內(nèi)，取逆時(shí)針方向針方向,則則 lldyyxdxyxryxdyyxdxyx)()(1)()(222 2212 ddxdyr22222)(2yxyxyx ypxq 3、 掌握曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)選擇適當(dāng)掌握曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)穆窂絹碛?jì)算曲線積分的路徑來計(jì)算曲線積分解解：直接化為定積分需先求直接化為定積分需先求oab的方程，此法不好。的方程，此法不好。 ;,yyeypxep ;,2yyexqyxeq cbocldyyedxxy 2010)2()1(202102|)(|2)1(yexy 例例1 設(shè)設(shè)l是以是以o（0，0）為起點(diǎn)，經(jīng)）為起點(diǎn)，經(jīng)a（0，1）