1、v空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 v曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面1.1.設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線c c的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為: :它們在它們在 可導(dǎo)可導(dǎo), ,且且, it 0)()()(222 tztytx取定曲線上一點(diǎn)取定曲線上一點(diǎn)).(),(),(),(00000000tztytxpzyxp ),(0001zzyyxxp過曲線過曲線c c上兩點(diǎn)的割線方程為上兩點(diǎn)的割線方程為10,pp.),(),(),(ittzztyytxx i).(),(),(0001ttzttyttxp zzzyyyxxx 000或或tzzzty

2、yytxxx 000當(dāng)當(dāng) 沿曲線沿曲線c c 時(shí)時(shí), ,即即 割線割線的的極限極限位置就是曲線在點(diǎn)位置就是曲線在點(diǎn) 的切線的切線. .1p0p0 t10pp0p則切線方程為則切線方程為.)( )()( )()( )(000000tztzztytyytxtxx 切線的方向向量切線的方向向量)(),(),(000tztytxt 稱為曲線稱為曲線c c在點(diǎn)在點(diǎn)的的切向量切向量。0p一個(gè)平面通過空間曲線一個(gè)平面通過空間曲線c c上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)),(0000zyxp且與點(diǎn)的切線垂直，稱此平面是空間且與點(diǎn)的切線垂直，稱此平面是空間0p曲線曲線c c在點(diǎn)的在點(diǎn)的法平面法平面。0p在法平面上任取一點(diǎn)在法平面

3、上任取一點(diǎn) , ,則則),(0000zzyyxxpp 與切向量垂直即與切向量垂直即0),()( ),( ),( (000000 zzyyxxtztytx),(zyxp法平面方程法平面方程法平面方程法平面方程是是0)()()(000000 zztzyytyxxtx或或0)()()()()()(000000 tzztztyytytxxtx例例1求螺旋線求螺旋線btztaytax ,sin,cos在在 處的切線方程與法平面方程處的切線方程與法平面方程30 t若空間曲線若空間曲線c c是由函數(shù)方程組是由函數(shù)方程組 0),(0),(21zyxfzyxf),(000zyxp所確定所確定若方程組在曲線若方程

4、組在曲線c c上一定點(diǎn)上一定點(diǎn) 的某的某鄰域鄰域滿足隱函數(shù)組定理的條件，即滿足隱函數(shù)組定理的條件，即21,ff對對x,y,zx,y,z的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)p p的鄰域內(nèi)連續(xù)，的鄰域內(nèi)連續(xù)，pppxzffzyffyxff),(),(,),(),(,),(),(212121 不妨設(shè)不妨設(shè), 0),(),(21 pzyff且且不同時(shí)為零，不同時(shí)為零，).(),(xzzxyy 曲線曲線c c的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為).(),(,xzzxyyxx 切向量切向量)., 1(dxdzdxdyt 利用利用 分別對求偏導(dǎo)，求出分別對求偏導(dǎo)，求出21,ffx.,dxdzdxdy,00222111 dxdzzf

5、dxdyyfxfdxdzzfdxdyyfxf則在點(diǎn)某鄰域，曲線則在點(diǎn)某鄰域，曲線c c可表示為可表示為0 x解得解得.),(),(),(),(,),(),(),(),(21212121zyffyxffdxdzzyffxzffdxdy 從而可得曲線在點(diǎn)從而可得曲線在點(diǎn) 的的切線方程切線方程：ppppyxffzzxzffyyzyffxx),(),(),(),(),(),(210210210 法平面方程法平面方程0)(),(),()(),(),()(),(),(021021021 zzyxffyyxzffxxzyffppp例例2 2求曲線求曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)0, 6222 zyxzyx法平面方程：法平面

6、方程： 切線方程：切線方程：610261 zyx解解., 622221zyxfzyxf ,2,2,2111zzfyyfxxf , 1, 1, 1222 zfyfxf6),(),(, 0),(),(, 6),(),(212121 pppyxffxzffzyff處的切線及法平面方程。處的切線及法平面方程。. 0 zx)1 , 2, 1( .1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx它的在點(diǎn)它的在點(diǎn)的的法線方程法線方程是是),(000yxz 1 1. .設(shè)曲面設(shè)曲面s s的方程是的方程是 , , . 0)()()(,(00000 zzyyfxxyxfyx),(00yx的切平面方程是的

7、切平面方程是二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線),(000zyxm法向量法向量)1),(),(0000 yxfyxfnyx dyxyxfz ),(),(則它的在點(diǎn)則它的在點(diǎn)它在點(diǎn)它在點(diǎn) 可微可微,設(shè)曲面設(shè)曲面s s的方程是在曲面的方程是在曲面s s. 0),( zyxf上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) . .),(000zyxm),(zyxf滿足函數(shù)確定的隱函數(shù)的條件，曲面滿足函數(shù)確定的隱函數(shù)的條件，曲面s s可表為可表為),(yxfz 則曲面在點(diǎn)則曲面在點(diǎn)m m的的切平面方程切平面方程是是. 0)()()(000 zzzfyyyfxxxfmmm則曲面則曲面s s在點(diǎn)在點(diǎn)m m的的法線方程法線方

8、程是是.)()()(000mmmzfzzyfyyxfxx 若若 在點(diǎn)在點(diǎn)m例例3 3 求曲面求曲面 上點(diǎn)上點(diǎn)32323232azyx ),(000zyxp的切平面的方程與法線方程的切平面的方程與法線方程. .解解.),(32323232azyxzyxf .32,32,32313231 zfyfxfzyx切平面方程與法線方程分別為切平面方程與法線方程分別為0)()()(031003200310 zzzyyyxxx310031003100 zzzyyyxxx與與 設(shè)曲面設(shè)曲面s s的方程是的方程是),(),(),(vuzzvuyyvuxx .),(dvu 取定取定 ,),(00dvuq 對應(yīng)曲面上

9、的點(diǎn)對應(yīng)曲面上的點(diǎn)).,(000zyxm若函數(shù)組若函數(shù)組 滿足滿足11.1定理定理),(),(vuyyvuxx 則在點(diǎn)則在點(diǎn) 的鄰域存在連續(xù)偏的鄰域存在連續(xù)偏),(00yx導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組),(),(yxvvyxuu 代入代入 有有).,(),(yxvyxuzz 曲面曲面s s在點(diǎn)在點(diǎn)m m的法向量為的法向量為 ).1),(,(0000 yxzyxznyxz的推論，的推論， .,vyyzvxxzvzuyyzuxxzuz對對u,vu,v求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)解方程組，得解方程組，得),(),(),(),(,),(),(),(),(vuyxvuxzyzvuyxvuzyxz 它的在點(diǎn)的切平面方程是

10、它的在點(diǎn)的切平面方程是),(000zyxm0)(),(),()(),(),()(),(),(000 zzvuyxyyvuxzxxvuzyqqq法線方程是法線方程是它在點(diǎn)它在點(diǎn)),(000zyxm.),(),(),(),(),(),(000qqqvuyxzzvuxzyyvuzyxx 例例4求曲面求曲面3322,vuzvuyvux )2 , 0(q在點(diǎn)在點(diǎn) 對應(yīng)的曲面上點(diǎn)的切平面對應(yīng)的曲面上點(diǎn)的切平面方程與法線方程方程與法線方程練習(xí)練習(xí): 1 求球面求球面 與錐面與錐面50222 zyx222zyx 所截出的曲線的點(diǎn)所截出的曲線的點(diǎn) )5 , 4 , 3(處的切線與法平面方程處的切線與法平面方程. 2. 求橢球面求橢球面 在在 63222