1、五、閉區間上連續函數的性質五、閉區間上連續函數的性質定義定義: :.)()(,)()()()()()()(,),(00000小小值值點點通通稱稱為為最最值值點點最最大大值值點點和和最最值值點點小小上上的的最最大大在在為為稱稱值值小小上上的的最最大大在在區區間間是是函函數數則則稱稱都都有有使使得得對對于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數數對對于于在在區區間間ixfxixfxfxfxfxfxfixixxfi 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1m

2、ax y1. 1. 定理定理21(21(最值定理最值定理) ) 在閉區間上連續的函數在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabacxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區間是開區間若區間是開區間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區間內有間斷點若區間內有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 推論推論( (有界性定理有界性定理)

3、) 在閉區間上連續的函數一定在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界在該區間上有界. .證證,)(上連續上連續在在設函數設函數baxf,bax ,)(mxfm 有有,maxmmk 取取.)(kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數函數baxf定義定義: :.)(, 0)(000的零點的零點稱為函數稱為函數則則使使如果如果xfxxfx 2.介值定理與零點定理介值定理與零點定理定理定理 2222( (介值定理介值定理) ) 設函數設函數)(xf在閉區間在閉區間 ba, 上連續，且在這區間上的最大值為上連續，且在這區間上的最大值為m, ,最最小小值為值為m， 則對介于， 則對介于m與與m之間的任何

4、值之間的任何值 ， 至少存在一， 至少存在一點點 ba, ，使得，使得 )(f. . 幾何解釋幾何解釋:mbamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續曲線弧連續曲線弧 yxfy 推論推論:在閉區間上的連續函數 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .),(0)(內至少存在一個實根內至少存在一個實根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側軸的不同側端點位于端點位于的兩個的兩個連續曲線弧連續曲線弧xxxfy xyo)(xfy 例例1515.)1 ,

5、 0(01423至少有一根至少有一根內內在區間在區間證明方程證明方程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續上連續在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,(0,1), 使使, 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內至少有一根內至少有一根在在方程方程 xx9( )0,4,f x 在閉區間上連續練習：練習： 13xex至少有一個不超過 4 的 證證：證明令3( )1xf xxe且(0)f31e(4)f4 341e030e根據零點定理 ,(0,4),( )0,f使原命題得證 .(0, 4)內至少存在一點在開區間顯然正根 .

6、310 xxe 例例1616.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續上連續在區間在區間設函數設函數證證,)()(xxfxf 令令,)(上連續上連續在在則則baxfaafaf )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即例例1717證證),()()(axfxfxf 令令, 0)(上上連連續續在在則則axf)()0()0(afff 而而 0)2()()(fafafaf ).()(, 0),2()0(,2 , 0)(affaaffaxf 使使得得證證明明且且上上連連續續在在區區間間

7、設設函函數數若若 00 f即即)()0(aff 則則a或或0 , 0)()()( afff 使使), 0(a 由零點定理由零點定理,若若 00 f則則0)()0( aff綜合以上所述可得，綜合以上所述可得， a, 0 存在存在使得使得)()(aff 3 3、用二分法求方程的近似解、用二分法求方程的近似解區間區間即是這個根的一個隔離即是這個根的一個隔離，于是，于是內僅有一個實根內僅有一個實根在在且方程且方程，上連續，上連續，在區間在區間設設,),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那末，那末如果如果110)( f作法：作法：).(2,11 fbaba，計算，計算的中點的中點取

8、取 ,)()(1111bbaaff 同號，那末取同號，那末取與與如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同號，那末取同號，那末取與與如果如果);(211111ababba 及及也有也有 總之，總之，);(211111ababba 且且時，可求得時，可求得當當 );(21)(21,2222211211ababbababa 且且時，可求得時，可求得當當復上述做法，復上述做法，作為新的隔離區間，重作為新的隔離區間，重以以).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重復如此重復 小于小于的近似值，那末其誤

9、差的近似值，那末其誤差作為作為或或如果以如果以)(21abbannn 例例18.10,04 . 19 . 01 . 1323 使誤差不超過使誤差不超過的實根的近似值的實根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(內連續內連續在在顯然顯然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(內單調增加內單調增加在在故故xf如圖如圖至多有一個實根至多有一個實根0)( xf, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(內有唯一的實根內有唯一的實根在在 xf.1 , 0,

10、 1, 0即是一個隔離區間即是一個隔離區間取取 ba計算得計算得:; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 ;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670